構建知識運用階梯式場景 促成知識學習遞進式理解

曹嶺紅

【摘要】有效促進學生對知識的理解和運用，是培養學生問題解決能力的關鍵.本文以“平方差公式練習講評”教學為例，依次構建知識鞏固場景、知識變式場景和完型假想場景，有效促進學生達成鞏固與熟練、融通與理解、精通與構建的螺旋式目標，最終使學生對知識形成從淺表到中層再到深度的遞進式理解.

【關鍵詞】知識鞏固場景;知識變式場景;完型假想場景

《義務教育數學課程標準（實驗稿）》將“解決問題”列入課程總目標，《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“解決問題”改為“問題解決”，繼續列入課程總目標.2016年9月，《中國學生發展核心素養》正式發布，共列舉了18個要點，“問題解決”屬于其中之一.2019年12月教育部考試中心發布的《中國高考評價體系說明》中明確提出：“學科素養是（學習者）在面對生活實踐或學習探索情境中的問題時，能夠……高質量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質.”可見，問題解決已成為學生學科素養的重要表征.但在現實學習生活中，解決問題往往是學生學習的難點，他們或讀不懂題意，或無從下手，或解答思路漏洞百出，等等.因此，迅速提升學生問題解決的能力既是教師教學的重點，又是提升教學質量的共識.目前，培養學生解題能力的教學方式有很多，但大量解題成了一種常態的培養方式.眾所周知，這種方式的高效性是值得商榷的，在如今“雙減”大背景下，這種方式的可行性也被打上了問號，這就需要我們從“問題解決”的本質上再度進行思考.

“問題”是基于現實場景而產生的，“問題解決”是基于知識的理解而形成的策略，“問題解決”能力是學生在現實場景中知識運用能力的重要表征.因此，有效促進學生對知識的理解和運用，是培養學生問題解決能力的關鍵.

在數學教學中，我們將知識理解與知識運用深度融合，構建起“知識運用場景”概念，并在不同的場景下貫徹“以運用促理解”的教學策略，從而實現基于知識運用場景的構建設計和實施教學.知識運用場景主要有三種，即：知識鞏固場景、知識變式場景和完型假想場景.知識鞏固場景體現在對知識運用要素的鞏固上，目的是理解知識要素，如完成教材上的習題;知識變式場景體現在知識運用方式的變化性訓練上，目的是在變式中理解知識，如變式訓練;完型假想場景體現在引導學生基于知識理解，自我構建知識運用場景的知識運用訓練上，目的是深度理解知識.從訓練目標而言，知識鞏固運用場景重在鞏固，知識變式運用場景重在變換，完型假想場景重在自我建構.三種場景的聯動實施，輪次推進，幫助學生循序漸進地感受不同深度的知識內涵，體驗知識要素的“變與不變”，熟悉運用場景的豐富可能，經歷知識運用的經驗總結、方法提煉，從而達到充分理解與深度學習.

一、知識鞏固場景

知識鞏固場景的教學是指在新授課教學過程中或結束后，為了使學生達到熟練掌握知識的目的，讓學生完成一些與例題相同或相似的練習的知識運用教學，它對知識要素的鞏固和例題的理解有明顯的效果.

如：北師大版七年級下冊第一章“整式的乘除”第5節“平方差公式”的內容是平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，兩數和與這兩數差的積等于它們的平方差.教材上的例題類型如下：

（1） （-m+n）（-m-n）

（2）（5+6x）（5-6x）

（3）（2x-5）（2x+5）-2x（2x-3）

（4）103×97

教材上提供的練習類型如下：

（1） （-x-1）（1-x）

（2）（mn-3n）（mn+3n）

（3）（an+b）（an-b）

（4）a+1[]2ba-12b-（3a-2b）（3a+2b）

（5）1007×993

將例題、練習和平方差公式進行對比發現，例題和練習是對平方差公式進行了如下五個維度的變形：字母替換、因數（式）變換、指數變換、含平方差公式的整式混合運算和含平方差公式的數的計算.將例題和練習進行對比發現，五個維度的練習變形中，有四個可以從例題中找到原型，有了對例題的學習，學生可以根據例題的解答過程進行模仿解答.在教學中發現，學生能否順利解答上述練習主要取決于教師是否詳細講解或強調過這些類型題的解答要點.而學生作業的正確率往往是教學目標達成情況的主要表征.并且，為了幫助學生解答相對于例題而言的陌生習題，教師往往會增加對應例題以盡量覆蓋這些習題類型.如：為了讓學生順利解答練習第（3）題指數變換類型題，教師往往會增加一個這樣類似例題進行講解，為學生完成練習提供范例或指引.所以，教師充分的前期鋪墊是學生正確解答這些習題的必要條件，學生及時鞏固訓練則能達到熟練掌握例題解答技巧的目的.但其缺陷也非常明顯：

（1）學生對知識運用場景屬于被動接受.習題由教師提供，提供這些習題的原因不為學生所知，只是讓學生一味解題.因此，學生對知識運用場景是被動接受的，很難真正理解知識的運用特征.

（2）學生對知識運用方式容易出現過度模仿.教師對知識運用要點進行了詳細講解，學生的鞏固性訓練只需對教師講解內容進行回憶與模仿.長期的模仿訓練容易導致學生習慣運用當天所學解答當天問題，從而形成不對問題進行認真分析就直接開始解答的解題習慣，這樣往往容易產生思維惰性.

二、知識變式場景

知識變式場景的教學是基于知識內容，對知識運用場景的特征進行分類訓練的教學，旨在幫助學生熟練掌握知識運用的各種已知方式，從而達到促進理解、熟練運用的目的，它對知識特定變式方式的理解有明顯的效果.

如：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的運用場景通常分為如下情況：變換字母（將a，b兩字母改為其他字母）、變換系數（將a，b兩字母的系數變換為任意常數）、增添因數（將a，b兩單一字母變換為任意單項式）、增添項數（將a，b兩單一字母變換為任意多項式）、復合變換（融合上述兩種或兩種以上的變換）和在復雜場景下的甄別性訓練如a+1[]2ba-12b-（3a-2b）（3a+2b）等.D0DF1DB2-109E-42D0-9985-A7741199335A

教師根據這些類型分別提供一定數量的習題，引導學生分類別進行訓練.教師讓學生集中精力接受同類別訓練是為其排除干擾因素，并在特定類別訓練中領悟平方差公式的本質，熟練掌握特定類別的各種運用情況.當綜合所有類別后，學生還能領悟到如下內容：（1）無論字母因式如何變化，平方差公式的本質都不能變——兩數之和乘這兩數之差;（2）在字母因式中，可變換的內容有字母、字母數量、字母系數等;（3）在變化過程中，可以單一變，可以復合變.這些領悟是學生對知識本身的理解和對知識運用場景的理解，它融通了知識與運用之間的關聯，但存在如下缺陷：學生訓練用的習題都由教師提供，即在教師指定的范圍內進行領悟，所以學生還是處于被動學習狀態，主動性沒有得到充分激發.而知識運用的場景是多樣的，在有限的學習時間內，學生難以訓練完所有內容.因此，當學生面對沒有經過訓練的運用場景時，依然會有初次解決問題時的茫然感.

三、完型假想場景

完型假想場景的教學是基于知識特征，在教師引導下，學生對其可能出現的所有運用場景進行自我建構，并予以解答的教學方式.它是通過構建問題場景來領悟問題產生原理，從而達到提升學生解決問題能力和理解知識的目的.它屬于開放性思維訓練和問題自構訓練， 在激發學生的主動性學習、培養學生的開放性思維、提升學生問題解答的遷移能力等方面有顯著效果，也是使學生最終達到理解知識目標的最佳方式.為了激發學生學習的主動性，在引導學生進行平方差公式的運用場景建構時，教師可以設置這樣的問題：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的兩數是以單一字母a，b呈現的，那么還有哪些代數式可以替換a，b兩字母來表示這兩個數？然后學生對其所有表示方式進行歸類，利用平方差公式進行計算.在這種足夠開放的問題指引下，學生得出可以用任意代數式來表示這兩個數，代數式包含任意單項式和任意多項式.根據學生的課堂表現，平方差公式變換情況呈現了如下情況：

（一）因式變換，理解了單項式的整體性

使用任意單項式表示平方差公式中的兩個數時，因為單項式是數與字母的乘積形式，數與各字母都是這個單項式的因式，所以將這種變換方式稱為因式變換.因式變換的類型包含字母變換、系數變換、因式數量變換和指數變換[將字母指數“1”變換為任意整數，如

（2a3x2 +by4 ）（2a3x2 -by4 ）=（2a3x2 ）2 -（by4 ）2 ]、復合變換等.學生在自我建構這種變換場景時，必定遵循平方差公式的本質“兩數和乘這兩數差”不變的特征，即不管這個單項式多么復雜，它都是以單項式整體的形式表示平方差公式中兩個數中的某一個數.這個本質特征于學生構建運用場景過程而言，剛開始時是隱形的，但隨著構建單項式的類別越來越豐富，學生對這種本質的理解將會越來越深刻，并能達到準確表達出這種本質特征的程度，此時，對這些問題的正確解答就是水到渠成的事情了.

（二）項數變換，理解了多項式的整體性

使用任意多項式表示平方差公式中的兩個數時，因為多項式是幾個單項式和的形式，各單項式都是這個多項式的項，所以將這種變換方式稱為項數變換.在項數變換時，對學生進行有序性思維訓練是一個非常好的教育時機.如：先引導學生對兩個數中的其中一個數進行多項式變換，再對另一個數進行多項式變換，最后對兩個數同時進行多項式變換;在變換的項數上，引導學生從二項式到更多項數進行依次變換.在變換開始時，為了幫助更多同學順利完成自我構建場景的學習任務，教師可以適當搭設腳手架.如：將一個用多項式表示的數作為腳手架，引導學生以此構建平方差公式計算的運用場景，具體操作方式如下：

1.已知一個數構建平方差公式.如：若a+2b-3c是平方差公式中乘積式的第一個因式， 根據下列條件寫出第二個因式，然后利用平方差公式進行計算.（1）兩數中第一個數是a+2b;

（2）兩數中第一個數是a.

2.自主選定兩個數構建平方差公式.如：若a-2b+3c-d是平方差公式中乘積式的第一個因式，請自行選取這個多項式的任意項來確定兩個數，然后寫出第二個因式，最后利用平方差公式進行計算.為了培養學生思考的全面性，教師要求學生至少寫出四種，并且類別不能相同.在學生自我建構這種變換場景時，與因式變換一樣，隨著變換類別的豐富，學生對平方差公式本質特征的感受將越來越明顯、深刻.學生最后能清晰地表達出其中的“不變”與“變”，即平方差公式兩數本質“不變”，表示兩數的多項式可以任意“變”.

（三）位置變換，理解了符號的不變性

位置變換是在不改變表示平方差公式兩數的情況下，利用加法的交換律，改變兩數在兩數和或兩數差所對應多項式中的各項位置.學生在經歷位置的變換中，理解了平方差公式中兩數符號的“變”與“不變”規律.如：平方差公式中的兩數分別為a和2b-3c，對應的平方差公式計算場景可以是（a+2b-3c）（a-2b+3c），（a+2b-3c）（a+3c-2b），（a+2b-3c）·（3c-2b+a），（2b+a-3c）（3c-2b+a），等等.

在進行位置變換時，為了幫助更多的同學順利完成自我構建場景的學習任務，教師可以按下面方式搭設腳手架：先進行已知兩個數的變換，再進行已知一個數的變換，最后進行自選兩數變換（注：為了滿足位置變換的條件，兩數不管是已知，還是學生自己選定，都必須使用多項式表示）.根據學情，教師在教學中或選擇其中一個環節，或兩個環節，或按照上述遞進方式依次推進.因式變換和項數變換的“變”體現在兩數的表現形式上，位置變換的“變”體現在用多項式表示兩數時，兩數和或這兩數差中多項式各項的位置上，三種方式所灌輸內容都是感受平方差公式運用場景的“不變”與“變”，以及其中所蘊含的整體數學思想.

（四）逆向構建場景，強化深度理解

因式變換、項數變換和位置變換都是對平方差計算公式的順向思考.思維的方向是多向的，與順向思維對應的是逆向思維.平方差公式既可以作為計算公式，反過來又可以作為因式分解公式，我們可以利用平方差公式進行逆向思維訓練.基于教學的推進順序，此時直接進行因式分解訓練是不合適的，但從學習深度的角度來看，進行因式分解的滲

透是完全可行的.因此，在不改變平方差公式從乘積到和差順序的前提下，教師可以根據知識運

用的結構，引導學生構建逆向推導知識運用場景，這就是逆向構建場景.比如：

1.已知兩數和與這兩數差的乘積等于9x6y2-1625a2b4，請將這兩個數分別填在下面相應的位置上.

（? +? ?）（? -? ?）=9x6y2-1625a2b4

2.已知兩數和與這兩數差的乘積等于1002減去某個數的平方，請將這兩個數分別填在下面相應位置上.

（? +? ?）（? -? ）=1002 -（? ）2

逆向構建場景是對知識進行另一個方向的理解，它與順向構建場景一起，多維度、多方向構建知識運用場景.在構建問題的過程中，深度理解知識內涵，明白問題產生機理，而問題的解決方法必定存在于問題產生機理中，所以，問題的解決就是順理成章之事了.眾所周知，問題是無限的，但問題產生機理是有限的，在有限問題中明白了無限問題的產生機理，再面對陌生問題的解決時就可迎刃而解了.

通過上述分析可知，在知識教學過程中，我們可以結合具體知識，合理設計知識鞏固、 知識變式和完型假想三個階梯式的場景，逐層提升學生問題解決的能力，有效促成學生達成鞏固與熟練、融通與理解、精通與構建三個螺旋式的目標，最終使學生對知識形成淺表、中層到深度的遞進式理解.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.D0DF1DB2-109E-42D0-9985-A7741199335A