全球GPS基準站坐標序列噪聲模型估計及其對站速度的影響分析

朱冀星，鄧麗紅，劉雨婷

（華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013）

0 引言

全球定位系統（global positioning system, GPS）基準站二十余年來積累的坐標時間序列，為開展大地測量與地球動力學等研究提供了重要的數據基礎。GPS基準站坐標序列中的成分較復雜，包含構造信號、周年和半周年等季節變化、階躍、噪聲等；其中GPS坐標序列噪聲模型的辨識對于GPS站速度的準確估計具有重要意義。已有的研究指出，GPS基準站坐標序列中噪聲項不僅有白噪聲（white noise, WN），還包含閃爍噪聲（fick noise,FN）、冪律噪聲( power law noise, PL)、隨機游走噪聲（random walk noise, RW）等有色噪聲。在實際應用中，組合噪聲模型比起單一噪聲模型能夠更加準確地表征坐標序列中的噪聲特性。文獻[2]采用功率譜密度和譜指數估計的方法，分析了中國大陸地區3個GPS基準站的噪聲特性，表明其具有FN+WN特性。文獻[3]以中國香港地區的基準站坐標序列為研究對象，在通過主成分分析方法去除其共模誤差之后，發現顧及有色噪聲所計算的誤差較單一的WN模型大2~6倍。文獻[4]分析了美國加州南部及內華達地區的連續GPS基準站的噪聲模型，得出約半數測站的最優噪聲模型為FN或者RW。在GPS基準站中已得到驗證的組合噪聲模型還包括 FN+RW+WN、PL+WN等。然而，目前基準站坐標序列的最優噪聲模型表現為多樣性，且已有的大部分研究僅選用小區域的部分基準站點進行實驗分析，對全球 GPS基準站的特性是否仍存在上述規律，有待進一步研究。

基于此，本文選取全球范圍內的1 443個GPS基準站，采用FN+WN、FN+RW+WN、PL+WN以及廣義高斯-馬爾科夫模型（generalised Gauss-Markov, GGM）+WN模型，對坐標時間序列中的最優噪聲模型及站速度參數進行估計與分析，探討全球GPS基準站坐標序列噪聲特性及其對站速度估計的影響。

1 GPS基準站坐標序列噪聲模型及速度參數估計

1.1 GPS基準站噪聲模型

GPS基準站坐標序列的噪聲特性通常表現為FN、PL、RW、WN及其組合模型，對于WN模型，其協方差矩陣可表示為

WN+FN+RW 模型及其協方差矩陣可表示為

WN+PL模型及其協方差矩陣可表示為

式中：為白噪聲振幅；為?的單位矩陣；為時間序列的長度；為有色噪聲的振幅，為有色噪聲對應的協方差陣矩陣。

噪聲模型估計方面，國內外學者大多采用極大似然估計模型進行參數的求解，極大似然估計采用的似然函數為

通過調整C，使式（4）中似然函數（likelihood function, lik）達到最大值，獲取對應的似然值及協方差陣中的系數、和等參數值，從而確定最佳噪聲模型。根據極大似然估計原理，不同的噪聲模型組合將得到不同的極大似然對數值，數值越大結果越可靠。然而，極大似然估值（maximum likelihood estimation, MLE）也受到噪聲模型中未知參數的影響，當未知參數增加時，MLE值也隨之越大進而導致噪聲模型參數的有偏估計。

1.2 改進的貝葉斯模型估計準則

如何準確地辨識 GPS基準站坐標序列的噪聲模型參數，國內外學者提出了相應的最優噪聲模型估計準則。貝葉斯信息準則（Bayesian information criterion, BIC）常用于噪聲模型估計，但該準則易受噪聲模型自由度及時間序列長度的影響，并存在過度擬合的可能。基于這個原因，本文選用改進BIC準則（Bayesian information criterion true positives, BIC_tp）進行噪聲模型估計可更精確的識別噪聲模型，其表達式為

式中，為模型參數個數。

1.3 GPS基準站坐標序列站速度不確定度估計

通過對長周期的時間序列研究分析發現，純白噪聲背景假設會使得站速度估計結果產生偏差，導致速度不確定度的過低估計。因此在GPS應用于現代大地測量基準系統的建立和維持、高精度地球動力學等研究時，需要采用較為嚴格、準確的噪聲模型以提高速度參數的確定精度。文獻[15-16]給出了有色噪聲背景下基準站坐標序列進行站速度不確定度的計算公式為

式中：Δ為數據采樣間隔；Γ為伽馬函數；為譜指數；為有色噪聲振幅。

從式（7）可以看出，GPS基準站速度與噪聲模型參數密切相關，因此準確辨識噪聲模型是獲取可靠站速度的關鍵。

2 GPS基準站坐標序列數據處理與噪聲估計

選取全球分布的1 443個GPS基準站1992—2020年的坐標序列為研究對象，開展坐標序列噪聲模型及其對站速度的影響分析。GPS基準站選取考慮如下因素：1）基準站全球均勻分布（站點分布見圖1）；2）長周期的GPS站坐標序列（大于10 a）有助于獲取更為準確的噪聲模型估計結果，圖2給出了所選取的站點跨度統計結果；3）基準站坐標序列數據缺失率較低（<10%），以削弱數據缺失的不利影響；4）基準站坐標序列通過文獻[8]獲取。

圖1 GPS基準站分布【審圖號：GS（2022）2347號】

圖2 時間跨度統計

為了分析全球 GPS基準站噪聲模型特性，采用FN+WN、FN+RW+WN、PL+WN 、GGM+WN噪聲模型進行優噪聲模型特性估計，通過采用赫克托（Hector）軟件利用 BIC_tp估計準則進行最優噪聲模型的確定。

3 GPS基準站噪聲模型分析及其對站速度估計的影響分析

3.1 GPS基準站坐標序列噪聲模型特性分析

對 GPS基準站進行最優噪聲模型估計其統計得到結果見表1。

表1 不同噪聲模型在3個方向上的測站數及占比

從表1可知，PL+WN、FN+RW+WN、FN+WN模型分別在、、方向上占比最大。此外，、、方向上分別約有3%、1%、3%站點的最優噪聲模型表現為GGM+WN模型，表明不同坐標分量之間的噪聲模型特性存在差異。

已有的研究指出，RW噪聲分量難于探測，文獻[20]指出對于振幅為0.4 mm/a量級的隨機游走噪聲，需要30 a的時間序列。從表1可知，所分析的 GPS站中約 9%~45%的坐標分量呈現出FN+RW+WN噪聲模型特性，尤其在水平方向占比居多，進一步證實了長周期跨度的時間序列有助于準確識別GPS坐標時間序列中的隨機游走噪聲。為了進一步對FN+RW+WN特性的基準站空間分布特性進行分析，圖3給出了FN+RW+WN噪聲特性站點的空間分布情況。

從圖3可以看出RW特性的站點大多分布在海岸線附近或者板塊構造運動活動區域，其潛在影響機制有待進一步深入研究。

圖3 不同方向具有RW特性的站點分布【審圖號：GS（2022）2347號】

3.2 噪聲模型對GPS站速度估計的影響

文獻[21]指出，為了研究板塊運動要求速度的精度必須達到0.1~0.2 mm/a，因此，準確地對GPS坐標時間序列噪聲模型進行估計，對高精度GPS應用具有重要意義。為分析不同噪聲模型特性對GPS站速度估計的影響，以FN+WN模型作為參考，分別對不同噪聲模型假設下的速度估計結果進行對比分析。圖4至圖6、表2為分析結果從圖4至圖6給出的速度對比結果可知，在 FN+RW+WN和FN+WN模型下，站速度差值大于0.2 mm/a的站點分別在、、方向上占23.0%、26.2%、10.3%；GGM+WN和 FN+WN模型下站速度差值大于 0.2 mm/a的站點在、、方向上分別占3.3%、4.6%、3.8%；PL+WN和FN+WN模型下站速度差值大于0.2 mm/a的站點在、、方向上分別占5.8%；6.8%；2.6%。通過對圖4至圖6、表2進行分析可知，不同模型對速度估計值的整體影響較小。但在圖4中速度差值大于 0.2 mm/a的站點占比明顯較多，部分站點的速度差值達到0.6~0.8 mm/a，這對高精度的GPS應用來說其影響不可忽略。對速度差值大于0.2 mm/a站點進行分析發現其常存在RW噪聲特性，進一步證明準確的探測RW噪聲對估算精確的GPS站速度具有重要意義。

表2 不同噪聲模型下速度差值的均值與標準差單位：mm·a-1

圖4 FN+RW+WN模型與FN+WN模型的速度差值

圖5 GGM+WN模型與FN+WN模型的速度差值

圖6 PL+WN模型與FN+WN模型的速度差值

3.3 噪聲模型對站速度不確定度的影響

不同坐標序列跨度下站速度估計結果存在較大的差異，且準確的探測RW分量需要近24 a的坐標序列。為了分析噪聲模型對速度不確定度的影響，選取時間跨度在20~30 a的70個GPS基準站進行分析。與速度比較分析一致，選取FN+WN模型為參考不同模型的不確定度估計結果進行比較分析，其比值如圖7所示。

圖7 不同噪聲模型GPS站速度不確定度比值

由圖7知，FN+WN與FN+RW+WN模型下的不確定度比值基本在1以下，FN+WN與GGM+WN模型下的比值大部分在1以上，FN+WN與PL+WN模型下的比值趨勢介于二者之間。由此可看出，RW 噪聲對站速度不確定度同樣有重大影響；GGM+WN模型下的站速度不確定度相對較小，表明準確地識別GGM模型，對提高GPS基準站速度的精度有重要意義。

表3給出了上述 3種比值在不同方向上的極值和均值。

表3 不同噪聲模型GPS站速度不確定度比值極值與均值

由表3可知：在方向上，FN+WN的站速度不確定度分別是FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.04~1.01、0.06~7.12、0.03~3.36倍；在方向上，FN+WN的站速度不確定度比值與方向結果類似，分別是 FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.04~1.02、0.07~6.65、0.03~3.47倍；在方向上，FN+WN的站速度不確定度分別是FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.03~1.01、0.08~8.94、0.00~3.15倍。由此可見，FN+WN與其余模型的站速度不確定度比值規律與圖7一致。但在方向上，FN+WN的站速度不確定度平均值分別為 FN+RW+WN、GGM+WN、PL+WN模型的0.84、1.97、1.27倍，明顯大于方向的 0.38、1.13、0.58倍和方向的 0.36、0.95、0.63倍。由此知，不同模型對GPS基準站速度不確定度均存在影響，且主要表現在、方向，方向上相對更小，但是不可忽略其影響。

4 結束語

本文采用BIC_tp模型估計準則對全球分布的1 443個 GPS基準站的坐標時間序列進行噪聲模型特性及其對速度估計的影響進行分析，得出以下結論：

1）GPS基準站坐標序列噪聲模型存在多樣性，不能用單一的噪聲模型來表述，實驗結果表明，基準站坐標序列最優噪聲模型中，PL+WN、FN+WN、FN+RW+WN、 GGM+WN模型分別比 39.7%、32.7%、25.3%、2.3%；此外，水平方向和豎直方向各測站的最優噪聲模型存在較大差異。

2）噪聲模型對GPS基準站坐標序列站速度的影響相對較小，但RW分量的存在，使得速度精度不可靠。同時 FN+WN與 FN+RW+WN模型下的不確定度比值基本在1以下，較FN+WN與其他模型的比值更小，說明 FN+RW+WN模型下的站速度不確定度相對較大，RW噪聲使得速度不確定度偏大。如何對GPS基準站坐標序列的RW分量進行準確探測及分離有待進一步研究。

3）在GGM+WN噪聲模型假設下，GPS站速度不確定度較小，即其對應的站速度參數更準確，表明準確的識別GGM模型對提高GPS基準站速度確定精度有重要意義。

感謝熊常亮和付杰同志在GPS數據處理、速度分析中給予的指導。