“轉(zhuǎn)化思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用及培養(yǎng)

■ 武漢城市職業(yè)學(xué)院初等教育學(xué)院 黎靜芳

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）在總體目標(biāo)中第一次提出了“四基”的理念和目標(biāo)，特別重視數(shù)學(xué)思想及其具體實(shí)施。這對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言挑戰(zhàn)很大，他們除了數(shù)學(xué)思想方法的專(zhuān)業(yè)知識(shí)不足外，還有課堂教學(xué)中應(yīng)該具備的相關(guān)理念、策略也不足；基于以上原因，我們有必要研究數(shù)學(xué)思想方法的相關(guān)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)思想方法有不同的分類(lèi)，王永春教授把它們分成四類(lèi)；本文探討與推理有關(guān)的“轉(zhuǎn)化思想”及其在教學(xué)中的運(yùn)用和培養(yǎng)。

一、對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解

“轉(zhuǎn)化思想，就是指把數(shù)學(xué)中不能解決或需要解決的問(wèn)題，在頭腦中經(jīng)過(guò)重組和變化，與原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，化歸為之前已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題，最終使新問(wèn)題獲得解決的一種手段和方法”這是張奠宙教授對(duì)轉(zhuǎn)化思想的定義。

應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)就是將一個(gè)新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為舊問(wèn)題、將一個(gè)繁雜的事物轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)明的事物，從而揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終達(dá)到優(yōu)化解題策略的過(guò)程。

二、轉(zhuǎn)化思想在教材中的體現(xiàn)

轉(zhuǎn)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的四大領(lǐng)域及“數(shù)學(xué)廣角”中都有體現(xiàn)，分布在每?jī)?cè)教材里并不成體系，我們有必要將相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行梳理，幫助教師在教學(xué)時(shí)順利把轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用滲透給學(xué)生。

1.在學(xué)習(xí)抽象的“數(shù)及運(yùn)算的意義”時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化

表1對(duì)人教版教材中“數(shù)及運(yùn)算的意義”教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了梳理，我們發(fā)現(xiàn)將比較抽象的“數(shù)的意義”及“運(yùn)算的意義”運(yùn)用實(shí)物的操作或者直觀圖展示后，可以幫助小學(xué)生更好地理解這些概念，這種化抽象為具體的轉(zhuǎn)化策略需要教師不斷滲透，學(xué)生才能在解決問(wèn)題的過(guò)程中慢慢領(lǐng)會(huì)這種思想方法。

表1 人教版教材學(xué)習(xí)“數(shù)及運(yùn)算的意義”時(shí)轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用

2.在學(xué)習(xí)四則運(yùn)算法則時(shí)，將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的運(yùn)算

表2對(duì)人教版教材中四則運(yùn)算法則的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理，發(fā)現(xiàn)利用轉(zhuǎn)化就可以把新的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的相應(yīng)的法則來(lái)計(jì)算，這樣不僅優(yōu)化了解決問(wèn)題的方法，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知過(guò)程中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用。

表2 人教版教材“四則運(yùn)算的意義和運(yùn)算法則”轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用

3.在各種計(jì)算中利用運(yùn)算定律和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到化繁為簡(jiǎn)

例1 三年級(jí)上冊(cè)，第2單元萬(wàn)以?xún)?nèi)的加減法

①兩位數(shù)加減兩位數(shù)的口算轉(zhuǎn)化：63-48=63-40-8=23-8=15；

②幾百幾十加減幾百幾十的筆算轉(zhuǎn)化：

求550-380轉(zhuǎn)化為55-38=55-30-8=25-8=17，所以550-380=170；

例2 四年級(jí)下冊(cè)，第23頁(yè)第9題，利用恒等變形把等式化簡(jiǎn)：

1+2+3+…+98+99+100=（1+99）+（2+98）+…（49+51）+100+50=100×50+50=5050

例3 四年級(jí)下冊(cè)，第29頁(yè)例8，利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算：

12×25=（3×4）×25=3×（4×25）=3×100=300

或者12×25=（10+2）×25=10×25+2×25=250+50=300

從這三個(gè)例子可以看出，我們將新的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的定律和性質(zhì)來(lái)計(jì)算，可以達(dá)到簡(jiǎn)算和速算以及靈活運(yùn)用的目的。

4.在多邊形內(nèi)角和、多邊形的面積與體積公式學(xué)習(xí)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化

以人教版為例，在圖形與幾何方面轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用如下：

從表3我們可以看出，轉(zhuǎn)化思想在各冊(cè)教材的“圖形與幾何”這一部分基本都有體現(xiàn)。因此需要教師認(rèn)真領(lǐng)會(huì)教材，在教學(xué)中有目的、有組織地將所運(yùn)用到的轉(zhuǎn)化思想揭示給學(xué)生，進(jìn)行合理滲透。

表3 圖形與幾何領(lǐng)域轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

三、轉(zhuǎn)化思想在課堂中的培養(yǎng)路徑

轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用無(wú)時(shí)不有、無(wú)處不在，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力十分重要。教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化的方式，以便呈現(xiàn)清晰的數(shù)量關(guān)系，降低學(xué)習(xí)的難度，從而提高課堂教學(xué)效果。下面探討在教學(xué)中培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想的幾點(diǎn)思路及應(yīng)用原則。

1.在數(shù)學(xué)教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成轉(zhuǎn)化的習(xí)慣

轉(zhuǎn)化思想的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)有的歷練是形成的前提，教師在教學(xué)過(guò)程中提供時(shí)間與空間則是數(shù)學(xué)思想形成的保證。

（1）做好教師引領(lǐng)示范。教師的引領(lǐng)一方面是授課時(shí)應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想方法的示范，另一方面是教給學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化的技能，在課堂上為學(xué)生創(chuàng)造運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的時(shí)間和空間。教師示范所展示的結(jié)論要令人信服，在解決問(wèn)題的全過(guò)程中如何體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想則更為重要，也就是讓學(xué)生弄明白解題的思路是如何想到的、思想方法是如何運(yùn)用的，通過(guò)比較反思，轉(zhuǎn)化思想方法的優(yōu)勢(shì)就能體現(xiàn)出來(lái)了。

（2）用好集體互動(dòng)功能。學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成離不開(kāi)班集體的互動(dòng)，因?yàn)槊總€(gè)人的成長(zhǎng)都會(huì)受到集體影響，與同學(xué)交流中獲得肯定是學(xué)生進(jìn)步的動(dòng)力。個(gè)體將他人的觀點(diǎn)與自己的方法進(jìn)行比較，在相互交流和爭(zhēng)論中，讓多種思維方式匯集在一起，這樣轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)就會(huì)顯示出來(lái)，從而讓學(xué)生開(kāi)闊思路、體驗(yàn)成功。這個(gè)過(guò)程讓每個(gè)學(xué)生的思維更清晰，也使班集體解題的方式更豐富，全班一起受益。

（3）發(fā)揮評(píng)價(jià)的導(dǎo)向作用。轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果中往往體現(xiàn)不出來(lái)，而是呈現(xiàn)在思維方式與過(guò)程中，呈現(xiàn)在解決問(wèn)題手段的有效性、策略的合理性上，因此在評(píng)價(jià)方式和內(nèi)容上，教師鼓勵(lì)學(xué)生展示轉(zhuǎn)化的思維過(guò)程，通過(guò)對(duì)策略和方法的優(yōu)劣做比較，來(lái)強(qiáng)化和刺激學(xué)生的行為，就能很好地促進(jìn)小學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的形成。

2.轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的原則

轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是在已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，把繁雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)潔的問(wèn)題、把抽象事物化為具體事物、把非常規(guī)對(duì)象化為常規(guī)對(duì)象，從而達(dá)到問(wèn)題解決的目的。為此，在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想時(shí)要遵循的原則有以下幾個(gè)：

（1）數(shù)學(xué)化原則，就是把一般問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用已有的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，利用所學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一。

（2）熟悉化原則，就是把陌生的事物轉(zhuǎn)化為熟知的事物。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程就是一個(gè)把新知內(nèi)化為舊知、使新問(wèn)題不斷解決的過(guò)程。這個(gè)過(guò)程不僅是一個(gè)探索的過(guò)程，也是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程，培養(yǎng)探索能力和創(chuàng)新精神也是課程標(biāo)準(zhǔn)所提倡的。

（3）簡(jiǎn)單化原則，即把數(shù)量關(guān)系繁雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單的問(wèn)題。對(duì)學(xué)習(xí)者而言，復(fù)雜的問(wèn)題或許能夠解決，但所經(jīng)歷的過(guò)程往往會(huì)很麻煩，而經(jīng)過(guò)相關(guān)的轉(zhuǎn)化后，可以尋找到一些技巧和捷徑，使解決問(wèn)題的過(guò)程得到優(yōu)化。

（4）直觀化原則，即把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀具體的問(wèn)題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是抽象性，直接解答抽象的問(wèn)題難度較大，借助直觀手段把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較具體的問(wèn)題后，解決起來(lái)就比較容易了。

下面是遵循以上原則，我們利用轉(zhuǎn)化思想解決幾類(lèi)典型問(wèn)題的案例。

四、轉(zhuǎn)化思想的拓展應(yīng)用

1.分率轉(zhuǎn)化

對(duì)于某些比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，當(dāng)題目里出現(xiàn)多個(gè)單位“1”，即有多個(gè)不同的分率時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)轉(zhuǎn)化把它們化成單位“1”相同的分率，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答。

例1 把一根木材裁成三節(jié)，使第一節(jié)的長(zhǎng)度等于余下兩節(jié)的和；第二節(jié)又等當(dāng)于第一節(jié)與第三節(jié)之和的一半；已知第三節(jié)長(zhǎng)米，求這根木材長(zhǎng)多少米？

分析與解：此題如果把木材分成三個(gè)小節(jié)分別去計(jì)算，那是相當(dāng)困難的，但把全長(zhǎng)作為單位“1”，把幾個(gè)分率進(jìn)行轉(zhuǎn)化就非常簡(jiǎn)捷了。題目說(shuō)“第一節(jié)的長(zhǎng)度等于余下兩節(jié)的和”，從全長(zhǎng)考慮，第一節(jié)即為全長(zhǎng)的，再?gòu)摹暗诙?jié)又等于第一節(jié)與第三節(jié)之和的一半”，如果把第二節(jié)看成1份，另外2節(jié)之和就是2份，從全長(zhǎng)考慮，第二節(jié)就占全長(zhǎng)的。第三節(jié)所對(duì)應(yīng)的分率為：

答：這根木材全長(zhǎng)4米。

2.題型的轉(zhuǎn)化

在各種轉(zhuǎn)化中，難度最大、應(yīng)用范圍最廣的應(yīng)是題型的轉(zhuǎn)化了。

例2 已知四個(gè)自然數(shù)A、B、C、D，它們的大小依次增加。B、C、D三個(gè)數(shù)和的正好與甲相等，A、B之和與C、D之和的是相等的。想使A、B、C、D的總和最小，而C盡可能大，D的取值是多少？

分析與解：這道題中有兩個(gè)分率，第一個(gè)分率是以B、C、D三個(gè)數(shù)的和為單位“1”，第二個(gè)分率是以丙、丁的和為單位“1”，如果用分?jǐn)?shù)問(wèn)題的一般解法是很困難的，我們運(yùn)用轉(zhuǎn)化就可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

題目的條件“想使A、B、C、D的總和最小”，7和11的最小公倍數(shù)77即為這四個(gè)數(shù)的最小總和。那么C、D兩個(gè)數(shù)的和為：

因?yàn)镃＜D（A、B、C、D數(shù)值是依次增加的），又要“讓C盡可能大”，所以，D只能為25。

答：D應(yīng)當(dāng)?shù)扔?5。

3.圖形轉(zhuǎn)化

例3 已知三角形ABC的面積是40平方厘米，它的面積是平行四邊形CDEF面積的倍。求三角形EFB的面積？

分析與解：陰影三角形BEF是一個(gè)一般三角形，題目中只有一個(gè)數(shù)值40，根據(jù)這個(gè)值想得到所求三角形EFB的底和高都是不可能的。那么我們能不能找到一個(gè)三角形與所求三角形面積相等呢？如右上圖，連接E、C后發(fā)現(xiàn)：新三角形ECF和三角形BEF的底EF是相同的，而CDEF是平行四邊形，則它們的高也相等。那么，這兩個(gè)三角形面積相等，題目就轉(zhuǎn)化為求三角形EFC的面積了。

在平行四邊形CDEF中，三角形EFC的面積是平行四邊形CDEF面積的一半，所以EFB面積也就等于平行四邊形CDEF面積的一半。

通過(guò)“轉(zhuǎn)化”，列式可求出：

答：三角形EFB的面積為8平方厘米。

以上三個(gè)例題說(shuō)明，我們通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，就能把未知變成已知，把繁雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已有的經(jīng)驗(yàn)，從而使問(wèn)題順利得以解決。

五、結(jié)語(yǔ)

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中重要的、基本的思想方法之一，許多困難問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化變得容易。教師在教學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的滲透不僅拓寬了學(xué)生的思路，還提高了學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力；在培養(yǎng)學(xué)生多角度考慮問(wèn)題的過(guò)程中，不僅讓他們養(yǎng)成了良好的思維習(xí)慣，而且學(xué)生的思維品質(zhì)得到了優(yōu)化，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力不斷提升。