化“橢”為“圓”,由“研題”到“命題”的探索

郗坤洪

[摘? 要] 橢圓與圓有很多相似之處，橢圓的很多性質(zhì)都可以由圓類(lèi)比得出. 文章主要借助于伸縮變換，化“橢”為“圓”，以橢圓中心三角形面積問(wèn)題為例進(jìn)行題源探究，并揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，從命題者的角度來(lái)思考、設(shè)計(jì)題目，更好地把握命題規(guī)律，有利于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提高.

[關(guān)鍵詞] 橢圓;圓;三角形;面積

數(shù)學(xué)家波利亞（George Polya，1887—1985）曾說(shuō)過(guò)，“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”. 橢圓是解析幾何的重要內(nèi)容，它的很多性質(zhì)都可以由圓類(lèi)比得出. 文章主要借助于伸縮變換，化“橢”為“圓”，以橢圓中心三角形面積問(wèn)題為例進(jìn)行了題源探究，并進(jìn)一步對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了命題研究. 通過(guò)化“橢”為“圓”，能夠有效地降低題目難度，減少運(yùn)算量，有助于學(xué)生系統(tǒng)掌握?qǐng)A錐曲線問(wèn)題，提高學(xué)科素養(yǎng);教師通過(guò)命題的分析與研究，可以站在更高的視角看問(wèn)題，提高課堂教學(xué)效果.

[?] 伸縮變換

在高中數(shù)學(xué)（人教A版選修4-4）中有伸縮變換的定義：

設(shè)點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：x′=λ·x（λ>0），

y′=μ·y（μ>0）的作用下，點(diǎn)P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′（x′，y′），稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換[1].

對(duì)于橢圓E：+=1（a>b>0）和直線l：y=kx+m，在變換φ：x′

=·x，

y′

=·y的作用下，分別化為E′：x′2+y′2=1和l′：by′=kax′+m. 橢圓在變換φ的作用下，有以下性質(zhì)[2]：

性質(zhì)1 比值關(guān)系不變性：若A，B，C三點(diǎn)共線，伸縮變換后A′，B′，C′仍舊三點(diǎn)共線，同時(shí)對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度比值不變，特別地，當(dāng)點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B′也為線段A′C′的中點(diǎn).

性質(zhì)2 位置關(guān)系不變性：伸縮變換前直線與橢圓的位置關(guān)系（相切、相交、相離）在伸縮變換后保持不變.

性質(zhì)3 面積關(guān)系確定性：伸縮變換前圖形面積S與伸縮變換后圖形面積S′滿足關(guān)系S=abS′.

[?] 問(wèn)題探究

設(shè)直線l：y=kx+m不過(guò)原點(diǎn)O，且與橢圓E：+=1（a>b>0）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，則稱△OAB為橢圓的中心三角形. 由伸縮變換的性質(zhì)可知，求解橢圓中心三角形的面積，完全可以轉(zhuǎn)化為求解對(duì)應(yīng)圓的中心三角形的面積.

在伸縮變換φ的作用下得到：l′：by′=kax′+m與E′：x′2+y′2=1的交點(diǎn)為A′，B′，∠A′OB′=α，則S△A′OB′=sinα，S△AOB就轉(zhuǎn)化為了S△A′OB′. 顯然當(dāng)α=90°時(shí)，S△A′OB′的最大值為;由伸縮變換的性質(zhì)3可知S△AOB的最大值為，此時(shí)直線l′與圓E′的位置關(guān)系如圖1所示. S△AOB的最大值取決于直線l與橢圓E的位置關(guān)系，即在橢圓已知的情況下，需要研究k，m對(duì)S△AOB的影響，有如下三種情況：（1）k確定;（2）m確定;（3）k，m存在線性關(guān)系.

（1） 當(dāng)k確定時(shí)，不妨設(shè)k=k，直線l為一族平行線，在伸縮變換φ的作用下，l′：by′=kax′+m，當(dāng)圓心O到l′的距離d=（α=90°）時(shí)，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，如圖2所示. 此時(shí)d==，即m=±，直線l′與圓x′2+y′2=相切，直線l：y=kx±，同時(shí)S△AOB無(wú)最小值.

（2）當(dāng)m確定或k，m存在線性關(guān)系時(shí)，直線l過(guò)定點(diǎn)，不失一般性. 設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)P（s，t），在伸縮變換φ的作用下，對(duì)應(yīng)的l′過(guò)點(diǎn)P′

，

. 由平面幾何知識(shí)可知：

①當(dāng)

OP′

=≥，即

2+

2≥時(shí)，存在直線l′使得α=90°時(shí)，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，此時(shí)圓心O到l′的距離d=，直線l′與圓x′2+y′2=相切，如圖3所示.

②當(dāng)

OP′

=<，即

2+

2<時(shí)，不存在直線l′使得α=90°，此時(shí)圓心O到l′的距離d≤

OP′

<， 所以α為鈍角. 由S△A′OB′=sinα知，當(dāng)α取最小值時(shí)，S△A′OB′有最大值，也就是當(dāng)弦心距d取最大值時(shí)，α取最小值，即d=

OP′

，OP′⊥A′B′，如圖4所示. 所以sin==，cos==d，所以S△A′OB′的最大值為·2d=d，S△AOB的最大值為abd.

由以上討論可知，不論是平行直線族還是直線過(guò)定點(diǎn)，S△AOB的最值都與圓x′2+y′2=

橢圓+=

有關(guān)：如果平行直線族或定點(diǎn)在此圓（橢圓）外，S△AOB的最大值為;如果定點(diǎn)在此圓（橢圓）內(nèi)，當(dāng)OP′⊥A′B′時(shí)，S△AOB的最大值為abd.

[?] 應(yīng)用舉例

例1 （2014年全國(guó)Ⅰ卷理科第20題）已知點(diǎn)A（0，-2），橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求E的方程;

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

解析：（1）+y2=1.

（2）設(shè)直線l：y=kx-2，作伸縮變換φ：x′

=·x，

y′=y.橢圓E：+y2=1，直線l：y=kx-2，點(diǎn)A（0，-2）在φ的作用下，得到：E′：x′2+y′2=1，l′：y′=2kx′-2，A′（0，-2）. 根據(jù)上述分析可知，S△OP′Q′的最大值為，于是S△OPQ的最大值為×2×1=1，此時(shí)d==，解得k=±，所以直線l的方程為y=±x-2.

例2 （2015年浙江卷理科第19題）如圖5所示，已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=mx+對(duì)稱.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

解析：（1）略.

（2）作伸縮變換φ：x′=

·x，

y′=y.橢圓+y2=1，直線y=mx+，k=-在φ的作用下，得到：x′2+y′2=1，y′=mx′+①，kA′B′=-. 設(shè)P為AB的中點(diǎn)，根據(jù)性質(zhì)1可知，P′為A′B′的中點(diǎn)，于是kOP′=，OP′：y′=x′②，聯(lián)立方程①②得P′

-，-

，當(dāng)P′在x′2+y′2=上，即m2=2時(shí)，S△A′OB′有最大值，如圖6，于是S△AOB的最大值為=.

[?] 命題探索

通過(guò)前面的題源分析及示例，筆者嘗試命制如下題目.

1. 利用弦過(guò)定點(diǎn)構(gòu)造條件

改編2018年全國(guó)Ⅰ卷理科第19題如下：

命題1：已知橢圓E：+y2=1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），過(guò)M的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAC面積的最大值.

命題設(shè)計(jì)分析：可以證明直線AC過(guò)定點(diǎn)P（1，0），作伸縮變換φ：x′=

·x，

y′=y.點(diǎn)M，P對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為M′（，0），P′

，0

，顯然P′在圓x′2+y′2=上，因此S△OA′C′的最大值為，S△OAC最大值為=.

通過(guò)改變M的位置控制題目難度，M的位置改變使得定點(diǎn)P的位置也發(fā)生了改變，導(dǎo)致P′位于圓x′2+y′2=內(nèi)或外，從而S△OAC的最大值也發(fā)生了變化. 一般地：

結(jié)論1：對(duì)于橢圓E：+=1（a>b>0），設(shè)M的坐標(biāo)為（x，0），通過(guò)計(jì)算可知直線l過(guò)定點(diǎn)P

，0

，所以P′的坐標(biāo)為

，0

.

①當(dāng)M的橫坐標(biāo)滿足0<

x≤a時(shí)，P′位于圓x′2+y′2=外，S△OA′C′的最大值為，S△OAC的最大值為.

②當(dāng)M的橫坐標(biāo)滿足

x>a時(shí)，P′位于圓x′2+y′2=內(nèi)，由前面的分析可知，當(dāng)OP′⊥A′C′時(shí)，S△OA′C′有最大值. S△OA′C′的最大值為

，S△OAC的最大值為ab

.

2. 利用特殊圖形構(gòu)造條件

如橢圓內(nèi)接平行四邊形，相似題目有2015年全國(guó)Ⅱ卷理科第20題、2021年佛山市高二期末考試第22題，題目如下：

命題2：已知橢圓E：+=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上是否存在點(diǎn)A，B，C，使得四邊形OACB為平行四邊形，且面積為定值.

命題設(shè)計(jì)分析：根據(jù)題意作伸縮變換φ：x′=

·x，

y′

=·y.由伸縮變換的性質(zhì)可知，平行四邊形OACB所對(duì)應(yīng)的四邊形OA′C′B′是夾角為120°的菱形，因此SOA′C′B′=，于是S=×2×=3. 一般地：

結(jié)論2：對(duì)于橢圓E：+=1（a>b>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則在橢圓上存在A，B，C三點(diǎn)，使得四邊形OACB為平行四邊形，且面積為定值ab.

伸縮變換使橢圓問(wèn)題回歸到圓上進(jìn)行解決，搭建了兩者的橋梁，借助于圓的豐富性質(zhì)來(lái)解決橢圓問(wèn)題，避免了復(fù)雜的計(jì)算. 同時(shí)從命題者的角度來(lái)思考、設(shè)計(jì)題目，更好地抓住問(wèn)題的本質(zhì)，把握命題規(guī)律，讓教學(xué)游刃有余.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 人民教育出版社. 數(shù)學(xué)選修4-4的“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”[M]. 北京：人民教育出版社，2008.

[2]? 魏國(guó)兵. 讓橢圓“圓”形畢露——淺談伸壓變換在高考橢圓問(wèn)題中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（05）：13-16.