幾何距離公式的推理與應用

勾藝茹 李述芬 邵利

[摘 要]幾何中各個維度的相關內容具有相似性，各個維度所依托的基本框架，即數軸、平面直角坐標系以及空間直角坐標系中涉及的距離公式可以進行類推。文章通過分析數軸、平面直角坐標系的兩點的距離公式，推導空間直角坐標系的兩點的距離公式，并舉例說明空間直角坐標系的兩點的距離公式的相關應用。

[關鍵詞]距離公式;幾何;推理

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0013-03

一、引言

幾何中最基礎的元素為“點”，“點”運動成“線”，“線”運動成“面”，“面”運動成“體”。按空間維度，幾何可歸納為從“點”出發到一維的“線”，再從一維的“線”到二維的“面”，接著從二維的“面”到三維的“體”三類。以上變化可謂是環環相扣。數軸、平面直角坐標系、空間直角坐標系則是按照空間維度的順序展開的。本文從低維進階到高維空間的視角介紹幾何距離相關公式的推導與應用。

二、幾何距離公式

幾何中點、線、面三者之間的距離公式按排列組合方式進行分類，有點與點、點與線、點與面、線與線、線與面、面與面六種類型（注：線、面等相關距離問題，需要平行關系才有意義）。其中最基礎的類型為點與點、點與線、點與面。

（一）兩點的距離公式

數軸、平面直角坐標系、空間直角坐標系中的兩點的距離公式見表1。

（二）“一生二”——由兩點的距離公式到點到直線的距離公式

（1）定義：過點作目標直線的垂線，這點到垂足的距離。

設直線[l]的方程為[Ax+By+C=0]，點[P]的坐標為[（x0， y0）]，則點[P]到直線[l]的距離[d=Ax0+By0+CA2+B2]。

（2）公式推導：

如圖1所示，過點[P]作直線[l]的垂線，垂足為[M]。[kPM·kl=-1，Ax2+By2+C=0，]?[y1-y2x1-x2·-AB=-1，Ax2+By2+C=0，]?[A（y2-y1）-B（x2-x1）=0，? ? ? ? ? ? ? ? ①Ax2+By2+C=0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②]

將②兩邊同時減去[Ax1+By1+C]，得

[A（x2-x1）+B（y2-y1）=-（Ax1+By1+C）]，? ? ?③

將①③式兩邊分別平方，得

[A2（y2-y1）2+B2（x2-x1）2-2AB（x2-x1）（y2-y1）=0]，? ?④

[B2（y2-y1）2+A2（x2-x1）2+2AB（x2-x1）（y2-y1）=（Ax1+By1+C）2]，? ?⑤

聯立④⑤得[（x2-x1）2+（y2-y1）2=（Ax1+By1+C）2A2+B2]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2=Ax1+By1+CA2+B2]。

（三）“二生三”——由點到直線的距離公式到點到面的距離公式

高中教材在平面解析幾何中涉及點到直線的距離公式，此公式為點到直線的距離求解提供了便利。然而對于立體幾何中點到平面的距離公式，教材未給出相應的內容。

二維空間和三維空間對應的兩點的距離公式在形式上是相同的（[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2]與[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2]）。于是可嘗試由點到直線的距離公式猜測點到面的距離公式。點到平面的距離界定為平面外一點到平面內一點的最小長度，可采取先猜后證的方式，得到點到平面的距離公式。

（1）公式猜想

【點到線的距離】設直線[l]的方程為[Ax+By+C=0]，點[P]的坐標為[（x0， y0）]，則點[P]到直線[l]的距離[d=Ax0+By0+CA2+B2]。

【點到面的距離】設平面[α]的方程式為[Ax+By+Cz+D=0]，點[P]的坐標為[（x0， y0， z0）]，則點[P]到平面[α]的距離[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。

（2）公式推導

前提：在點到面的距離公式推導過程中，均要用到平面法向量，因此先對平面法向量進行說明。

設[（x1， y1， z1）]和[（x2， y2， z2）]為平面內任意兩個點，由點在面上得：

[Ax1+By1+Cz1+D=0，? ? ? ? ⑥Ax2+By2+Cz2+D=0，? ? ? ? ⑦]

由⑥-⑦得

[A（x1-x2）+B（y1-y2）+C（z1-z2）=0]，

即 [（A， B， C）?（x1-x2， y1-y2， z1-z2）=0]。

由此得出[n=]（A，B，C）為平面法向量。

方法一：如圖2所示，平面法向量為[n=（A， B， C）]，任取平面內一點[M（x1， y1， z1）]，設向量[PM]為[m]，[m]與[n]的夾角為[θ]。

[d=m·cosθ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧cosθ=m·nm·n，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑨Ax1+By1+Cz1+D=0，? ? ? ⑩]DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

聯立⑧⑨⑩得

[d=m·nn=A（x0-x1）+B（y0-y1）+C（z0-z1）A2+B2+C2=（Ax0+By0+Cz0）-（Ax1+By1+Cz1）A2+B2+C2=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]

方法二：如圖3所示，平面法向量為[n=（A， B， C）]，[P（x0， y0， z0）]為平面外一點，過點[P]向平面[β]作垂線，交平面[β]于點[M（x， y， z）]，點[P]到平面[β]的距離為[PM]，

[∵PM∥n]

[∴PM·n=PM·n]

即

[PM=PM·nn=A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）A2+B2+C2）]

又[M]在平面[β]上，有[Ax+By+Cz+D=0]，

[PM=Ax-Ax0+By-By0+Cz-Cz0A2+B2+C2]

[=（Ax+By+Cz）-（Ax0+By0+Cz0）A2+B2+C2=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2。]

（3）學以致用

下面利用點到面的距離公式，解決立體幾何距離問題以及一類不等式問題。

[例1]（點面距離）如圖4，直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的底面是菱形，[AA1=4]，[AB=2]，[∠BAD=60°]，[E， M， N]分別是[BC， BB1]，[A1D]的中點。求點[C]到平面[C1DE]的距離。

分析：求點到平面的距離，需要知道點的坐標以及平面方程。首先建立直角坐標系，其次通過[C1]，[D]，[E]三點確定平面[C1DE]的方程，最后將點與平面數據代入公式求解距離。

解答：如圖4，四邊形[ABCD]為菱形，則連接[AC]、[BD]交點為[O]，且[AC⊥BD]。以點[O]為原點建立空間直角坐標系[O-xyz]。

∵[AA1=4]，[AB=2]，[∠BAD=60°]，[E]是[BC]的中點。

∴[B（1， 0， 0）]，[D（-1， 0， 0）]，[C0，3， 0]，[C10，3， 4 ]，[E12，32， 0]。

設平面[C1DE]的方程式為：[ax+by+cz+d=0]，

則[b+d=0，3b+4c+d=0，12a+32b+d=0，]?平面[C1DE]的方程式為[-3x+y+12z+1=0]。

將[C（0， 3， 0）]和[-3x+y+12z+1=0]代入[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]，得

[d=-3×3+132+12+122=41717]。

[例2]（面面距離）已知平面[α]：[2x+3y+z+5=0]，平面[β]：[2x+3y+z+18=0]。求兩平面的距離。

分析：求解兩平面之間的距離，可以轉化為求解一平面上的一點到另一平面的距離，因此，在平面[α]找一點[P]，求點[P]到平面[β]的距離。

解答：設[P（x0， y0， z0）]為平面[α]上的一點，則滿足[2x0+3y0+z0+5=0]，[P]到平面[β]的距離為

[d=2x0+3y0+z0+1822+32+12]，將[2x0+3y0+z0+5=0]代入上式，得

[d=-5+1822+32+12=131414]。

兩平面的距離求解公式：

平面[α：Ax+By+Cz+D1=0]，平面[β：Ax+By+Cz+D2=0]，平面[α]與平面[β]的距離為

[d=D1-D2A2+B2+C2]。

[例3]設[x， y， z∈R]，且[x+y+z=1]。

（1）求[（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2]的最小值。

（2）[（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥13]，證明：[a≤-3]或[a≥-1]。

分析：將題干與問題進行轉化。

已知平面[x+y+z-1=0]，第（1）問求平面外一點[（1， -1，-1）]到平面的距離的平方;

第（2）問要求證明點[（2， 1， a）]到平面的距離的平方為[13]時，[a]的范圍為[a≤-3]或[a≥-1]。

解答：（1）設平面[α]為[x+y+z-1=0]，點[P（1，-1，-1）]為平面外一點，則點[P]到平面[α]的距離的平方為[d2=1-1-1-112+12+122=43]。

（2）設平面[α]為[x+y+z-1=0]，點[Q（2， 1， a）]為平面外一點，點[Q]到平面[α]距離的平方最小值為[13]，則[d2=2+1+a-112+12+122≥13?a+2≥1?a≤-3]或[a≥-1]。

三、小結

本文重點討論了幾何中的距離公式， 從一維到二維再到三維。首先從兩點的距離公式（數軸、平面直角坐標系以及空間直角坐標系）： [d=x2-x1]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2]，引出點到線的距離公式[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2=Ax1+By1+CA2+B2]。接著，以先猜后證的方式，得出點到面的距離公式[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。最后，靈活運用“點到面的距離公式”解決立體幾何問題和不等式問題。

正如《道德經》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，幾何也秉承著一定的邏輯不斷衍生變化。學生在學習幾何時可采用先觀察、再猜想、最后證明的方式抓住其中的邏輯規律，借助相似性展開聯想，進行遷移，發展直觀想象核心素養。

（責任編輯 黃桂堅）DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD