高中數學變式教學的三性:目標性、時效性、層次性

[摘? 要] 針對當前變式教學存在的問題，基于理論研究與教學實踐，認為變式教學要有目標性、時效性和層次性，以發展學生的思維.

[關鍵詞] 變式教學;目標性;時效性;層次性

新課改背景下，變式教學已成為一種常態. 每次聽公開課，關于變式問題幾乎都會涉及. 不難發現，有效利用變式教學，不僅可以擴大教學容量、節約課堂時間，還可以增加課堂情趣，為教學添彩增色.然而，在聽課時，筆者發現了一些問題：變式教學存在一定的隨意性. 部分教師由于對變式教學的本質理解不透徹，教學中出現了不合常理的現象，如有的不合知識的邏輯順序;有的不顧學生的認知水平;有的盲目追求面面俱到，使學生陷入了新的“題海”;有的忽視師生互動，只顧自己不停變式，無視學生的情緒，等等. 基于此，高中數學教師在進行變式教學時應注意哪些問題呢？筆者以為，變式教學要有目標性、時效性和層次性.

[?] 變式教學要有目標性

對于同一課內容，可以從不同角度設計完全不同的變式問題，但教師需要明確：每一步變式的目的是什么？想讓學生做什么？變式的最終目的是什么？學生能有什么收獲？因此，在變式之前，教師必須反復斟酌，仔細推敲. 教學要有教學目的，變式教學亦然如此.

案例1 高度問題的計算.

引例：如圖1所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15°的方向上，行駛5 km后到達B處，測得此山頂在東偏南25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD.

變式1：如圖2所示，一棟建筑物AB的高為（30-10）米，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD，在其之間的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A、塔頂C的仰角分別是15°，60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角是30°，則通信塔CD的高為________米.

變式2：如圖3所示，用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在其正西方向的上空，分別測得氣球的仰角為α，β. 已知B，D間的距離為a，測角儀的高度為b，求氣球的高度.

變式3：如圖4所示，地平面上有一旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上選一基線AB，AB=20 m，在A點處測得P點的傾角∠OAP=30°，在B點處測得P點的仰角∠OBP=45°，又測得∠AOB=60°，求旗桿的高度h.（結果保留兩個有效數字）

變式4：為了應對日益嚴重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出了一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測.如圖5所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進行彈射實驗，觀測點A，B兩地相距100米，∠BAC=60°，在A地聽到彈射聲音比B地晚秒（已知聲音傳播速度為340米/秒），在A地測得該儀器至高H處的仰角為30°，則這種儀器的垂直彈射高度HC=________米.

以上4個變式題目一脈相承，變式1將圖形平面化，培養學生的識圖能力;變式2將已知條件變成字母，培養學生的三角運算能力;變式3將圖形立體化，通過問題的解決培養學生的方程思想;變式4將問題進一步實際化，培養學生分析問題與解決問題的能力. 以上每個變式問題的最終目標一致，都是教會學生解三角形中的一類高度問題.

[?] 變式要有時效性

變式教學作為教學的一種必要形式，引入變式無可厚非，但并非想變就變，想什么時候變就什么時候變. 教師應把握好引入變式的時機.只有在恰當的時機引入恰當的變式，教學和訓練才能達到預期的理想效果，否則它只是一種形式，有時應用不當反而會起負作用.因此，引入每一個變式，教師都要想什么時候引入最合適，效果最好.

案例2 冪函數的圖像與性質的應用.

引例：已知函數f（x）=（m2-m-1）x-5m-3，m為何值時，f（x）：（1）是冪函數？（2）是冪函數，且是（0，+∞）上的增函數？

設計目的：及時鞏固學生剛學過的新知.

變式1：冪函數y=f（x）的圖像過點（4，2），則冪函數y=f（x）的圖像是（? ）

<D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2022年＼2022年中等教育下旬3期＼周世彥3-3.tif><D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2022年＼2022年中等教育下旬3期＼周世彥3-3.tif>[x][O][y][x][O][y]<D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2022年＼2022年中等教育下旬3期＼周世彥3-4.tif><D：＼DW＼數學教學通訊（下旬）＼2022年＼2022年中等教育下旬3期＼周世彥3-4.tif>[A][B][x][O][y][C][D][x][O][y]

設計目的：及時鞏固學生對冪函數圖像的認識.

變式2：當0<x<1時，f（x）=x1.1，g（x）=x0.9，h（x）=x-2的大小關系是________.

設計目的：及時鞏固學生對冪函數在第一象限的圖像的認識.

變式3：已知冪函數f（x）=xα的部分對應值如下表（表1），則不等式f（

x

）≤2的解集是（? ）

設計目的：及時培養學生掌握冪函數單調性的應用.

變式4：已知冪函數f（x）=xm2+m-1（m∈N*）經過點（2，2），試確定m的值，并求滿足條件f（2-a）>f（a-1）的實數a的取值范圍.

設計目的：讓學生知道利用冪函數的單調性時切勿忽視冪函數的定義域.

對于冪函數的教學要求并不高，教學大綱的教學安排只有1課時. 因此，這節課的變式不可太多，也不可太難. 對于這類新授課的變式教學，應特別注重時效性，能讓學生當堂學習、當堂鞏固，進而發揮變式的實效.

[?] 變式要有層次性

變式的層次性是指變式時要循序漸進，要有梯度，層次合理，跨度合理.一般而言，從簡單入手，拾級而上，變式之間的跨度不宜過大，不能讓學生產生畏難情緒，從而畏葸不前. 同樣，變式也不可過密，跨度過密往往會出現一些沒有價值的問題，不利于學生的思維發展.如何設計有層次性的變式，一切都要從學生的實際出發，設計的問題應盡量接近學生的最近發展區，讓各種層次的學生都有所想、有所悟，從而有所收獲.

案例3 與焦點三角形有關的橢圓的離心率的求法.

引例：已知F，F是橢圓C的左、右焦點，點P在橢圓C上，且滿足PF=2PF，∠PFF=30°，則橢圓C的離心率為____.

變式1：設F，F分別是橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，若線段PF的中點在y軸上，∠PFF=30°，則橢圓C的離心率為________.

變式2：橢圓Г：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F，F，焦距為2c.若直線y=（x+c）與橢圓Г的一個交點M滿足∠MFF=2∠MFF，則該橢圓的離心率等于________.

變式3：如圖6所示，已知點P是以F，F為焦點的橢圓+=1（a>b>0）上一點，若PF⊥PF，tan∠PFF=，則此橢圓的離心率是______.

變式4：已知點P是以F，F為焦點的橢圓+=1（a>b>0）上一點，若∠PFF=α，∠PFF=β，且cosα=，sin（α+β）=，則該橢圓的離心率為________.

變式5：已知橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F（-c，0），F（c，0），若橢圓上存在點P使=，則該橢圓的離心率的取值范圍為_____.

不難發現，以上5個變式題目都是圍繞著與焦點三角形有關的橢圓的離心率而展開的，從簡單到復雜，從數據的變化到題目結構的變化，從形式相同到本質不同，層層相連，步步為營，環環相扣，讓學生的思維不斷地螺旋上升，同時也感受到了數學思維的樂趣.

總之，變式教學最終的目的是為了發展學生的思維，因此變式要注意學生的參與度. 教師要時刻做到“眼中有學生，心中有學生，一切為了學生”，否則再好的變式也會毫無意義.