初等幾何中的經典作圖

孫承娟

【摘要】本文通過十四個典型例題展示了如何通過尺規作圖實現基本幾何圖形之間的轉化，以及圖形與數值之間的轉化，如線等分、角等分等，并給出了部分簡要證明.通過作圖溝通幾何與代數，實現乘法與除法等新穎的數學變換，容易激發學生學習數學的興趣.

【關鍵詞】初等幾何;尺規作圖

尺規作圖是只使用無刻度的直尺和圓規作圖.尺規作圖只使用圓規和無刻度的直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.這是初等幾何中非常引人入勝的課題，下面筆者整理了部分經典作圖與大家分享.

一、求兩線段之和

這簡直是最無聊的作圖，幾乎每個人都會.盡管如此，但為了保證課題的完整性，在這里筆者還是要介紹這個問題的解法.

如圖1，AB，CD為任意兩線段，求它們的和.

解 在線段BA的延長線上以點A為圓心，CD長為半徑作圓交直線AB于點P（P與B在A的異側），則此時有PB=AB+PA=AB+CD.

附注：這里使用了《幾何原本》中的公理（以給定點和給定的長度可以作圓）和一個定義（同圓或等圓中半徑皆相等）.于是在此作圖中有PA=CD，所以就有等式PB=AB+PA=AB+CD.這個作圖的解就這樣被我們找到了.

二、求兩線段之差

這一作圖與上一個作圖一樣無聊，但還是要進行說明.

如圖2，AB，CD為任意兩線段，求它們的差.

解 在線段BA上以點A為圓心，CD長為半徑作圓，交AB于點P（P與B在A的同側）.此時我們有PB=AB-AP=AB-CD.

附注：這個作圖與上一個作圖的做法基本一樣.實際上我們有AP+PB=CD+PB=AB，但只要進行運算就會得到我們想要的等式了.

三、求兩線段之積

學過古希臘數學史的朋友見到這個作圖可能會不自覺地以這兩線段分別為長、寬作矩形.但這里要介紹的不是這種作圖，原因：一是這種作圖很不美觀，也很簡單，人人都會.二是這種作圖是古希臘人的杰作，包括歐幾里得在內的一大部分古希臘數學家極為推崇這個.而筆者要介紹的是在《笛卡兒幾何》中發現的一種新穎的作圖.

如圖3，BD與BC是任意兩線段，求它們的積.

解 在線段BD上任取一點A，連接CA，過D作CA的平行線DE交線段BC的延長線于E.

設AB為單位線段（即單位“1”），AD=x，BC=y，CE=z.

∵AC∥DE，∴△BCA∽△BED，

∴BCBA=BEBD，即y1=z+yx+1，

∴（x+1）y=z+y，即BD·BC=BE.

附注：這里將取的任意兩線段設為共頂點，不是共頂點，也可以利用圓規作成共頂點，只要兩線段的夾角不為180°即可.

四、求兩線段之商

如圖4，BD與BE為任意兩線段，求BE[]BD.

解 在線段BD上任取一點A，

連接ED，作AC∥DE，交BE于點C.

設BA為單位線段（即單位“1”），AD=x，BC=y，EC=z.

∵AC∥DE，

∴△BCA∽△BED，

∴BCBA=BEBD，

即y1=z+yx+1，

∴z+yx+1=y，即BEBD=BC.

五、求一線段的平方根

如圖5，求線段GH的平方根.

解 延長線段HG至F，設GF為單位“1”，GH=x，

找FH的中點K，作半圓FH，以G為垂足作IG⊥FH，交半圓于I，連接IK，

則IK=12FH=1+x2.

又∵FK=1+x2，

∴GK=1+x2-1=x-12，

則IG2=IK2-GK2=1+x22-x-122

=12+x2+2x4-12+x2-2x4

∴IG2=12+x24+x2-12+x24+x2=2·x2=x.

∴IG=±x=±GH，

∴GH的平方根為IG.

附注：這個證明本身沒有問題，但在最后對于IG2=x而得到了IG=±x=±GH，得到了一個“負線段”，但這不是一個錯誤，因為每條線段都代表了一個向量，比如AB就代表向量由A到B，但其實不需要上面的箭頭，因為它們的字母順序已經告訴我們這個向量的方向.而AB可以看作實數里的正數，與它對應的是BA，它是向量AB的“反線段”.它與AB大小相同，方向相反，這有點像物理中作用力與反作用力的關系.我們可以得到一個等式AB+BA=0.這就是對于最后一步的解釋.

六、等分線段

如圖6，AB為一線段，要求將它二等分.

解 以A，B為圓心，大于AB2的長為半徑作圓.

兩圓相交于E，F.連接EF交AB于P.

連接BE，BF，AE，AF.

由題意得AE=AF=BE=BF，

所以得到EF是AB的垂直平分線.

那么點P就是AB的中點.

七、三等分任意線段

如圖7，AB為任意線段，要求至少找出一個關于它的三等分點.

解 找AB的中點D，以D為圓心，AD長為半徑作圓.作CD垂直于AB，交⊙D于點C，連接AC，BC.找BC的中點M，連接AM，過C作AM的垂線交AB與P.

根據共邊定理及共角定理可得：

APPB=S△APCS△BPC=S△APCS△AMC·S△AMCS△BPC

=AC·CPMC·AM·AC·AMCP·CB

=AC2MC·CB=2ACCB=2，

∴AP=2PB，即線段AB被P點三等分.E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF

八、用帶刻度的直尺和圓規三等分任意角

這個作圖的方法來自阿基米德，雖然只用了直尺和圓規但不符合尺規作圖的規定（尺規作圖是指用不帶刻度的直尺與圓規作圖，之前的作圖都屬于尺規作圖）.

如圖8，∠BAC為任意一角，要求將其三等分.

解 以A為圓心，AB長（這里設AB=AC）為半徑作圓交直線AC于D.在AD的延長線上找一點E，連接EB，在EB交⊙A于F后使EF等于該圓的半徑r，連接AF.

∵EF=AF=r，

∴∠FED=∠FAD，

而且AF=AB，

∴∠BFA=∠FBA=∠FEA+∠FAE=2∠FEA，

那么∠BAC=∠FBA+∠FEA=3∠FEA.

即∠BAC被三等分.

附注：在這個作圖過程中，尋找E點至關重要，但是僅依靠尺規作圖是不可能找到E點的，這就是為什么要在一開始筆者就說用帶刻度的直尺與圓規三等分角的原因.

九、已知一條線段可作一個等邊三角形

如圖9，AB為已知線段，要求以線段AB為邊建立一個等邊三角形.

解 以A為圓心，AB長為半徑作圓A;再以B為圓心，BA長為半徑作圓B，

兩圓相交于C點，連接CA，CB.

∵點A是圓A的圓心，故AC=AB.

又∵點B是圓B的圓心，

故BC=BA.

∴CA=CB=AB，

∴△ABC是以線段AB邊的等邊三角形.

十、從一個給定的點可以引一條線段等于已知線段

如圖10，A為給定的點，BC為給定的線段.

求作： 以A為端點的一條線段等于BC.

解 連接A，B兩點成線段AB，并以此作一個等邊三角形DAB.

作DA的延長線AE，DB的延長線BF.

以B為圓心，BC長為半徑作圓B，交BF于點G，

再以D為圓心，DG長為半徑作圓D，交AE于點L.

∵點B是圓B的圓心，∴BC=BG.

又∵點D是圓D的圓心，∴DL=DG.

∵DA=DB，那么其余下的部分AL=BG.

于是線段AL=BC=BG，

∴從給定的點A作出的線段AL等于給定的線段BC.

十一、平分任意角

如圖11，已知∠BAC，要求二等分這個角.

解 在AB邊上任取一點D，在AC邊上取一點E，

使AE=AD.連接DE，以DE為一邊建等邊三角形DEF，作射線AF.

∵AD=AE，AF為公共邊，

且DF=EF，

∴△ADF≌△AEF，于是∠BAF=∠EAF，

∴∠BAC被射線AF平分.

十二、過一條直線上的點，求作該直線的垂線

如圖12，AB為已知直線，C為直線上的點，求作：過C點作一條直線垂直于直線AB.

解 在AC上任取一點D，在CB上取一點E，

并使CE=CD，

以DE為邊建等邊三角形FDE，連接FC.

∵DC=CE，CF是公共邊，

且邊DF與邊FE相等，

故△DCF≌△ECF，∴∠FCD=∠ECF.

又∠DCF與∠ECF互為鄰補角，

∴CF⊥AB，即直線CF⊥直線AB，

∴過一條直線上的一個點，可以作該直線的垂線.

十三、經過直線外的一點，求作該直線的垂線

如圖13，AB為已知直線，C為直線AB外一點，求作：過點C作一條直線垂直于直線AB.

解 在直線AB異于點C一側任取一點D，

以點C為圓心，CD長為半徑作圓C，AB與圓C交于點G，E，

作GE的中點H，連接CG，CH，CE.

∵GH=HE，HC是公共邊，

且CG=CE，

∴∠CHG=∠EHC.又∠CHG與∠CHE互為鄰補角，

∴CH⊥AB，

∴CH是從C點向AB引的垂線，

即直線CH⊥直線AB.

十四、給定一條線段及它的一條平行線，要求僅用直尺找出該線段的中點

如圖14，已知線段AB和一條平行于AB的直線l.要求只用直尺找出AB的中點.

解 取不在AB上也不在l上的任意一點P，作直線PA，PB，分別與l交于點M，N，

連接AN，BM交于點O，連接PO交AB于點Q.

由共邊定理可得：

AQBQ=S△AOPS△BOP=S△AOPS△AOB·S△AOBS△BOP

=PNBN·AMPM=S△PMNS△BMN·S△AMNS△PMN

=S△AMNS△BMN=1，

∴Q是線段AB的中點.

筆者暫時整理了這么多，也算拋磚引玉吧，水平有限，還請大家批評指正.

【參考文獻】

[1]歐幾里得.幾何原本[M].南京：譯林出版社，2011.

[2]笛卡兒.笛卡兒幾何[M].北京：北京大學出版社，2008.E1DED967-DD3A-4EB8-9231-50DDE54DC5DF