P-范分布尺度參數(shù)的Lq-似然比檢驗(yàn)
2022-06-08 05:35:56胡宏昌
任 歡，胡宏昌
(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)
0 引言
本文研究P-范分布尺度參數(shù)檢驗(yàn)問題，其密度函數(shù)為
(1)
其中Γ(·)為伽馬函數(shù)，λ=(Γ(3/p)/Γ(1/p))1/2，σ(σ>0)為尺度參數(shù)，μ為位置參數(shù)，p(p>0)為形狀參數(shù)(定義參見文獻(xiàn)[1～2])。
似然比檢驗(yàn)方法是一種應(yīng)用很廣泛的檢驗(yàn)方法，得到的深入結(jié)果很多，如：Chen和Liang[3]研究了帶邊界問題的偽似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近形態(tài)，Schott[4]討論了多元線性回歸包絡(luò)模型的似然比檢驗(yàn)，Giudici等[5]研究了隱馬爾可夫模型的似然比檢驗(yàn)。Lq-似然比檢驗(yàn)法是在似然比檢驗(yàn)法基礎(chǔ)上推廣來的，近些年引起了越來越多的統(tǒng)計(jì)學(xué)家的關(guān)注，如：Huang等[6]用Lq-似然比方法對廣義極值分布的形狀參數(shù)進(jìn)行了檢驗(yàn)；Qin和Priebe[7]針對一般的污染分布提出了具有穩(wěn)健性的Lq-似然比檢驗(yàn)，得到了Lq-似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布。然而，目前為止(據(jù)筆者所知)未出現(xiàn)用Lq-似然比檢驗(yàn)方法對P-范分布參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。本文利用Lq-似然比檢驗(yàn)法對P-范分布進(jìn)行檢驗(yàn)，并探討統(tǒng)計(jì)量分布特點(diǎn)。
1 Lq-似然比檢驗(yàn)
本節(jié)考慮P-范分布尺度參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題。這里假定μ已知，不失一般性假定μ=0.設(shè)X=(X1,…,Xn)為取自總體P-范分布的一個樣本，x=(x1,…,xn)是觀測值序列(其中σp∈Θ?R是已知參數(shù)集合)。下面討論假設(shè)檢驗(yàn)問題：
H0∶σp∈Θ0?H1∶σp∈Θ1
其中Θ0和Θ1分別為原假設(shè)和備擇假設(shè)的參數(shù)空間。
P-范分布的Lq-似然函數(shù)為
(2)
則其Lq-似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為
(3)
其中C(σp,qn)為偏差糾正項(xiàng)，值為
(4)
2 主要結(jié)果
為得到本文主要結(jié)果，我們給出以下三個基本假設(shè)條件：
1){xt，t≥1}有界。
2)qn>0且當(dāng)n→∞時，qn→1.
3)參數(shù)空間Θ是緊集且θ是Θ的一個內(nèi)點(diǎn)。
(5)
(6)
定理3 統(tǒng)計(jì)量Dqn(X)的分布密度函數(shù)為
(7)
其中
3 主要結(jié)果的證明
為證明本文主要結(jié)果，我們先給出引理1.
引理1[8]設(shè)Ψn是隨機(jī)向量值函數(shù)，Ψ是θ的向量值函數(shù)，使得?ε>0有
定理1的證明：由(2)式對σp求導(dǎo)得
(8)
(9)
(10)
注意到
(11)
注意到
=T1(1)·T1(2)
(12)
(13)
所以
(14)
則
(15)
即
(16)
又因?yàn)?/p>
(17)
則
(18)
即
(19)
由(16)式和(19)式可知，命題成立。
使得
(20)
則
(21)
因?yàn)?/p>
(22)
則
(23)
注意到
(24)
(25)
(26)
(27)
定理3的證明：設(shè)
(28)
其中
4 模擬算例
本節(jié)將選取p為定值進(jìn)行P-范分布的Lq-似然比檢驗(yàn)，這里我們假設(shè)μ=0，α=0.05.令p=3，μ=0，σ=2，隨機(jī)產(chǎn)生容量為100的樣本。
1)檢驗(yàn)：H0∶σ=2 ?H1∶σ≠2.
由生成的樣本以及公式5)，我們可以得到統(tǒng)計(jì)量Dq(X)的值為
=-0.3886
由統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)，我們可以得到
解得：q1=-1.0134，q2=0.8547
因?yàn)閝1 2)檢驗(yàn)：H0∶σ=3 ?H1∶σ≠3. 同理可以得到統(tǒng)計(jì)量Dq(X)的值為 =20.8309 以及 解得：q1=-6.3578，q2=5.3708 因?yàn)镈q(X)>q2，所以拒絕H0. 通過上面的例子可以看出，檢驗(yàn)結(jié)果均與模擬數(shù)據(jù)相符，從而也說明理論結(jié)果的可靠性。
