彰顯對稱之美,發展直觀想象素養

徐建新 林建甌

[摘? 要] 對稱問題在數學中無處不在.對稱性在幾何中的體現最為直觀，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等;大量的數學公式、定理等也具有對稱形式. 因此，在分析問題、解決問題時不僅要善于發現、更要懂得利用圖形的對稱性引導解題方向. 運用對稱思想可以使思維和推理過程更簡潔.

[關鍵詞] 對稱;直觀想象素養

數學中，幾何圖形有軸對稱、中心對稱、鏡像對稱等;大量的數學公式、定理等也具有對稱形式;數學的許多研究對象、研究方式等也都與對稱有關. 解題時，如果能夠注意觀察、充分挖掘題目中的對稱因素，在分析問題、解決問題時有意識地利用對稱性，可以使思維和推理過程更簡潔.文章結合幾道試題談談對稱性在數學解題中的應用.

[?] 利用圖形的對稱性巧妙建立直角坐標系

例1 在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不與A，C重合）是AC邊上的兩個動點，且滿足

=，則·的取值范圍為（? ）

A.

， 2 B.

， 2

C.

， 2

D.

， +∞

解法1：以點B為原點，BC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖1所示.由A（0，2），C（2，0），得直線AC的方程為x+y=2.設M（a，2-a），則N（a+1，1-a），且0<a<1. 所以=（a，2-a），=（a+1，1-a），所以·=a（a+1）+（2-a）（1-a）=2a2-2a+2. 因為0<a<1，所以·的取值范圍為

， 2

，故選C.

解法2：以AC所在的直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖2所示，則B（0，），A（-，0），C（，0）. 設M（a，0），則N（a+，0），且-<a<0. 所以·=（a，-）·（a+，-）=a2+a+2. 又-<a<0，所以·的取值范圍為

， 2

，故選C.

點評：該題是平面向量中一道典型的求向量數量積的取值范圍問題，可以通過建立平面直角坐標系，將數量積問題轉化為坐標運算. 由∠ABC=90°，學生不假思索地選擇以點B為原點建立平面直角坐標系，但設M（a，2-a）后，如何由

=得到點N的坐標是繼續解題的障礙. 將通過正交分解成+，如圖3所示. 在等腰直角三角形MPN中，可以直觀找到點N的坐標與點M的坐標之間的關系：x=x+1，y=y-1.解法2利用的是等腰三角形的對稱性，打破了思維定式，以AC所在的直線為x軸建系，使動點落在x軸上，更方便由

=得點N的坐標.

[?] 利用對稱求最值

例2 在平面直角坐標系中，點A，B 分別是x，y軸上的兩個動點，有一定點M（3，4），則

MA

+

AB

+

MB

的最小值是（? ）

A. 10? B. 11

C. 12? D. 13

解：如圖4所示，點M關于x，y軸的對稱點分別為M（3，-4），M（-3，4）. 由圖形的對稱性可知，MA=

MA，MB=

MB.所以MA+AB+MB=

MA+AB+

MB≥

M

M=10（當且僅當M，A，B，M四點共線時取等號），故選A.

例3 若正數a，b滿足a+b=1，則+的最小值為________.

解法1：由a>0，b>0，得

+

[（3a+2）+（3b+2）]=2++≥4（當且僅當a=b=時取等號）. 又（3a+2）+（3b+2）=7，所以+的最小值為.

解法2：由代數式中a，b的輪換對稱性可知，當且僅當a=b=時，+有最小值，代入得該式的最小值為.

點評：例2中根據圖形的對稱性將線段MA，MB轉化為MA，MB. 根據平面幾何知識可知，兩點間線段最短，所以當四點共線時三條線段之和最小. 例3的解法1將代數式乘[（3a+2）+（3b+2）]，利用常量代換，再結合基本不等式解決最值問題，但此方法難度較大，不易想到. 解法2充分利用代數式中字母輪換對稱的結構特征，引發學生大膽猜想，迅速獲得答案.

[?] 利用對稱減少運算量

例4 設F1，F2是雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點，O是坐標原點. 過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P. 若

PF1

=

OP

，則C的離心率為（? ）

A. B. 2

C. D.

分析：如圖5所示，在Rt△OPF中，易知

PF

=b，

OF

=c，所以

OP

=a. 在△PFF中，

PF

=a，

PF

=b，

FF

=2c，cos∠PFF=. 由此，先利用余弦定理得到a，b，c的關系，再由b2=c2-a2消去b，得到a，c的關系，進而求出離心率，但運算量較大.若注意到雙曲線及其漸近線都關于原點中心對稱，作出點P關于原點O的對稱點，可以大大減少運算量.

解：如圖6所示，延長PO至點P′，使

PO

=

OP′

，連接P′F，P′F. 由圖形的對稱性可知，四邊形PFP′F為平行四邊形.在Rt△OPF中，由點F（c，0）到漸近線y=x的距離d==b，可得

PF

=b，所以

OP

=a. 在Rt△PP′F中，由

FP′

=

PF

=a，

PP′

=2a，得

FP

=a，所以a=b.離心率e==，故選C.

點評：拋物線是軸對稱圖形，圓、橢圓與雙曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形. 對稱性是圓錐曲線的重要性質，靈活運用圓錐曲線的對稱性往往能使問題化難為易，簡化運算.

例5 （2020年春季福建省泉州市高一數學期末質量檢測試題）已知f（x）=sin

x

+-cos

x

+，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=________.

分析：化簡原函數，得f（x）=2sin，所以函數的最小正周期T=6. 又2020=336×6+4，所以只需要求f（1）+f（2）+…+f（6）和f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值即可. 若逐個代入計算，既費時又易出錯. 如圖7所示，作出y=sinx在[0，2π]上的圖像，并將該區間分成6等份，由y=sinx在[0，2π]上關于點（π，0）對稱，可得f（1）+f（2）+…+f（6）=0，且f（3）=0，f（2）+f（4）=0，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=f（1）=.

點評：三角函數圖像也是重要的軸對稱圖形、中心對稱圖形.求解本題利用的就是正弦函數圖像的中心對稱性，引導學生在直觀感知的基礎上整體計算函數值，既提高學生思維的靈活性，培養學生數形結合思想，又發展學生直觀想象和數據分析等素養.

[?] 利用對稱找定點

例6 （2021年福建省廈門市高三第一次質量檢測試題）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F，F，

FF

=4，且a=b.

（1）求C的方程;

（2）若A，B為C上的兩個動點，過F且垂直x軸的直線平分∠AFB，證明：直線AB過定點.

解：（1）C的方程為+=1.

（2）如圖8所示，由橢圓的對稱性可知，直線AB所過的定點M必在x軸上. 由橢圓方程得F（2，0）. 當A（0，2）時，∠AFO=∠BFx=45°. 將直線BF的方程y=x-2代入橢圓方程+=1，得3x2-8x=0. 所以，點B的坐標為

，，此時直線AB的方程為x+2y-4=0，得點M（4，0）.

以下證明M（4，0）就是滿足條件的定點：

當A，B都落在x軸上時，直線AB顯然過點M（4，0）;

當A，B不落在x軸上時，由直線AB經過點M（4，0），可設其方程為x=my+4，A（x，y），B（x，y）. 由

+

=1，

x=my+4，得（m2+2）y2+8my+8=0. 由Δ=（8m）2-32（m2+2）>0，得m2>2. 由y+y=-，yy=，得k+k=+=+==0.即∠AFO=∠BFx恒成立. 故過F且垂直x軸的直線恒平分∠AFB.所以，當過F且垂直x軸的直線平分∠AFB時，直線AB過定點M（4，0）.

點評：對稱性思想在笛卡爾創建的解析幾何學中運用得淋漓盡致，展現了代數與幾何的和諧統一. 如各種曲線標準方程的推導充分利用了圖形本身的對稱性，使得推導過程運算簡便，方程更具對稱美.本題中，利用圖形的對稱性，先判斷定點的位置，再由特殊情況定量計算出定點的坐標，最后嚴格證明該點就是滿足條件的定點，這是尋找定點問題的常用方法.該方法充分體現了先猜后證、從特殊到一般解決問題的重要思路.

[?] 利用對稱認識數學的審美價值

例7 數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+

x

y就是其中之一（如圖9所示）. 給出下列三個結論：

①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）;

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;

③曲線C所圍成的“心形”區域的面積小于3.

其中，所有正確結論的序號是（? ）

A. ① B. ②

C. ①② D. ①②③

分析：由圖形的對稱性，先考慮x>0的情況：此時曲線C的方程為x2+y2=1+xy. 由x2+y2=1+xy≤1+，得x2+y2≤2，所以曲線C上任意一點到原點的距離都不超過，結論②正確. 同時，由x2+y2≤2，得x2≤2. 因此，只需考慮x=1，此時曲線C經過的整點有（1，0），（1，1）. 由圖形的對稱性可知，當x<0時，曲線C經過的整點有（-1，0），（-1，1）. 又x=0時，y2=1，曲線C經過的整點有（0，1），（0，-1），結論①正確. 如圖10所示，A（0，-1），B（1，0），C（1，1），D（0，1）. 所以，四邊形ABCD的面積S=×1×1+1×1=，顯然“心形”區域的面積大于2S，即大于3，結論③錯誤.

點評：利用圖形的對稱性，先考慮圖形在y軸右側的情況，簡化問題. 結合基本不等式可得曲線上的點到坐標原點距離的最值，并確定x的范圍，從而得到整點坐標和個數;同時，利用對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍. 學生在欣賞數學美的過程中感受對稱思想在解題中的應用，引導學生感悟數學的審美價值，滲透“美育思想”.

波利亞說：“對稱的東西要盡量對稱地去處理，不要隨意破壞任何自然的對稱性.”對稱思想是研究數學問題常用的思想方法. 數學中，幾何圖形的對稱性最直觀，通過畫出圖形就能容易發現具有對稱性的對象.解題時，教師應指導學生不僅要善于發現、更要懂得利用圖形的對稱性引導解題方向，簡化運算，這樣才能逐步提高學生用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界的能力.