開展解后反思 優化數學品質

田飛

[摘? 要] 高考數學試卷題量大、題目新，保障高考解題準確率的同時，也要提升解題效率. 為此，在日常教學中要關注解題方法和解題過程的優化. 那么，為了實現“優化”的目的，就要開展解后反思，通過反思結果有效規避犯錯的風險，通過反思方法和過程優化解題思路，進而提升解題效率.

[關鍵詞] 解后反思;優化;解題效率

隨著新課改的不斷深入，大多數師生已經意識到了“題海戰術”的弊端，然面對高考的壓力，很多學生依然會選擇“刷題”方法. 要知道“題海無邊”，若只知道埋頭苦干而不關注題目之間的聯系，不重視解后反思，將很難形成完善的認知體系，這樣學生的知識遷移能力勢必會減弱，解題效率也很難取得較大程度的提升，這樣勢必會影響高考成績.

在高中數學教學中，大多數師生過多地追求“量”，將多數時間和精力都放在解題上，對解題方法和解題過程關注得比較少，純粹地為了解題而解題，不重視解題方法的優化，不重視知識的系統化建構，不重視數學思維的培養，久而久之，學生不僅容易出現思維定式，而且解題能力也很難獲得有效提升. 為此，在教學中必須指導學生進行解后反思，通過評價探究成功的經驗，吸取失敗的教訓;通過反思實現解題方法和解題過程的優化，進而逐步提升解題效率，優化數學品質.

[?] 反思解題方法

眾所周知，學生的認知水平和思維習慣是存在差異的，在面對同一問題時往往因思考的方向不同而產生不同的解法. 教師應多引導、多鼓勵學生嘗試應用不同的解法進行求解，這樣可以引導學生站在不同的角度去思考問題，進而有效地拓寬學生的視野，豐富學生的解題經驗，促進解題效率提升.

例1 將A，B，…，G共7個字母進行排序，若規定A和B不能出現在首和尾，你知道有多少種排列方法嗎？

師：思考一下，這個問題該如何解決呢？（教師預留時間讓學生獨立思考）

生1：可以先不考慮A，B，其余5個字母中選2個字母放在首和尾，則有A種排列方法;這樣去除首和尾后還有5個字母，這5個字母全排列，則有A種方法. 所以一共有A·A=2400種排列方法.

師：很好，生1應用直接法順利地求解了本題. 還有其他解決方案嗎？（應用排除法的學生已經躍躍欲試地想展示自己的解題過程了）

生2：若A為首，則有A種排列方法;若B為尾，則有A種排列方法;若A為首且B為尾，則有A種排列方法;若7個字母全排列，則有A種方法. 于是有A-2A+A=2400種排列方法.

例1的求解過程并不難，從學生的練習反饋來看，主要應用了兩種方法進行求解，一種是直接法，一種是排除法. 教師沒有直接給出答案讓學生核對，而是引導學生展示求解過程，進而讓學生體會不同解法的魅力. 在解決排列組合問題時，方法一般不局限于一種，教師 從不同角度去嘗試不同的解題方法，這樣不僅可以調動學生的積極性，而且可以培養學生多角度思考問題的能力.

在教學中，教師可以多組織學生進行解后反思，在解決問題的基礎上再思考、再探究，嘗試不同的解題方法，即使新的解題方法可能是煩瑣的，然經歷了再思考的過程，有利于問題的深化. 同時，從不同角度去嘗試不同的解題方法勢必會調動不同的認知，這樣有利于溝通知識之間的縱橫關系，便于實現不同知識模塊的重組和再建，進而逐漸完善學生的認知體系，促使思維能力發展. 另外，通過不同方法的對比，有助于學生發現最優的解題方案，進而通過總結歸納發現解題的一般思路，有效提升解題效率.

[?] 反思解題過程

學生在解題過程中難免會出現一些“小錯誤”“小瑕疵”，而這些“小錯誤”“小瑕疵”若影響到了解題結果，學生就會加以改正，反之，學生就會置之不理. 久而久之，這些“小錯誤”“小瑕疵”積少成多，最終或因過程缺失而失分，或因出現主觀臆想而使解題思路偏移，等等，從而影響到解題效率和解題質量. 為此，解題后有必要對解題過程進行回顧和整理，進而做到每步都有理有據，培養思維的嚴謹性.

例2 若拋物線y=ax2-1（a≠0）上總有關于直線l：x+y=0對稱的兩點，試求實數a的取值范圍.

本題雖然題設信息看似簡單，然若想將條件和結論順利建立聯系卻有一定難度. 學生通過不斷嘗試求解問題后，教師可設計一些問題引導學生解后反思，進而讓學生在回顧和整理自己解題方法的同時，自動嘗試其他的解題方法. 比如問題如下：

（1）設A（x，y），B（x，y）為拋物線上關于l對稱的兩點，根據這個信息你能得到哪些條件？

（2）求a的取值范圍的關鍵是什么？

通過問題（1）讓學生分析出A（x，y）和B（x，y）在拋物線上，AB⊥l，線段AB的中點既在直線AB上，又在直線l上. 求a的取值范圍就需要建立關于a的不等式，這就是解題的關鍵.

解法1（利用判別式）：根據問題（1）可知，直線AB與拋物線y=ax2-1（a≠0）有兩個交點，為此根據Δ>0建立關于a的不等式.

解法2（直線的參數方程）：根據已知得到關于直線AB中點的參數方程，將其代入拋物線方程后化簡轉化為關于參變量t的二次方程，根據A，B兩點的對稱關系易得t+t=0，tt<0，進而得到關于a的不等式.

當然，求解方法也不局限于以上兩種，學生還可以應用均值不等式法、直線AB中點在拋物線內等方法進行求解. 借助于問題的引導，讓學生從問題的本質出發，嘗試應用不同方法求解有助于發展學習能力. 同時，通過反思可以幫助學生訂正因考慮不周出現的“小錯誤”，進而使整個解題過程更加順暢、豐滿. 總之，教學過程中，教師應多引導學生進行獨立思考，培養學生解后反思的好習慣，這樣不僅可以使解題過程更加完美，而且使思維過程更加嚴謹，解題視野更加開闊，有助于學生綜合能力的發展.

[?] 反思解題結果

在解題過程中難免會走一些彎路，犯一些錯誤，那么為了減少類似情況的發生，學生在求解后可以反思一下解題結果，看看關鍵條件是否已經合理應用，運算過程是否可以優化，是否出現了公式濫用，等等，通過反思在保障解題準確率的情況下，還可以實現解題效率的提升.

例3 從圓C：（x-1）2+（y-1）2=1外一點P（2，3）向圓C引切線，切點為A，B，求直線AB的方程.

解法1：由已知可得圓心為（1，1），半徑r=1，若過點P的切線方程斜線不存在，則x=2為切線方程;若斜率存在，設斜率為k，切線方程為y-3=k（x-2），圓心（1，1）到切點的距離d==r=1，解得k=，求得切線方程為3x-4y+6=0. 聯立切線的方程與圓C的方程求得切點A，B的坐標分別為（2，1），

，

，根據兩點的坐標求得直線AB的方程為x+2y-4=0.

解法1的思路簡單，符合大多數學生的思維特點，然在求解切點A，B的坐標時要進行復雜的運算，這樣不僅會增加解題的時間，而且還會增加出錯的風險. 雖然解法1可以求解，但并不是最優的解決方法，為此教師有必要及時引導學生進行反思，讓學生另辟蹊徑，探究求切點A，B坐標的捷徑.

解法2：切點A，B是以PC為直徑的圓與圓C的交點，以PC為直徑的圓的方程為（x-1）（x-2）+（y-1）（y-3）=0，聯立其與圓C的方程可直接求得切點A，B的坐標為（2，1），

，

，根據兩點的坐標求得直線AB的方程為x+2y-4=0.

這樣，運用平面幾何的知識聯想到另一個圓，兩圓的交點即為切點，從而有效地減少了運算量. 從解題過程可以看出，解法2較解法1更加簡潔.

例4 已知函數f（x）=，試判斷f（x）的奇偶性.

顯然，若想判斷函數f（x）的奇偶性應先對其進行化簡，大多數學生化簡過程如下：

f（x）=

=

=

=tan.

因為tan是奇函數，所以f（x）也是奇函數.

整個化簡過程看上去非常完美，然細細品味會發現，最后一步的約分并非等價變形，因為f（x）與tan的定義域并不相同，所以兩者并非同一個函數，所以直接應用tan的奇偶性來判斷f（x）的奇偶性顯然是錯誤的. 出現該錯誤的主因是學生忽視了函數的定義域，可見學生對函數奇偶性概念的理解還不夠深刻. 通過結果反思讓學生認識到自己的不足，這樣經歷自我發現和自我糾正的過程，可有效避免錯誤的再次發生.

總之，合理應用解后反思不僅可以優化解題過程，提高解題準確率和解題效率，而且有利于培養學生發現問題和解決問題的能力，有利于提升學生的數學素養，有利于養成嚴謹的學習習慣，進而為學生的長遠發展奠基.