反例在初中數學教學中的有效性探討

萬亮兵

【摘要】反例教學是新課改背景下初中數學創新應用的授課方式，在培養學生的邏輯思維、幫助學生加強知識理解、鍛煉學生的解題能力等方面均具有重要的影響意義.基于此，為了提高反例在初中數學教學中的有效性，筆者通過闡述在初中數學學科中應用反例教學容易出現的誤區，從概念理解、思維鍛煉、知識鞏固、觀察意識、辯證能力、挖掘問題等角度分析有效的教學策略，以供參考.

【關鍵詞】初中數學;反例教學;數學思維

一、引言

數學學科作為初中教育的主要組成部分，知識點大多比較抽象，不易理解.如果教師能在教學過程中適當地引入反例，就可以通過這種“反差”對比，幫助學生更好地掌握數學知識.對于反例的理解，通常定義為某種證明符合題干的要求，卻不屬于正確結論.換言之，可以認為猜想不符合邏輯，存在謬誤.反例的實際應用也比較靈活，教師既可以用來培養學生的某種能力，也可以用來調節課堂氛圍.但想要體現反例教學的高效性，還需要教師根據具體情況來具體分析，及時規避教學誤區，總結切實有效的授課方案.

二、反例在初中數學學科中的應用價值

與正面教學不同，反例教學是常規教學模式的一種補充，它可以為學生提供更為新穎的思考方式，在潛移默化中幫助學生養成勤思考的優秀學習習慣.大量的教學實踐和教學研究表明，反例教學具有以下幾點應用價值：

1.有利于激發學生的學習興趣.反例教學迥異于中規中矩的授課形式，可以給學生帶來眼前一亮的學習感受.對于大多數學生而言，通過反例來探究數學知識，這種學習思路充滿了新鮮感和刺激感.這有助于調動學生的學習積極性，讓學生對數學新知識產生強烈的探究欲望.

2.防止學生思維僵化.在傳統例題教學的影響下，許多初中生出現了思維僵化的情況，在面對數學問題時，只能按照正向思維嘗試解答.而應用反例教學，可以引導學生從多個角度進行思考，使其產生豁然開朗的學習感受;對培養學生多元化的思考習慣、提高學生學習效率均能起到重要的影響作用.

3.營造融洽的教學氛圍.利用反例教學，可以拓展出更多的授課思路，幫助數學教師更好地控制課堂節奏，營造和諧的教學氛圍，在保障課堂教學質量的同時，有效培養學生的數學綜合素質.

三、教師在初中數學學科中應用反例教學容易出現的誤區

（一）反例的應用欠缺目的性

數學教師在應用反例教學時，要體現出一定的目的性，即其旨在鍛煉學生的思維能力，或是糾正學生某種不良的學習習慣.若反例使用不當，學生將很難進入深度學習的狀態，不僅對知識點的理解依舊會停留在表面上，還容易被教師提出的反例誤導，導致自己的數學思維步入誤區.因此，教師應當避免這一教學誤區，多選擇課程的重難點來針對性地引入反例教學.這樣可以合理、高效地利用好課堂教學時間，讓反例成為數學教學中的點睛之筆.

（二）過分注重反例的應用

有些教師過分迷信反例的應用，在教學中十分依賴反例教學，無論理論講解或是習題剖析，都習慣性地引入反例.雖然反例的教學優勢比較明顯，但并不是所有情況都適宜應用這種教學策略.若教師一味地“偏科”教學，很容易導致反例教學的“反客為主”，使得教學效率不升反降.因此，教師應當審時度勢，合理穿插正例和反例的應用，盡量將反例使用在“刀尖”上，幫助學生更好地突破學習難關.

（三）應用反例時未重視學生的實際學情

對于反例的應用，案例的選擇十分重要.由于學生的學習習慣、思考方式、理解能力存在一定的差異性，所以意味著教師很難通過“一刀切”的方式，讓反例教學達到理想的教學成效.有些學生能很好地理解教師舉出的反例，甚至能做到舉一反三.但還有一些學生，對教師所講的反例接受度不高，很難通過反例來總結學習心得.更有甚者，還會受到反例的不良影響，將一些錯誤的解題方法應用到解題之中.因此，如果教師沒有在反例教學中重視學生的實際學情，反例教學很容易向弄巧成拙的方向發展.換言之，因人而異是反例教學的關鍵點，但許多教師很容易忽視這個教學要素，使得學生很難通過反例的啟示來掌握科學的解題技巧.

（四）未能形成成熟的反例教學體系

關于反例教學，并不是單純地在例題解析的過程中列舉一些反例.數學教師在開展反例教學課程之前，必須要慎重思考，認真設計，規劃好教學環節，才能取得良好的授課成效.但在教學實踐過程中，部分數學教師未能形成成熟的反例教學體系，導致各個教學環節的銜接不夠流暢，使得學生在學習反例時，很難把握住學習重點，總有一種突兀、不協調的學習感受.長此以往，很容易導致學生在解題時偏離方向的結果.同時，學生也難以通過反例教學的輔助，掌握數學題中蘊含的知識點和哲理.總而言之，教師想要保障反例教學的效率，必須先構建穩定的教學體系，在體系中合理融入反例元素，以提高學生的數學認知，促進學生思維的發散.

（五）反例教學比較急功近利

由于反例的思維方式與正面思考不同，初中生從接觸到理解需要一定的接受過程.因此，數學教師適宜采用循序漸進的方式，遵循由淺至深、由易到難的教學原則，一步步拓展反例教學的深度.但在實際教學過程中，有些教師的反例教學過于急功近利，將教學過程與實踐練習兩個環節安排得過于緊湊，沒有給學生留出討論交流、內化吸收的時間.這也導致許多學生的認知水平還未跟上反例教學的深度，就要在解題中似是而非地進行訓練.長此以往，不僅不利于學生解題思維的發展，還會對學生常規的做題習慣造成不良影響，徹底打亂學生的解題節奏，出現“邯鄲學步”的學習情況.

四、教師在初中數學學科中合理展開反例教學的有效策略

（一）應用反例，加強概念理解

數學概念是教師應用反例教學的主要突破口，對于某些數學定理、基本法則、運算公式的理解和記憶，許多學生會習慣性地采用死記硬背的方式.而這種學習行為不僅效率低下，學習的質量也十分僵化.如果教師轉變教學思維，適當地引入反例，就可以幫助學生觸類旁通地思考數學概念，也可以幫助學生脫離機械式學習的困境，更為透徹地理解數學概念.

例如，有關人教版八年級數學上冊第十二章“全等三角形”的教學，關于全等三角形的判定，其中一條判定原理為：兩個三角形的兩條對應邊以及這兩條對應邊的夾角分別相等，則兩個三角形滿足全等的條件.有些學生向筆者詢問為什么要規定為“夾角”，其他的角不可以嗎？筆者隨即引入反例，將定理改成“兩條對應邊以及其中一條對應邊的對角相等”，再讓學生嘗試進行證明.學生在證明的過程中，發現一個銳角三角形與一個鈍角三角形也符合這條改過后的判定定理，而銳角三角形和鈍角三角形絕對不可能相互全等，這就證明反例不成立.以此作為鋪墊，學生充分理解了為什么全等三角形中需要將夾角作為判定的條件.

（二）應用反例，鍛煉數學思維

在新課程改革之前，數學教學對于學生思維能力的培養并不看重，學生理解數學知識主要依賴于教師的分析.在這種沉痼的教學方式下，學生的數學學習很容易向單一化的趨勢發展.做題時只能采用教師講授過的方法，不能進行個性化的創新思考，這對于學生未來的發展明顯不利.數學教師可以應用反例教學，鍛煉學生的數學思維，讓學生對定理、公式、法則等知識點都能產生別出心裁的思考，從而理解得更為全面.

譬如，關于人教版九年級數學上冊第二十一章“一元二次方程”的教學，筆者適當地引入了正例和反例，開展對比式課堂，讓學生在比較學習的過程中拓展思維的深度.筆者在講解完一元二次方程的解題應用，初步幫助學生掌握解題方法后，適時地引入思考題：為什么在判斷ax2+bx+c=0是否存在實數根時，要先規定a≠0？并讓學生嘗試從正例和反例兩個角度進行思考.學生在之前的學習中，了解到判定一元二次方程存在實數根的條件為b2-4ac≥0，所以，當a=0時，一元二次方程會轉變成一元一次方程，則b2-4ac=b2，b2必定大于或等于0，而只有a≠0時，b2-4ac才有可能小于0.因此，通過正例和反例的對比，學生認識到了二次項系數是否為0的重要性，并使得其數學思維更加嚴謹.

（三）應用反例，鞏固基礎知識

在初中階段，數學知識的理解難度又提升了數個臺階.在有限的課時內，教師要將大量的知識點印刻在學生的腦海中，這很容易造成學生數學根基的虛浮，知識點掌握得似是而非.因此，每經過一段時間的新知教學，教師都需要帶領學生回顧舊知課程，并通過反例教學加以鞏固，幫助學生加深知識記憶，防止出現張冠李戴的情況.

譬如，人教版七年級數學上冊第三章“一元一次方程”的課程知識中對一元一次方程進行了準確的定義.其中有幾個關鍵條件：（1）只有一個未知數;（2）未知數的最高次數為1;（3）方程為整式方程.為了幫助學生鞏固學習成果，筆者舉了一個反例讓學生進行判斷分析，即已知方程3x-2x=8，試問：這個方程是否屬于一元一次方程？當學生看到只有一個未知數，且未知數并沒有二次、三次等標記，就會誤認為這個反例是正確的.此時，筆者再因勢利導，標出“整式”這個重要條件，分析這個反例中未知數放在了分母上，屬于分式項，不符合定義中關于整式的描述，所以是錯誤的.以此為例，學生不僅鞏固了知識基礎，對于“整式”也有了更深的理解.

（四）應用反例，培養觀察意識

部分學生的數學成績偏低，并不是因為思維愚鈍，而是由于學生的觀察意識不佳，不能敏銳地挖掘題目中的重要信息.尤其在解析幾何題方面，學生應當養成仔細觀察的審題習慣.初中階段的習題相對來說十分靈活，在思維層面比較發散.教師若想減少學生的做題紕漏，可以通過反例教學來找出病根，幫助學生改正各種非正常的解題錯誤，有效端正學生的學習態度.

譬如，有關人教版七年級數學上冊第四章“幾何圖形初步”的教學，筆者在講授“直線、線段、射線”的知識時，在黑板上用一根固定長度的格尺分別畫出直線、線段、射線，并對學生提出反例問題：這三種線的長度一樣，是否正確？如果學生沒有仔細審題，將三種線都誤當作線段，自然會認為筆者的結論正確.相反，若學生細致地觀察和思考，不難發現線段的長度是固定的，而直線和射線是無限長的，以格尺來繪制三種線，是筆者的一種思維干擾行為.因此，通過筆者的引導，學生在解題時更加注意題干中的細節，審題的仔細程度也有所提升.

（五）應用反例，提高辯證能力

對于學生的解題過程，辯證分析是至關重要的環節.證明題是初中數學習題中的一大特色，它需要學生打破常規，能靈活運用固定的數學定理.如果學生不能在證明題中做到這一點，數學解題能力將很難得到質的提升.因此，教師需要巧妙地應用反例教學，提高學生的辯證水平.

譬如，有關人教版八年級數學下冊“勾股定理”的教學，筆者在為學生講解完勾股定理中的數量關系以后，對學生提出反例思考：現在我們知道直角三角形的兩條直角邊a，b與斜邊c滿足a2+b2=c2，那么如果反過來，知道a2+b2=c2，是否能確定該三角形屬于直角三角形呢？筆者通過反例教學，鼓勵學生逆推勾股定理.這不僅幫助學生加深了知識理解，在面對直角三角形的問題時，學生也能有意識地向數量關系上思考，這充分提高了學生的辯證解題能力.

（六）應用反例，挖掘學習問題

初中生在學習數學時，經常會因為知識認知上的偏差而出現做錯的情況.教師可以對學生常見的學習問題進行全面的挖掘與整理，完成最后的匯總，從中提取出學生普遍存在的共性問題或個性問題，在課堂上以反例教學的方式逐一加以講解.此外，在完成講解后，筆者鼓勵學生建立錯題集，將學習過的反例記錄下來，定期復習回顧，總結自己在解題和理解時容易出現的邏輯思維問題，從而做到有則改之，無則加勉.

筆者通過長期的反例教學，幫助學生解決了許多學習理解方面的不足之處.下面幾條反例命題均為學生錯題集中頻率較高的共性問題.比如：（1）有三條直線兩兩相交，其中一定會有三個交點.該命題錯誤，也可以只有一個交點.（2）若ab<0，則a>0，b<0.該命題錯誤，也可能是a<0，b>0.（3）任意三條線段都能組成三角形.該命題錯誤，必須要保證任意兩條線段的長度和大于第三條線段.以此為例，在長時間的反例教學和錯題積累中，學生的做題準確率明顯提升，呈現出良好的趨勢.

五、結束語

對于初中數學的實踐教學，應用反例可以幫助學生扎實地記清概念，掌握科學的辯證思維能力，在計算訓練和復習環節中也有不菲的教學價值.因此，初中教師深入探索反例的高效應用，對促進學生數學核心素養的成長大有裨益.筆者總結當前教育工作者對于反例方面的研究，雖然都表現了比較成熟的教學思路，但多以中規中矩的授課方式在課堂上引入反例，整個教學過程鮮少體現出趣味性.因此，如何讓反例教學更加趣味盎然、引人入勝，也是筆者接下來需要重點研究的教學課題.

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