混合系數(shù)線性模型參數(shù)的廣義根方估計(jì)

蔡 齊，蔡擇林，江秉華

(1.泰康保險(xiǎn)集團(tuán)股份有限公司稽核中心，湖北 武漢 430000；2.湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

考慮如下混合系數(shù)線性模型

z(t)=[x(t)]Ta+[y(t)]Tβ

(1)

其中x(t)=(x1(t),x2(t)…,xp(t))T,y(t)=(y1(t),y2(t),…,yq(t))T是t的已知向量函數(shù)，a是p×1的固定系數(shù)向量，β是q×1的隨機(jī)系數(shù)向量，且β～(b,∑).

現(xiàn)對m個(gè)樣品，分別在tij(ti1p+q)時(shí)

測得以下數(shù)據(jù)：zij=[x(tij)]Ta+[y(tij)]Tβi+εij

(2)

這里的βi和εij分別是每個(gè)樣品的隨機(jī)系數(shù)和每次測量的誤差，βi與εij獨(dú)立，且

若記zi=(zi1,zi2,…,zini)T,εi=(εi1,εi2,…,εini)T

則可得：zi=Xia+Yiβi+εi

(3)

設(shè)Ci=(Xi,Yi),d=(aT,bT)T,ei=Yi(βi-b)+εi,則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

進(jìn)一步，記

z=Cd+e,e～(0,D)

(5)

這里還要求rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,rank(Xi,Yi)=p+qg.

基于混合系數(shù)線性模型的廣泛應(yīng)用背景，許多學(xué)者研究了該模型的參數(shù)估計(jì)問題[3～11]。莊東辰等給出了d的LS估計(jì)[3]，但當(dāng)系數(shù)陣接近病態(tài)時(shí)，LS估計(jì)雖然無偏但均方誤差過大。針對此情況，劉小茂等提出了一種有偏估計(jì)——根方估計(jì)[4]，陳靜進(jìn)一步給出了局部根方估計(jì)[5]。本文拓廣根方估計(jì)后，給出了廣義根方估計(jì)，并證明了在均方誤差意義下，廣義根方估計(jì)分別優(yōu)于上述估計(jì)，最后討論了根方參數(shù)的選取問題。

1 廣義根方估計(jì)

基于模型(5)，莊東辰等給出了d的LS估計(jì)：

模型(5)的典則形式為：

z=Lr+e,e～(0,D)

其中L=CQ,r=QTd,QTCTCQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λg)

劉小茂等給出了d的根方估計(jì)：

(6)

其典則形式為：

其中0

若λ1≥…≥λh≥1>λh+1≥…≥λg，為改進(jìn)根方估計(jì)，

陳靜給出了d的如下局部根方估計(jì)：

(7)

其中0

本文將根方估計(jì)(6)作如下拓廣，將常數(shù)k用對角陣K代替，稱

(8)

為d的廣義根方估計(jì)，

(9)

可以期望均方誤差能夠進(jìn)一步下降。

式(8)的典則形式為：

2 廣義根方估計(jì)的性質(zhì)

為敘述方便，此處明確下文記號：若K=diag(k1,k2,…,kg)

證 顯然

解得kj的最優(yōu)值為：

定理得證。

即在均方誤差意義下，廣義根方估計(jì)優(yōu)于根方估計(jì)。

從而

定理得證。

即在均方誤差意義下，廣義根方估計(jì)優(yōu)于局部根方估計(jì)。

定理得證。

3 根方參數(shù)的選取

此處介紹極小化均方誤差的無偏估計(jì)法，

=rT(ΛK-I)2r+tr[(ΛK-I)2Λ-2LTML]+σ2tr[(ΛK-I)2Λ-1],

σ2tr[(ΛK-I)2Λ-1]

4 模擬算例

模擬中，我們?nèi)=q=1,m=1,n1=2.假設(shè)時(shí)刻tij服從[0，1]上的均勻分布，由MATLAB生成隨機(jī)數(shù)t11=0.1270;t12=0.9058.

代入數(shù)據(jù)，由MATLAB計(jì)算得QTCTCQ=Λ=diag(2.4890,0.4944).

當(dāng)0

k0.10.30.50.70.9MSE(^d(k))23.128717.698914.042912.132812.1885MSE(^dL(k))22.739117.208713.06419.96167.6419