淺探數學解題規范在解題習慣培養中的應用

李玲琴

[摘? 要] 學生在數學考試時常出現“懂而不會寫”“會而不得分”的現象，究其原因，主要是學生不重視解題規范. 部分學生為了多“刷題”，在解題時僅寫幾個關鍵步驟，這樣久而久之就不懂得該如何答題了，進而在高考中常因書寫不規范而屢屢失分，得不償失. 為此，在日常教學中必須重視解題規范，培養學生良好的解題習慣，使學生的數學語言應用更準確、解題過程更完整、數學思維更嚴謹，促進學生成績全面提升.

[關鍵詞] 解題規范;解題習慣;全面提升

學生數學考試失分的原因很多，如審題不清、計算錯誤等，然從平時閱卷反饋來看，因書寫不規范而失分是普遍現象. 在數學學習中，很多學生不重視書寫規范，認為只要答案對就是沒問題的，不需要拘泥于細節，然正是這些細節反映了學生的思維習慣和學習習慣. 高考發榜后常有學生發現數學成績比自己估算的差，有些學生因為分數相差懸殊而申請復查，從復查反饋來看，大多數都是因為書寫不規范、解題步驟不完整而造成了失分，出現這一現象的原因就是教學中缺乏一定的規范性，平時的學習急于“刷題”，只重視結果是否正確而忽視了解題過程，缺乏良好的解題習慣. 因此，在日常教學和日常訓練中一定要重視解題的規范性，這不僅有益于高考，也有益于未來的工作. 那么，培養解題規范需要從哪幾方面入手呢？筆者選擇了一套模擬卷，讓學生經歷自評、生評、師評等過程，通過糾正不規范來培養學生良好的答題習慣.

[?] 數學語言要嚴謹

數學語言是非常嚴謹的、準確的，僅一字之差其代表的意義很可能就是天壤之別;數學語言是簡單明了、言簡意賅的，最簡潔的語言可以展現最本質的特征. 教師要發揮好數學語言的示范作用，對數學語言、數學符號的應用要做到準確無誤. 另外，對學生所犯的錯誤要重點剖析，讓學生找到錯誤發生的根源，進而提升學生的語言表達能力.

例1 A={x

x2+2x-3≤0}，B={x

x≤ -2或x≥1}，則A∩B=________.

閱卷時發現學生給出了如下的錯誤答案：①[-3，-2];②[-3，-2]∪{x=1};③{-2≤x≤-1或x=1}. 本題是基礎題，也可以說是送分題，然很多學生因平時對書寫沒有嚴格的要求，只關注求解而不重視表達，因而造成了錯誤.

從例1可以看出，在日常的教學中對數學語言和數學符號的表達不夠重視，致使用數學語言表達數學問題時出現了錯誤. 另外，若對數學語言不夠重視，學生在解題時很難從題目的文字語言、符號語言或圖形語言中提取重要的信息，這也限制了解題能力的提升. 因此，必須重視數學語言的規范性.

[?] 解題步驟要清晰

在平時考試時，乃至高考時都存在這樣的現象，很多學生感覺解答題的前面幾個小題較簡單，為了預留更多的時間完成后面的復雜題，學生采用了壓縮步驟法，這樣因過程的缺失、邏輯不完整而被扣了很多過程分，得不償失. 因此，在日常的考核中，教師對學生的解題過程的控制要嚴格，切勿存在感情色彩，認為寫出答案就說明學生是會的，只要提醒學生下次書寫注意就可以了，然高考評卷有著嚴格的要求，只有平時能做到高考這樣嚴格的要求才能在高考中不因此失分.

例2 已知函數f（x）=4cosxsin

x+

+m（m∈R），當x∈0

，時，f（x）的最小值為-1.

（1）求m值及變量x為何值時f（x）取最小值;

（2）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延長AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面積.

為了讓學生能更好地規范有步驟的書寫，教師選取了答題中較普通的寫法進行展示.

師：對于函數表達式這樣的轉化，你怎么看？（教師用PPT展示解答過程）

f（x）=sin2x+cos2x+1+m=2sin

2x+

+1+m.

生1：結果是正確的，然步驟不全，對兩角和與差的公式及二倍角的公式表述得不夠清晰.

師：誰能幫忙修改一下呢？

生2：我認為應該這樣寫：

f（x）=4cosx

sinx+cosx

+m

=2sinxcosx+2cos2x+m

=sin2x+cos2x+1+m

=2sin

2x+

+1+m.

師：很好，這樣解答過程就完整了. 解題時給出正確的答案固然是重要的，然解題過程的可讀性也是不容忽視的.

師：我們再來看一下，問題（2）的解答過程是否完美呢？（教師繼續用PPT展示解答過程）

由（1）化簡后得f（C）=2sin

2C+

=1，所以sin

2C+

=，故C=. 在△ABC中，設BC=x，因為AD=5，BD=BC=x，則AB=5-x. 由余弦定理得x=BC=，AB=;由正弦定理得sinA=·sin=. 所以△ACD的面積S=AC·AD·sinA=.

解答過程給出后，教師讓學生共同探究，以讓學生通過糾錯來發現自己的不足.

生3：我認為由sin

2C+

=，直接推導出C=有些過急了，在這里需要說明C是△ABC的一個內角，故C∈（0，π），2C+∈

，

，在該區間上，函數值所對應的角唯一.

生4：在應用余弦定理求x時，應加上“（5-x）2=x2+42-2·x·4cos”. 同樣，在應用正弦定理時應寫明“=”.

師：兩位同學說得非常有道理，補充后解答過程就完美了. 在應用公式解題時一定要注意公式的完整性，不要認為大家都知道的就可以省略，那樣會因步驟缺失而失分，會做的題目不失分才是高考成功的法寶.

在本題教學中，教師展演了學生的解答過程，引導學生發現不足，以此引起學生對答題步驟的重視. 最熟悉的內容往往是失分最嚴重之處，如公式、定理等，主要原因就是平時的訓練不夠規范——由于高中數學作業多、考試多，教師的日常評價更側重于結果，致使學生平時練習時就不關注過程，因此日常訓練必須養成嚴謹的態度.

[?] 作圖要規范

作圖是解題的工具，也是數形有效結合的前提，是高中學生必備的基本能力. 良好的、規范的作圖習慣不僅有利于學生解題，而且方便閱卷. 若學生作圖不規范，不僅不能發揮其直觀、準確、高效的作用，反而會對解題帶來干擾，因此作圖的規范性必須要重視.

例3 如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，四邊形ABEF是直角梯形，且AF∥BE，AB⊥BE，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB=BE=2AF=2.

（1）求證：AC∥平面DEF;

（2）若二面角D-AB-E是直二面角，棱DE上是否存在點P，使得BP⊥平面DEF？

因學生的思維方式不同，故其在作圖時可能采用不同的方法，如在解決例3的問題（1）時，有部分學生畫出了如圖2所示的圖形，其目的是借助于線線平行（FG∥AC）推導出線面平行（AC∥平面DEF）;也有部分學生畫出了如圖3所示的圖形，想通過面面平行（平面DEF∥平面ACM）推導出線面平面（AC∥平面DEF）. 無論學生采用哪種方法，都要利用好虛實線正確地表達出來，只用這樣才能方便解題、方便閱卷.

[?] 邏輯推理要嚴謹

數學解題過程也是一個演繹推理的過程，在這個過程中必須保證思維的嚴謹性，證明過程中雖然有些大的前提條件可以省略，但小的前提條件必須是齊全的、充分的，只有這樣才能保障會做的題目不失分.

在解決例3的問題（2）時，有學生解答時是這樣直接寫的：“由已知條件可知，∠EBC=.”在立體幾何證明中這樣的推理顯然是不嚴謹的，應這樣修改：“因為四邊形ABCD是正方形，所以CB⊥AB，又AB⊥BE，所以∠EBC是二面角D-AB-E的平面角，且二面角D-AB-E是直二面角，所以∠EBC=.”修改不僅合理地利用了已知，而且合理地利用了二面角的概念，這樣使推理更加嚴謹，使解題思路更加清晰.

在解題過程中要慎用“顯然”“由已知”等這樣帶著主觀判斷的字眼，如直接寫“由已知得”，那么已知哪幾個條件呢？已知條件是否充分呢？閱卷人難以知曉. 因此，在解題時應注意已知條件的“抄寫”，要使每步推理過程都有據可依.

[?] 文字說明不能少

在解題過程中添加必要的文字說明才能交代清楚由哪些已知條件可以推理出哪些結論，或者根據哪個定理、公式得到什么，等等. 有了這些簡要的文字說明才能使得整個解題過程清晰明了，使解題過程更有可讀性，閱卷教師閱卷起來會更輕松，進而有效避免“會而不得分”的尷尬.

例4 已知函數f（x）=xlnx+2，g（x）=x2-mx. 若存在x∈

，e使得mf′（x）+g（x）≥2x+m成立，求實數m的取值范圍.

在解答過程中，有學生是這樣寫的：“mf′（x）+g（x）≥2x+m，m（x-lnx）≤x2-2x，m≤，p（x）=……”

從學生的解答過程可以看出，沒有任何文字語言，哪個是已知？哪個是結論？條件x∈

，e起到了什么作用？因為沒有文字語言的串聯，使得解答過程毫無可讀性，這樣也會造成失分.

求解過程可以修正如下：由mf′（x）+g（x）≥2x+m整理得m（x-lnx）≤x2-2x. 因為x∈

，e，所以lnx∈[-1，0]，所以x-lnx>0，所以原問題轉化為m≤在x∈

，e上有解. 令p（x）=，x∈

，e……

通過言簡意賅的文字，使得解題思路清晰明了，思維嚴謹，大大增加了求解過程的可讀性，長此以往，對學生思維能力的培養也是有益的.

另外，除了以上強調的幾點外，學生在演算和書寫過程中也要注意過程和美觀，切勿因急于求成而出現“跳步”“漏寫”等情況的發生. 若想在高考中取得好成績，就要在日常訓練中關注解題細節，養成良好的解題習慣和書寫習慣.