基于整體性思維的數(shù)學(xué)起始課教學(xué)研究

何建余 李婉玥 唐恒鈞

【摘? ?要】關(guān)注起始課在單元教學(xué)和知識(shí)板塊中的價(jià)值，基于整體性思維反思起始課的教學(xué)，對新課改背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義。以北師大版教材三年級(jí)下冊除法單元起始課《分桃子》為例，提出起始課要挖掘與后續(xù)學(xué)習(xí)的基本共通點(diǎn)，夯實(shí)與后續(xù)學(xué)習(xí)共通的抓手，進(jìn)而奠基學(xué)生整體性知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

【關(guān)鍵詞】起始課;基礎(chǔ)性;發(fā)展性;共通性;整體性思維

“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性……”那么，如何引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性？筆者以起始課為研究對象，從整體性思維的角度對起始課教學(xué)進(jìn)行了初步的探索，以此文與大家討論交流。

一、起始課的重要性及學(xué)習(xí)現(xiàn)象

起始課往往安排在數(shù)學(xué)教材每個(gè)單元的第一課，是本單元或者同板塊知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以它具有基礎(chǔ)性，同時(shí)它對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起著知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法等方面的奠基作用，因而它又具有發(fā)展性。教材在起始課中安排的內(nèi)容往往是描述性知識(shí)，學(xué)生通過語言描述進(jìn)行識(shí)記。例如《分桃子》一課的重點(diǎn)是除法的豎式計(jì)算，難點(diǎn)是理解除法豎式每一步的意義，學(xué)生可以通過死記硬背、模仿等方式習(xí)得知識(shí)。因此，學(xué)生能正確列出除法豎式，但未必明白除法豎式這么寫的原因;學(xué)生能說出除法豎式每一步的意思，卻未必真理解。在日常教學(xué)中，確實(shí)有部分學(xué)生對于除法豎式的正確書寫和意義描述，靠的是死記硬背和大量重復(fù)性練習(xí)。這樣的學(xué)習(xí)過程讓學(xué)生的思維只是停留在知識(shí)的表面，他們看似掌握了知識(shí)，實(shí)則沒有真正理解知識(shí)的來龍去脈，未能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，不能由此及彼。因此，如何關(guān)注起始課的基礎(chǔ)性和發(fā)展性，以整體性思維進(jìn)行起始課教學(xué)，值得我們研究與探討。

二、起始課以挖掘與后續(xù)學(xué)習(xí)的共通性為設(shè)計(jì)關(guān)鍵

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的共通性指相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容在理解上具有相通點(diǎn)，它是單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，貫穿于單元學(xué)習(xí)的始終。學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解和學(xué)習(xí)具有一致性、連貫性和階段性的特點(diǎn)。教師在單元學(xué)習(xí)的起始階段，要從學(xué)生理解的角度發(fā)掘單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的共通性，為整個(gè)系列內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。如北師大版教材三年級(jí)下冊“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法”的知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)思想方法與四年級(jí)上冊“三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算除法”是相通的，兩者具有一致性，這種在前后知識(shí)學(xué)習(xí)中相近或相通的知識(shí)、技能和數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的共通性。本單元的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，商是兩位數(shù)的除法豎式計(jì)算。在此之前，學(xué)生在二年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)除以一位數(shù)，商是一位數(shù)的除法豎式。本單元的除法豎式，要兩步求商，在列除法豎式的過程中要思考“先寫哪步，后寫哪步”，即本課是學(xué)生探究“除法豎式從高位算起”的起始課，而學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)兩位數(shù)甚至更多位數(shù)除以一位數(shù)以及三位數(shù)除以兩位數(shù)的豎式計(jì)算，均要運(yùn)用“除法豎式從高位算起”這一運(yùn)算法則。可見，本課探究的運(yùn)算法則與今后將學(xué)的所有除法豎式具有共通性。

本課時(shí)教材安排的題型有兩種：（1）被除數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)都是除數(shù)的整數(shù)倍，如68÷2;（2）被除數(shù)十位上的數(shù)是除數(shù)的整數(shù)倍，個(gè)位上的數(shù)不是除數(shù)的整數(shù)倍，如68÷3。這兩類除法算式看起來不一樣，但它們的計(jì)算過程具有很強(qiáng)的相似性，不管先從被除數(shù)高位算起還是先從被除數(shù)低位算起，難易程度都是一樣的，這是由于這兩類被除數(shù)的十位數(shù)都是除數(shù)的整數(shù)倍，計(jì)算過程中不會(huì)產(chǎn)生“被除數(shù)的十位數(shù)有剩余，與個(gè)位數(shù)合一起繼續(xù)除”的情況，從而導(dǎo)致學(xué)生在動(dòng)手“分小棒”求商的過程中，無法區(qū)分是“從高位分到低位”還是“從低位分到高位”的情況，這對學(xué)生體驗(yàn)“除法豎式從高位算起”的必要性造成很大干擾。因此，為引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)“除法豎式從高位算起”這一看似人為規(guī)定的運(yùn)算法則的合理性，筆者對本課教材中的“分一分”環(huán)節(jié)進(jìn)行了調(diào)整，把第二課時(shí)“被除數(shù)的十位數(shù)有剩余，與個(gè)位數(shù)合一起繼續(xù)除（48÷3）”的類型整合到本課的“分一分”環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生在兩種類型的“分一分”中發(fā)現(xiàn)“先分個(gè)位數(shù)再分十位數(shù)”的局限性以及“先分十位數(shù)再分個(gè)位數(shù)”的合理性，進(jìn)而為理解“除法豎式從高位算起”建立具體、直觀的表象。

教師設(shè)計(jì)了以下教學(xué)步驟。首先，借助情境圖引出兩個(gè)問題：（1）有68個(gè)桃子，平均分給2只猴子，每只猴子分到多少個(gè)？（2）有48根胡蘿卜，平均分給3只兔子，每只兔子分到多少根？讓學(xué)生獨(dú)立思考。接著，請兩位學(xué)生用分小棒的方式展示68÷2的不同過程：一位學(xué)生先分十位再分個(gè)位;另一位學(xué)生先分個(gè)位再分十位。學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種分法結(jié)果相同。最后，引導(dǎo)學(xué)生用分小棒的方式展示48÷3的過程，組織全班交流，總結(jié)得出：對于48÷3這一算式，先分十位上的數(shù)，再分個(gè)位上的數(shù)會(huì)更簡單，因此，我們在分小棒時(shí)一般都從被除數(shù)的高位開始分。教師板書展示分物過程（如圖1），突出不同方法之間的差異。

由此，學(xué)生在接下來的探究除法豎式的過程中，便能較為容易地明白“除法豎式從高位算起”的合理性。這樣，對于“除法豎式從高位算起”這一運(yùn)算法則，學(xué)生不是被動(dòng)接受的，而是在經(jīng)歷了鮮明對比、充分體驗(yàn)的過程后，自然而然地接受并運(yùn)用這一運(yùn)算法則的。

三、起始課的落實(shí)以夯實(shí)與后續(xù)學(xué)習(xí)共通的學(xué)習(xí)活動(dòng)為關(guān)鍵

除法豎式是除法求商的基本方法，可減輕學(xué)生計(jì)算過程中的思維負(fù)擔(dān)。《分桃子》一課是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)兩步求商的除法豎式，雖然學(xué)生不借助除法豎式也能用口算求出商，但他們后續(xù)需要學(xué)習(xí)借助除法豎式求商的除法。為此，學(xué)生是否真正理解兩步求商除法豎式的法則，影響著他們后續(xù)對除法豎式理解與掌握的程度。學(xué)生理解了除法豎式計(jì)算從“高位算起”這一運(yùn)算法則后，并不代表他們就能正確列出除法豎式。圖2呈現(xiàn)的豎式較為普遍。

圖2中的除法豎式，把口算過程“安裝”到了豎式中，這在被除數(shù)的十位數(shù)剛好能平均分完的情況下才成立，而在被除數(shù)的十位數(shù)不能平均分完有剩余的情況下，就沒法這樣表示了。另外，這樣的豎式并不能很好地表示“先分十位數(shù)再分個(gè)位數(shù)”的平均分物過程。除法豎式在四則運(yùn)算中是較難的一種法則。歷史上出現(xiàn)過許多現(xiàn)在看起來極其煩瑣的計(jì)算方法，但不論是中國古代的“算籌計(jì)算法”、中世紀(jì)歐洲的“帆船除法”，還是現(xiàn)代的“短除法”“長除法”，都將除法計(jì)算按一定順序分解為更簡單的步驟，并將中間結(jié)果和最終結(jié)果記錄下來，具體表現(xiàn)為“分層書寫”，這也是這方面內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要抓手。可見，除法豎式是程序性運(yùn)算，反映了“平均分”的過程。53C3CCE4-6F79-4661-9CCB-61C30CC11F70

教學(xué)中，教師可以在“平均分物”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣用豎式把剛才的分物過程一步一步記錄下來。如，十位上的6個(gè)十和個(gè)位上的8個(gè)一，分別是怎么分的，該怎么記錄，即要分成“幾個(gè)十”和“幾個(gè)一”兩部分，這是筆算的算理，從而加深對“先分高位，再分低位;數(shù)位對齊”的算法的體驗(yàn)。

這樣，在教學(xué)列豎式計(jì)算前，先引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作“擺小棒”，再通過語言表征，和同學(xué)說一說分物過程，最后進(jìn)行抽象歸納。學(xué)生總結(jié)形成除法豎式的書寫格式，理解和掌握除法豎式的書寫過程。這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)的除法豎式時(shí)，能順利遷移相關(guān)經(jīng)驗(yàn)、方法，增強(qiáng)后續(xù)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

四、起始課應(yīng)基于整體知識(shí)脈絡(luò)將學(xué)生思維引向“遠(yuǎn)方”

在面對一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對象時(shí)，教師首先要有“整體觀”，為學(xué)生構(gòu)建研究的整體框架，再在“獲得研究對象就是要讓學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延”“研究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)就是探究它的要素，建立相關(guān)要素之間穩(wěn)定的聯(lián)系”“通過類比、推廣、特殊化等發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題”“通過建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生形成知識(shí)體系，更有效地解決問題”等具有普遍意義的一般觀念的指導(dǎo)下，展開學(xué)習(xí)和研究。可見，教師基于整體性思維構(gòu)建起始課的教學(xué)，將有效提升學(xué)生的系統(tǒng)思維，為學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定基礎(chǔ)，并讓學(xué)生的思考得以自然拓展。

“分步求商的除法豎式”這一內(nèi)容，類型有很多種，但前后知識(shí)間的共通性較多，不管是兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，還是三位數(shù)除以兩位數(shù)，甚至是多位數(shù)除以多位數(shù)，都要遵守基本的計(jì)算法則——“從高位算起”“除到哪一位，商就寫在那一位上面”“分層書寫”。因此，在單元起始課《分桃子》一課的教學(xué)中，教師可以將這些知識(shí)點(diǎn)及方法進(jìn)行滲透。比如教師提出兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生反思提煉：“通過這節(jié)課有什么收獲？接下來的數(shù)學(xué)課，我們會(huì)研究什么呢？”這兩個(gè)問題不僅引導(dǎo)學(xué)生回憶了除法豎式的學(xué)習(xí)過程及每一步的意義，還由此打開了學(xué)生的思維。學(xué)生紛紛提出：除法豎式會(huì)不會(huì)有特殊情況？三位數(shù)甚至更多位數(shù)除以一位數(shù)、三位數(shù)除以兩位數(shù)、小數(shù)除法該怎樣計(jì)算？……有學(xué)生甚至提出要教師出幾道更多位數(shù)除以一位數(shù)的除法算式題，因?yàn)樗麄冇X得可以把本課學(xué)到的知識(shí)、方法應(yīng)用到難度更大的除法豎式中。在這樣的學(xué)習(xí)狀態(tài)下，學(xué)生不僅有所得，更能將“已所得”轉(zhuǎn)化成后續(xù)學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和動(dòng)力，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系和發(fā)展，為建立整體性知識(shí)網(wǎng)絡(luò)打下良好基礎(chǔ)。

從起始課的基礎(chǔ)性出發(fā)，思考起始課的發(fā)展性，是整體性思維運(yùn)用于起始課教學(xué)的基礎(chǔ);進(jìn)而，挖掘起始課與后續(xù)學(xué)習(xí)的基本共通性，夯實(shí)與后續(xù)學(xué)習(xí)共通的基礎(chǔ)，構(gòu)建學(xué)生的整體性知識(shí)脈絡(luò)，是充分發(fā)揮起始課價(jià)值的有效之舉。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何利用起始課引導(dǎo)學(xué)生形成以整體性思維學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，發(fā)揮起始課的價(jià)值，是值得我們深入研究的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]王新春，曾小平.除法豎式為什么從高位算起[J].數(shù)學(xué)之友，2018（4）：1-3.

[2]荊亞琴，潘小福.“46÷2”的豎式為什么要分層書寫？[J].教育視界，2019（4）：75-77.

[3]章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢明道優(yōu)術(shù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（10）：1-7.

（1.浙江師范大學(xué)附屬小學(xué)? ?321004

2.浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院? ?321004）53C3CCE4-6F79-4661-9CCB-61C30CC11F70