自伴橢圓微分算子組廣義譜的上界

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

0 引言

微分算子的譜問題是數(shù)學和現(xiàn)代物理學中一類基本問題，具有廣泛的應(yīng)用性，一直受到眾多學者的關(guān)注，但在一般的區(qū)域和邊界條件下，根本無法求得精確的譜值或譜的顯式公式，因此，多數(shù)情形下，人們只能依靠譜的定性理論估計其大致范圍[1～6]，從而達到一定的實際應(yīng)用。新近，筆者在文獻[7]中探討了如下定態(tài)薛定諤算子組的離散譜問題。

(1)

其中Ω?Rm(m≥2)是一個邊界逐片光滑的有界區(qū)域，i=1,2,…,l，并得到了估計問題(1)第n+1個譜上界的一個解析不等式，但是，筆者發(fā)現(xiàn)，對問題(1)一般情形的高階算子組問題討論的中外文獻并不多見，因此，本文將問題(1)中拉普拉斯算子的階數(shù)推廣至任意的正整數(shù)，考慮含不定權(quán)sij(x)的高階自伴橢圓微分算子組的廣義譜問題。

(2)

其中t≥1;l≥2皆為整數(shù)，i=1,2,…,l，n是Ω邊界?Ω的單位外法向量，aij=aji是正實數(shù)；νij(x)=νji(x)和sij(x)=sji(x)都是Ω→R上的非負函數(shù)(i,j=1,2,…,l)，且滿足橢圓性等條件，即對任意向量ξ=(ξ1,ξ2,…,ξl)T，有

(3)

(4)

(5)

上述τi,μi(i=1,2)均為正實數(shù)。

1 準備知識

為方便推導(dǎo)，記l階算子矩陣Rh(f)=fhEl×l，其中El×l為l階單位矩陣，h為自然數(shù)，f為任一微分算子，l階正定矩陣A=(aij)l×l，半正定矩陣V(x)=(νij(x))l×l，正定矩陣S(x)=(sij(x))l×l，l維函數(shù)列向量u=(y1，y2，…,yl)T,ui=(yi1，yi2，…,yil)T，將問題(2)化為矩陣形式：

(6)

(7)

從問題(6)，利用特征向量的帶權(quán)正交性、分部積分、式(3)和(4)，有

即

(8)

引入試驗向量函數(shù)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 引理

引理1 設(shè)ui是問題(6)對應(yīng)譜λi(i=1,2,…,n)的特征函數(shù)，則

證明 首先，用數(shù)學歸納法證明不等式

(13)

當p=1時，利用分部積分、Schwarz不等式和式(7)，有

此時式(13)成立。

假設(shè)p=k≤t-2時，式(13)成立，則當p=k+1時，類似地，利用分部積分、Schwarz不等式和假設(shè)條件，有

化簡上式，得

即p=k+1時，式(13)也成立，于是式(13)得證。然后，反復(fù)利用不等式(13)和式(8)，得

引理1得證。

引理2 設(shè)ui是問題(6)對應(yīng)譜λi(i=1,2,…,n)的特征函數(shù)，則

證明 a)利用分部積分和引理1，有

b)類似a)，分部積分，得

(14)

由式(14)移項得

(15)

利用式(3)、引理1和引理2(a)，從式(15)可得

引理2b)證畢。

證明 根據(jù)φik的定義，有

(16)

即

(17)

由式(16)、(17)和(7)得

(18)

利用式(18)、Schwartz不等式、(5)和引理2a)(其中取s=0)，有

(19)

根據(jù)式(19)，引理3得證。

證明 將式(9)代入Hik可得

因此

最后，由引理2b)得

引理4得證。

3 主要結(jié)果

定理1 對于任意的整數(shù)m≥2,n≥1，自伴問題(6)的第n+1個譜有如下的顯式估計①

(20)

證明 由式(12)可得

(21)

利用{λi}的單調(diào)遞增性、式(10)和(21)有

(22)

式(22)即為

(λn+1-λn)W≤2tH

(23)

將引理3和引理4的估計結(jié)論同時代入式(23)，并用λn來替代其中所有的λi(i=1,2,…,n-1)，經(jīng)化簡即可得到式(20)。

注① 特別地，問題(6)當t=1且S(x)為數(shù)量矩陣，即S(x)=s(x)El×l時，恰好是參考文獻[7]討論的問題，此時，定理1中的式(20)就成為了文獻[7]中的譜估計式(23)，且從式(20)知，在其它條件不變的情況下，隨著空間維數(shù)的增大，λn+1與λn越靠越近。

定理2 對于任何空間維數(shù)m≥2，問題(6)的第n+1個離散譜有隱式估計②

證明 式(22)等價于

(24)

令式(24)中引入的參數(shù)σ>λn.利用式(18)、Young不等式和式(5)，得

(25)

根據(jù)引理1，式(25)右端第二項的上界可估計為

(26)

選取恰當?shù)摩模故?25)右端取得極小值，此時，由式(24)(25)和(26)可得

(27)

令不等式(27)右端等于零，簡化后，有

(28)

且從式(27)知，λn+1≤σ，于是用λn+1替代等式(28)中的σ，即得定理2.

注② 當問題(6)中t=1，且S(x)=s(x)El×l為數(shù)量矩陣時，定理2中的估計式恰好是文獻[7]中的式(22)。

4 結(jié)語與建議

運用經(jīng)典的Sturm-Lioullve定性理論，在薛定諤算子譜問題研究的基礎(chǔ)上，進一步探討了自伴橢圓微分算子組(6)的譜問題，得到了用前n個譜來估計第n+1個譜上界的兩個萬有不等式，在特殊情形下，本文的譜問題(6)恰好是參考文獻[7]討論過的問題，因此，所得結(jié)論包含了文獻[7]中的兩個譜估計不等式，在現(xiàn)代物理學尤其是量子力學中有著更廣泛的參考價值，對于本文所論的自伴算子組在非齊次邊界條件下的譜估計，也是今后值得深入思考的問題。