核心素養視域下高中數學單元整體教學設計

趙茂男

[摘? 要] 通過構建單元知識的鏈條和結構體系，統籌、重組和優化教學內容和結構，進行單元整體教學設計，有利于引導學生把握數學問題本質，提升課堂教學效率和發展學生核心素養. 文章以橢圓的簡單幾何性質的教學為例，闡釋研究者對單元整體教學設計的認識與實踐.

[關鍵詞] 核心素養;高中數學;單元整體教學設計

單元整體教學設計不僅能夠突出相關主題內容和知識間的聯系，體現出知識的系統性、聯系性和整體性，而且能統籌、重組和優化教學內容和結構，把握數學問題本質，從而達到提升課堂教學效率和發展學生核心素養的目的. 而在具體實踐中，相當數量的教師對單元整體教學的意識和能力不強，大部分學生分析問題、解決問題的思路不夠全面，處理綜合類問題的能力非常薄弱. 因此，文章以橢圓的簡單幾何性質的教學為例[1]，闡釋筆者對單元整體教學設計的認識與實踐.

[?] 教學過程再現及設計意圖分析

1. 內容和內容解析

橢圓的簡單幾何性質是高中數學“圓錐曲線與方程”中的重要內容，是學習橢圓定義及其標準方程后所要探究的主要知識點，其幾何性質主要包括頂點、對稱性、離心率以及范圍，并且橢圓是學生首次學習圓錐曲線所要面對的內容，之后所學習的拋物線、雙曲線都可以利用橢圓的學習方式進行探究，因此探究橢圓的簡單幾何性質就顯得尤為關鍵.

2. 教學問題診斷分析

在學習該內容之前，學生就已經熟練掌握了橢圓的定義及其標準方程，倘若在課堂教學中直接呈現橢圓的各種幾何性質，由于對數形結合思想不夠熟練，相當數量的學生會難以理解離心率等知識的本質. 雖然高中學生已經具備了一定的分析問題的能力，但仍然存在著分析不夠系統和全面的情況.

3. 目標和目標解析

基于以上分析，結合教學三維目標，橢圓的簡單幾何性質可以設計如下教學目標：

（1）熟悉并掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標以及離心率.

（2）經歷橢圓幾何性質的探究過程，充分體會“應用代數方法研究幾何問題”以及數形結合思想.

（3）采用實驗探究和合作交流的方式，激發學生對未知知識的求知欲[2]，增強學生認識事物本質的能力.

4. 教學理念及策略分析

為了突出學生的主體地位，可以采用自主探究和交流討論相結合的方式，深刻了解已知參數求曲線方程和已知曲線方程求參數等求解圓錐曲線與方程的最基本的兩種題型. 同時，教師還應重視學生的操作與活動，最大限度地給予學生積極參與課堂實踐的空間和時間，可以利用GeoGebra軟件探究影響橢圓“扁平”程度的參數. 此外，教師還可以讓學生應用GeoGebra軟件闡述自己的觀點，或者講解自己對GeoGebra軟件的認識，或者利用GeoGebra軟件驗證結果的真實性，有效促使學生在提高數學素養的同時，學習到一些數學思想和數學方法.

5. 教學過程設計

（1）溫故知新.

師：出示上節課學習的圖形，請學生回顧橢圓的定義及其標準方程，然后以課本圖為例，深入闡述橢圓的定義.

師：應用GeoGebra軟件將橢圓的兩個焦點拖到同一處，要求學生觀看圖像的變化情況.

設計意圖：對橢圓簡單幾何性質的研究是在學習了橢圓標準方程及其圖像后開展的，讓學生復習橢圓的標準方程以及圖像，有助于新知識的學習;并且利用GeoGebra軟件進行動態演示，能很好地體現橢圓與圓之間的聯系，有助于體現整體思想.

（2）合作探究.

問題1：橢圓的大小由什么確定？

師：利用GeoGebra軟件隨機呈現一個橢圓，如圖1所示，并在圖中描述出相應橢圓的特征三角形.

生：觀察橢圓的圖像，并討論得出橢圓的范圍，即橢圓總是位于直線x=±a，y=±b所形成的矩形范圍之內.

師：上述橢圓范圍的確定是通過觀察圖像獲得的，能否進行證明？

設計意圖：相比代數方法，在圖像上進行觀察比較直觀，更能滿足學生的學習需求，然后應用代數方法驗證結論，要求學生對標準方程進行變形，不僅能加深學生對橢圓范圍的理解，而且能增強學生的參與意識.

問題2：橢圓是否是對稱圖形？

師：通過橢圓圖像的觀察，能夠感受到橢圓是對稱圖形，能否應用已學知識進行驗證？

生：應用-y代替y，-x代替x，原有的橢圓方程并沒有發生改變，即橢圓關于x軸、y軸、原點對稱.

師：利用GeoGebra軟件演示橢圓繞著x軸、y軸、原點進行旋轉，要求學生仔細觀察，并說明橢圓的對稱軸、對稱中心等概念.

設計意圖：在學生應用已學知識說明橢圓的對稱性后，將抽象的知識通過GeoGebra軟件進行動態展示，不僅能夠讓學生深度理解橢圓的對稱性，也在無形中滲透了數形結合思想.

問題3：橢圓有哪些特殊點？

師：曲線上的一些特殊點可以準確確定曲線的位置，那么橢圓上可能有哪些特殊點？

生：在橢圓標準方程里，不妨設y=0，則x=±a，這就意味著（-a，0），（a，0）是橢圓在x軸上的兩個頂點;同理，可得（0，-b），（0，b）是橢圓在y軸上的兩個頂點，如圖2所示.

師：除了頂點外，橢圓的焦點也是橢圓的特殊點，即從橢圓某一焦點射出的光線，經過橢圓反射后，光線能夠經過橢圓的另一個焦點.

設計意圖：橢圓的頂點，學生容易理解，教師沒必要在頂點的講解上浪費過多的時間. 同時，橢圓的光學性質僅在相關閱讀材料中有所提及，因此教師只要讓學生明白其重要性即可，并鼓勵有興趣的學生課后進行探究.

問題4：橢圓的“扁平”程度與哪些因素有關？

師：畫出幾個長軸相同但焦點不同和幾個焦點相同但長軸不同的橢圓.

生：分組開展探究，并進行總結，如圖3、圖4所示，即a不變，c越小，則橢圓越圓;c不變，a越大，則橢圓越圓.

師：呈現離心率的概念，引導學生得出：當e越接近1時，則橢圓越扁;反之，當e越接近0時，則橢圓越圓. 并以或能否刻畫橢圓的“扁平”程度為主題，要求學生進一步進行探討.

設計意圖：離心率是橢圓的一個重要概念，如果單純依靠教師的講解，則無法達到深度理解的效果. 因此，教師應設計動手實驗，要求學生充分發揮自己的主觀能動性進行探究和總結.

（3）理解提升.

例1 已知9x2+25y2=225，試求該橢圓的頂點、焦點的坐標，長軸長、短軸長、離心率，并應用描點法畫出它的圖像.

例2 試求符合下列條件的橢圓的標準方程.

①經過點P（-6，0）和Q（0，8）;

②已知長軸長在x軸上，且長軸長等于12，離心率等于.

例3 試比較下列每組橢圓的“扁平”程度.

①x2+9y2=36與+=1;

②9x2+y2=36與+=1.

設計意圖：例1的設計是為了學生能更好地掌握橢圓的范圍、對稱性、離心率等知識，并通過描點法系統理解橢圓的性質;例2是已知參數求解橢圓方程，這是需要學生重點掌握的題型;例3的設計是為了加深學生對離心率刻畫橢圓“扁平”程度的理解.

[?] 教學反思

以橢圓的簡單幾何性質為例的單元整體教學設計是基于教學問題分析到位、對教材充分解讀基礎上進行的，不僅融入了信息技術輔助教學，使用了GeoGebra動態幾何軟件，而且也突出了以“解決問題”為中心的思想，并且通過單元整體教學設計，有效把握了圓錐曲線與方程相關知識的發展脈絡，避免了知識的碎片化和教學的局部化，使得數學核心素養融入課堂落到實處[3].

同時，在呈現抽象的離心率概念時，教師應注重實驗探究的自然性和多樣性，為培養學生發現問題、提出問題積累活動經驗，提升學生的創新意識，并且積累的活動經驗對于如何領悟數學思想方法起著定向性和方法性的作用，從而轉變學生傳統的學習方式，發展和提升學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]? 陳小波. 高中數學單元教學整體設計的區域研究與實踐——以人教A版《數學》（必修第一冊）“三角函數”為例[J]. 中學數學教學參考，2020（04）：10-15+24.

[2]? 高影，蒲錦泉.基于單元整體的教學設計——以“兩角差的余弦公式”為例[J]. 福建中學數學，2021（04）：34-36.

[3]? 蔣丹丹. 貫通數形內容，轉化構建破解——以圓錐曲線問題中的幾何關系剖析為例[J]. 數學教學通訊，2019（24）：79-80+88.