稱彩球：小學生早期代數思維發展的一個案例研究

田野

【摘? ?要】代數學習對小學生來說有一定的難度，進行早期代數思維的滲透和相關內容的學習，能為小學生后續進一步學習代數減輕難度。“稱彩球”就是為小學生代數思維發展而設計的拓展課。教學前發現，關系推理對于學生學習有一定的難度;教學中，通過思考與操作，讓學生體驗關系的推理，應用推理的結果解決問題;教學后，學生關系推理總體水平有明顯上升，代數思維提升有成效。

【關鍵詞】稱彩球;代數思維;關系推理

現行的小學數學各套教材都不約而同地把“未知數與方程”這個代數內容放在高年級進行教學，這是因為代數內容的學習對小學生來說有一定的難度，且已成為學生進一步學習數學的一個障礙。如何應對挑戰？其中一個方法是進行早期代數思維的教學。大量研究顯示，如果在正式學習代數之前，進行代數思維的滲透和相關內容的學習，就會大大減輕小學生學習代數的難度，從而更順暢地用代數的思維方式來解決問題。

在小學低年級進行早期代數思維的萌發[1]，既可以結合現行教材的相關內容，如“找規律”教學中函數關系的滲透、“數的運算”教學中運算互逆關系的學習、“圖形代數”教學中數量關系的推理等，也可以設置專門的數學拓展課。與前者相比，后者目標更聚焦，有利于學生深度學習和深刻體驗?！胺Q彩球”就是為小學生代數思維發展而設計的系列拓展課中的內容。

【前測準備】

為了解學生的學習基礎，我們準備了5道前測題，每題2分，共10分，這5題都來自浙教版教材（是未學內容的后續習題）。杭州市勝利山南小學二年級學生70人進行測試，前測題和測試結果如表1。

根據結果，我們不難看出，解決第1題、第2題這類可以直接看出數量關系的簡單題型，學生可以用算術思維直接解決問題，題目的得分率就比較高。而解決第3題至第5題這類需要發現隱含關系并運用關系推理的題型，學生需要具有一定的代數思維能力，因此這些題的得分率都不高。特別是第3題，得分率最低，不到本題分值的35%。由此得出，關系推理對于學生來說確實有一定的難度。因此我們把這節課的目標聚焦到關系推理的學習上。

【教學目標】

（1）通過觀察與操作彩球活動，讓學生感知數量的協變和對應關系。

（2）在思考與操作中，讓學生體驗關系推理，并用推理的方法來解決問題。

【學習材料】

天平（平衡秤）、彩球、學習單。

（一）任務1：選彩球比輕重

教師呈現5個大小相同的彩球，提問：哪個最重？哪個最輕？兩兩比較，比幾次能比出輕重關系？

學生掂一掂，稱一稱，畫一畫，記錄稱重結果。教師引導學生觀察與思考：怎樣比較輕重？

經過交流與反饋，學生發現了多種方法。

（1）把記錄結果按球的顏色重新排列就容易比出輕重了。黃球在天平下沉的一頭有3次，說明它比另外3個球都要重，所以是最重的（如圖1）。同樣，綠球比其余2個都重，紅球比紫球重，說明紫球最輕（如圖2）。從圖1、圖2中還可以看出紫球在天平翹起的那頭有3次，說明它比其他3個球都要輕。

通過比較學生還發現：①顏色相同的球同樣重;② 4種顏色的球比輕重，兩兩相比，要比6次。

（2）從其中一個結果開始，連續比較。如從黃球開始，發現它比綠球重;再找綠球，發現它比紅球重;再找紅球，發現它比紫球重。所以黃球最重，其次是綠球、紅球，最輕是紫球。

（設計意圖：比較球的輕重，實際上是在進行數量關系的推理，是比較簡單的直接推理，為后續的基于等量的代數推理活動“熱身”。）

（二）任務2：利用天平移彩球

（1）教師出示天平，然后往天平的左右托盤里一個一個地加上彩球，天平時而左邊下沉，時而右邊下沉，直到呈現如圖3所示的狀態，天平平衡了。

（2）教師引導學生觀察與思考：你發現了什么？學生匯報，教師不作評價，目的是交流，由學生獨立思考判斷是對還是錯。

（3）呈現任務：用這11個球，還可以怎樣放，天平仍舊保持平衡？小組合作，畫出彩球平衡圖。（只能觀察，不能動手嘗試）

（4）交流與反饋。

第一類是把左右兩邊的球交換位置，即把原來是右邊的球放到左邊，把原來是左邊的球放到右邊。第二類是根據彩球的重量關系來放置。

受任務1的啟發，學生重新排列了圖中的彩球（如圖4），發現將彩球一一對應后，左邊還剩1個紅球，右邊還剩2個紫球。因為左右兩邊同樣重，所以將同樣的彩球對應抵消之后，剩下的1個紅球與2個紫球同樣重。根據這樣的關系，可以把右邊的1個紅球替換成左邊的2個紫球（如圖5）。

（5）操作驗證。讓學生動手在天平中驗證二類推理情況的可行性。

（設計意圖：在問題解決中引導學生發現關系。需要說明的是，教師不要引導學生先發現關系再進行代換推理，而是要讓學生面對一個真實任務，體驗問題解決的真實過程，即在解決問題時先讓學生感到彩球這么多無從下手，然后通過觀察，發現隱藏在其中的對應關系，進而用關系推理來解決問題。在這個過程中學生自然地感受到解決問題時發現關系的必要性，獲得推理后的成功感。）

（三）任務3：保持平衡放彩球

教師出示任務：如果在天平的一邊已經放好了這些球（如圖6），要使天平平衡，右邊可以放哪些球？

（1）獨立思考，在學習單上畫一畫。

（2）在小組中交流想法，說一說為什么這樣放。

（3）操作驗證。

（設計意圖：應用等量代換進行關系推理，是本課的一個重要目標，也是學生需要重點體驗的內容。學生通過思考與動手操作，主動應用彩球之間存在的重量比例關系，“創造”出多種結果，深刻地體會了等量代換與關系推理的過程。）

（四）活動小結（略）D7B024DB-79F0-43A8-945E-8233087FC144

【后測結果與討論】

一節60分鐘的數學拓展課很快就過去了（如果是40分鐘，解決任務1和任務2或任務2和任務3即可）。學生看上去在玩玩說說做做，很輕松，很愉快，那么，他們除了開心之外，思維有沒有提升呢？我們進行了后測。

為避免教學后存在的記憶與暗示的影響，根據遺忘曲線我們延遲后測。我們在周四進行前測與上課，后測放在雙休日之后的周一，實驗班與對照班（期間按正常進行教材學習）同時進行后測，結果如下（見表2）。

（一）總體水平有明顯上升

從后測結果來看，各題的正確率都有提升，總分在教學前后的差異顯著性系數0.007<0.01，差異極其顯著，說明教學對學生有明顯的促進作用。進一步對比數據，我們發現在前測中得分最高的第1題和第2題，顯著性系數分別為0.118和0.844，都大于0.05，說明它們在教學前后差異不顯著。這兩題都是反映了單一對象的直接對應關系，沒有涉及等量之間的代換。看來，教學對于學生解決簡單對應問題沒有明顯促進作用。之所以最后的總分在教學前后差異明顯，主要原因是在后三題。

（二）代數思維提升有成效

后三題的增量都比較明顯。其中，第4題、第5題在前測中得分率都落后于第2題，后測中則明顯反超。特別是第5題的正確率從74.5%上升到94.3%，教學前后測增量明顯。這一題沒有具體數量，學生只能通過尋找關系，即將圖形對應后發現1個圓柱體與3個立方體同樣重來解決。同樣，第3題、第4題都需要學生先發現數量之間的對應關系，然后利用關系進行推理以解決問題。這三題前后測的差異顯著性系數都小于0.01，差異極其顯著，說明學生的代數思維生長對解決問題有著明顯的提升作用。

第3題的正確率是教學前后差異最顯著的。解決這個問題既要有較強的關系發現能力，也要有較強的關系推理能力。圖7中通過上面兩個圖式，發現1個蘋果與2個梨同樣重，然后利用這個關系，推理出1個菠蘿與3個蘋果同樣重，或者1個菠蘿與6個梨同樣重。最后把菠蘿、梨和蘋果建立聯系，進一步進行關系推理。顯然，在本課教學中，任務2和任務3正是讓學生有了這兩方面的體驗，有助于學生觸類旁通。

（三）部分學生代數思維開始內化

雖然后三題都和代數有關，但是我們也知道，在解決代數類問題時，不一定會用到代數思維，比如用“枚舉法”（用學生的說法就是“湊數”）解答，這實際上還是算術思維。在前測中，如用圖8所示算法的這位同學把數據寫在符號的上方，然后嘗試計算驗證。在前測卷中，不少學生的卷面有數據改動的痕跡，可見他們是用“枚舉法”來解答的。顯而易見，這種方法需要學生有較強的數感，數感不強的學生則要多次嘗試才能“湊”對，因此也導致正確率不高。

在后測中，我們驚喜地發現有些同學對于“等量代換”有了新的領悟，能從“常量的代換”拓展到“變量的代換”。如用圖9所示算法的這位學生把 []看成是50+☆的結果，整體代入 []+☆，即50+☆×2=130，然后再用逆運算解決問題。用相同的“變量代換”來解決問題的學生有10人，占總人數的14.3%。

還有的學生把50+☆= []，轉換成 []-☆=50，然后和第2個算式進行比較，求和后把☆抵消，得到2個 []等于180，從而得到正確結果（如圖10）。這樣思考的學生有3人，占總人數的4.3%。

查看這13人的前測卷，發現當時學生主要還是用枚舉法來計算的，不過這些學生的數感都很強，都是一步到位用40來表示☆，然后得到正確結果。我們進一步對這13位學生進行了訪談，雖然學生無法講清是怎么想到這樣做的，但每位學生在解釋自己算法時都講到了“把× ×代進去”“把× ×換成 × ×”等語言，看得出學生對于“代”和“換”的印象非常深刻，已經達到了內化的程度。數感強的學生是不是代數思維也很強，這可能是一個研究的視角。

從前、后測的結果來看，教學成效還是比較明顯的。當然，我們深知并不是因為上了“稱彩球”這一課學生的代數思維才開始提升的，事實上，我們的教材設計、平時的課堂教學一直在進行代數思維的滲透，只是現在我們提供了一個機會，讓平時零散的思維珍珠有了穿線的機會，讓思維的項鏈得以閃亮。這才是我們設計專項系列課的目的，也希望本文能引發更多的教師、專家學者來研究該課題。

參考文獻：

[1]蔡金法，江春蓮，聶必凱.我國小學課程中代數概念的滲透、引入和發展：中美數學教材比較[J].課程·教材·教法，2013（6）：57-61.

（浙江省杭州市勝利山南小學? ?310008）D7B024DB-79F0-43A8-945E-8233087FC144