高中數學項目式課堂教學案例分析

馬漢陽

[摘 要]實施高中數學項目式課堂教學，有利于學生深度學習，有利于落實“立德樹人”的根本任務。

[關鍵詞]高中數學;項目式教學;直線參數方程

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0016-04

國務院辦公廳2019年印發的《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》指出，要培養學生學習能力，促進學生系統掌握各學科基礎知識、基本技能、基本方法，培養適應終身發展和社會發展需要的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，通過數學課程的學習，學生應能“提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，這是基于發展學生數學學科核心素養這一要求的高中數學課程目標之一。基于數學學科核心素養的高中數學教學應提倡以問題為導向，以活動為載體，采用問題驅動式教學方式，立足于問題發現、提出、分析、解決的全過程，在問題解決的過程中引發、深化學生的數學思考，促進學生數學學科核心素養的提升。教學要從以教師為中心的直接教學轉向以學生為中心的探究性學習。其中基于項目的探究性學習是最為常用的方法。項目式教學是讓學生在參與中進行持續的投入、合作、研究和資源管理，在真實情境中解決真實性問題的教學方法，分為項目規劃、項目實施、項目展示、項目評價四個階段。下面以“直線的參數方程”為例進行說明。

本課例是人教版普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-4第二講的第三部分“直線的參數方程”的第二課時。通過第一課時的學習，學生對直線的參數方程中的參數[t]有了初步的認識。本節課作為第一課時的延伸，為了讓學生更好地利用直線參數方程中的[t]來解決直線與曲線相交的弦長問題，筆者以“項目式教學”來組織課堂教學。

一、項目規劃

項目式教學的第一階段就是項目規劃階段，項目規劃內容包括：

1.活動背景。直線的參數方程是高考的選考內容。考綱要求學生理解參數方程的概念，了解常用參數方程中參數的幾何意義，其中直線的參數方程是重點考查內容之一。直線的參數方程的標準形式有其特殊的表現形式，其參數也有明確的幾何意義，因而在解題時有其獨特的作用。

2.活動目的。本節課的活動目的是讓學生學會利用直線的參數方程中的參數[t]的幾何意義解題，提高學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，培養學生的團隊合作精神。

3.活動立項。利用直線的參數方程中的[t]來解決直線與曲線相交的弦長問題。

4.項目評價。項目評價包含目標定位評價、內容設定評價、探究方法評價、成果評價等。

下面通過“直線的參數方程”的教學來進行說明。

師：第一課時我們學習了直線的參數方程，直線的參數方程中的參數[t]能幫助我們解決數學中的什么問題？非常期待！讓我們先來回顧一下。

問題1：直線的參數方程[x=x0+tcosα ，y=y0+tsinα]（[t]為參數）的標準形式是什么？（如圖1）直線的參數方程中每個量的含義是什么？

問題2：標準形式中[t]的幾何意義是什么？（[PA=t]，其中定點P[ （x0， y0）]）

問題3：如何用[t]表示直線上兩點間的距離？[PA=t]

問題4：定點[P（x0， y0）]所在直線與曲線交于[A]，[B]兩點，則[PA+PB]，[PA·PB]，[AB]這些與線段有關的幾何量如何用[t]表示？

（1）[PA+PB=t1+t2=t1+t2，（t1t2>0）t1-t2。（t1t2<0）]

（2）[PA·PB=t1t2]。

（3）[AB=t1-t2=t1+t22-4t1t2]。

問題5：直線的參數方程中的參數[t]能幫助我們解決數學中的什么問題？在解決這些問題時，要注意什么？

參數[t]能幫助我們解決數學中有關距離的問題。要注意兩點：（1）直線的參數方程是否為標準式;（2）這些點都要在該直線上，且與定點[P]有關。

點評：教師以項目來組織課堂教學，教學方法新穎獨特;以問題為導向，復習直線的參數方程標準式中[t]的意義，利用參數[t]解決數學中有關距離的問題。通過這樣的問題設置，步步深入，培養學生獨立思考的學習習慣，也為下面學習新的知識打下堅實的基礎。

二、項目實施與展示

項目實施的關鍵是項目目標的確立。項目目標：能利用參數[t]求解數學中有關距離的問題。通過上面的復習，可以直接讓學生先思考下面的例子，然后再總結確立項目目標。

[例1]經過點[P-1， 2]，傾斜角為[π4]的直線[l]與圓[x2+y2=9]相交于[A]，[B]兩點，求[PA+PB]和[PA?PB]的值。

解：直線[l]的參數方程為[x=-1+22t，y=2+22t]（[t]為參數），將其代入[x2+y2=9]得[t2+2t-4=0]，

∴[t1+t2=-2]， [t1t2=-4]，

[PA+PB=t1+t2=t1-t2=t1+t22-4t1t2=32]，

[PA·PB=t1t2=4]。

[例2]直線[x=3+22t，y=3+22t]（[t]為參數）與橢圓[x216+y24=1]交于[A]，[B]兩點，點[P（3， 3）]，求[PA+PB]。

解：將直線[l]的參數方程[x=3+22t，y=3+22t]（[t]為參數）代入[x2+4y2=16]得[5t2+302t+58=0]，DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

∴[t1+t2=-62]，[PA+PB=t1+t2=62]。

教師引導學生確立項目后，帶領學生完成確立的項目，其中3個學習組完成第一個例題，另外3個學習組完成第二個例題，先獨立完成，然后再同桌交流討論，最后由小組長展示各人解法（投影）并回答以下問題：這兩題，各人的解法有何不同？由上面兩題的解法可以看出，容易出錯的點在哪？解答本題的關鍵在哪？（一是正確寫出直線的參數方程，二是注意兩個點對應的參數符號的異同）

通過這兩題的訓練，學生學會了用參數[t]求解數學中有關距離的簡單問題，達到了項目設置的基本要求。

點評：傳統的數學課堂教學模式相對封閉，學生學習思維不夠活躍，習慣了被動學習，學習的主動性和積極性不足。本節課，教師以問題為導向，創設集體性的教學環境，運用項目式教學模式組織教學，讓學生開展小組互動，促進學生的交流和討論，讓學生在小組互動中加深對問題的思考，在交流中聽取他人的意見，借鑒他人的經驗和方法，促進了學生數學學習思維的碰撞，提高了學生的學習效率，培養了學生的集體協作能力，讓學生實現了從被動學習向主動學習的轉變。

[例3]在平面直角坐標系[xOy]中，圓[C]的參數方程為[x=2cosα，y=2sinα]（[t]為參數），以[O]為極點，[x]軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線[l]的極坐標方程為[ρcosθ-π4=1]。

（1）求圓[C]的普通方程及直線[l]的直角坐標方程;

（2）若直線[l]與圓[C]的交點為[A]，[B]，與[x]軸的交點為[P]，求[1PA-1PB]的值。

解：（1）圓[C]的普通方程為[x2+y2=4]，直線[l]的直角坐標方程為[x+y=2]。

（2）直線[l]的參數方程為[x=2-22t，y=22t]（[t]為參數），代入圓的方程，化簡得[t2-2t-2=0]。設[A]，[B]對應的參數分別為[t1]，[t2]，則[t1+t2=2]，[t1?t2=-2]，故[1PA-1PB=1t1-1t2=t1+t2t1?t2=1]。

學生先獨立完成，再同桌交流討論，最后由一位同學（投影）展示他的解法并回答以下問題。

問題6：例3與例1、例2求距離時有什么不同？容易在什么地方出錯？（前面的例子給出了定點，例3沒有給出定點，其實是讓學生自己去找，也就是找[P]點，同時還要注意[t]的符號）

點評：通過以上三個例子，學生懂得了如何構建項目及實施項目。教師根據教材重點和學生的實際情況提出難易適度、具有思考性的問題，再通過學生自主探究、合作交流以及教師示范、引導、指導，讓學生更加明確學習的方向，通過這一項目式的活動探究，使學生輕松掌握新的知識。

知識延伸：直線的參數方程（非標準式）中[t]的應用是本節課的難點，如何突破難點是本節課的關鍵。

變式1：直線[l]的參數方程為[x=-1+t，y=2+t]（[t]為參數），直線[l]與圓[x2+y2=9]相交于[A]，[B]兩點，求[PA+PB]，[PA·PB]的值。

問題7：直線的參數方程和例1有什么不同？請你復述一下直線的參數方程中每個量的含義。下列變式中的參數[t]是否具有同樣的意義？

問題8：直線的參數方程[x=-1+t，y=2+t]（[t]為參數）的斜率是多少？直線的參數方程[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數）的斜率又是多少？

點評：以問題為導向，環環相扣，讓思維的脈絡在有序的軌道上層層遞進。

問題9：直線的參數方程[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數）中的[a]，[b]與標準式中[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]為參數）的[cosα]，[sinα]有何聯系？[cosα]，[sinα]能否用[a]，[b]表示？

分析：直線[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數）化為[x=x0+a2+b2·aa2+b2ty=y0+a2+b2·ba2+b2t]（[t]為參數），令[t=a2+b2t]，

[cosα=aa2+b2]，[sinα=ba2+b2]，則有[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα] （[t]為參數）。

問題10：直線的參數方程為[x=x0+at，y=y0+bt]（[t]為參數），直線交曲線[C]于[A]，[B]兩點，定點[P（x0， y0）]，如何求[PA+PB]，[PA·PB]，[AB] ？

總結得出結論：[PA+PB=a2+b2t1+t2=a2+b2t1+t2，（t1t2>0）a2+b2t1-t2。（t1t2<0）]

[PA·PB=a2+b2t1t2]。

[AB=a2+b2t1-t2]。

點評：問題8和問題9是項目式教學的核心問題，是本節課的難點，教師通過兩個問題的設置，引導學生發現、探索并解決問題。在學生自主思考的基礎上，通過學習互助小組，讓學生先在同桌之間進行交流，然后小組討論，這樣每個學生都有了思考的機會和時間。教師鼓勵學生大膽質疑，給他們充裕的時間去思考，在交流中豐富知識，在探索中解決問題，這樣能讓學生對知識有更加深入的理解，很好地提高了學生發現問題、分析問題和解決問題的能力。

變式1解法1：直線[l]的參數方程化為[x=-1+22t，y=2+22]（[t]為參數），以下解法同上。

總結：把直線的參數方程的非標準式化為標準式[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（[t]為參數），則有[PA=t1]，[PB=t2]，問題就迎刃而解了。

變式1解法2：將直線的參數方程[x=-1+t，y=2+t]（[t]為參數）代入[x2+y2=9]得[t2+t-2=0]，設[A]，[B]對應的參數分別為[t1]，[t2]，則[t1+t2=-1]，[t1t2=-2]，[PA+PB=2t1+2t2=2t1+t22-4t1t2=32]，[PA·PB=2t1·2t2=2t1t2=4]。DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

總結：把直線的參數方程[x=-1+t ，y=2+t]（[t]為參數）直接代入圓的方程，則有[PA=2t1]，[ PB=2t2]，問題更加容易解決。

[例4]在平面直角坐標系[xOy]中，以[O]為極點、[x]軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線[C]的極坐標方程為[ρsin2θ+4sinθ-ρ=0]，直線[l]過定點[P（1， 1）]且與曲線[C]交于[A]，[B]兩點。

（1）求曲線[C]的直角坐標方程;

（2）若直線[l]的斜率為2，求[1PA+1PB]的值。

解：（1）由[ρsin2θ+4sinθ-ρ=0]得[ρ2sin2θ+4ρsinθ-ρ2=0]。

于是[4ρsinθ=（ρcosθ）2]，

所以曲線[C]的直角坐標方程為[x2=4y]。

（2）解法1：設直線[l]的傾斜角為[α]，則[tanα=2]，于是[sinα=255]，[cosα=55]，所以直線[l]的參數方程為[x=1+55t，y=1+255t]（[t]為參數）。將[x=1+55t，y=1+255t]代入[x2=4y]得[t2-65t-15=0]，所以[t1+t2=65]，[t1t2=-15]，

所以[1PA+1PB=PA+PBPAPB=] [t1-t2-t1t2=t1+t22-4t1t2-t1t2=41515]。

解法2：∵直線[l]的斜率為2，∴設直線[l]的參數方程為[x=1+t，y=1+2t]，將[x=1+t，y=1+2t]（[t]為參數）代入[x2=4y]得[t2-6t-3=0]，[∴t1+t2=6]，[t1?t2=-3]。設[PA=12+22t1=5t1]，[PB=12+22t2=] [5t2]，

[1PA+1PB=151t1+1t2=15?t2+t1t2t2=15?t2-t1t2t2=15?t2+t12-4t2t2t2t2=41515? ]。

問題11：比較上述兩種解法，哪一種解法更好？好在哪？

點評：高考數學試題涉及知識面廣，能力要求較高，解法靈活多樣。本節課，教師在研討數學問題時，從中歸納總結出常用的解題方法，而不是為解題而解題，更重要的是讓學生學會分析試題，會考慮從何入手、采取什么方法，并熟練地歸納出解題方法。通過對上面例子不同解法的比較，學生發現用直線的參數方程的非標準式求與定點有關的距離問題時，解法2直接套用公式，更簡潔，以后做題時就不會無從下手，而是有章可循、有路可行，易于入手。

三、項目評價

項目評價是項目式課堂教學中的一個重要環節，評價不只是教師對學生做出的簡單評價，還包括學生之間的相互評價、學生的自我評價和學生對教師的評價等。

1.項目目標評價。項目目標的確立是否符合學生實際， 數學活動是否具有思維價值， 是否以學生發展為本并注重全面發展。

2.教學方法評價。教學方法是否體現學生在獨立思考、探究性學習、合作交流中學會學數學，用數學的思想、方法創造性地解決問題，并在親歷數學化過程中嘗試多種體驗。

3.教學成果評價。教學目標是否體現“三維性”，即知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀。

4.學習成果評價。評價學生的學習態度、自主學習與合作學習的表現，評價學生的學習效果，不單純是知識的掌握，更是學習方法的掌握和學習技能的形成以及學習收獲情況。

新課程標準指出，對數學學習的評價不僅要關注學生學習的結果，更要關注他們的課堂表現。比如對問題9、10的探求過程和例3解法過程的評價，其實就是對學生學習成果的評價。教師要讓學生在合作中學會評價總結，同時，要引導學生對學習結果和學習過程進行評價，既要對知識掌握情況進行評價，又要對每個學生的情感表現進行評價。教學中可以通過教師的范評引導學生互評，以增強學生評價的能力、提高學生評價的水平和勇氣。正確的評價能讓學生的自尊心、自信心和進取心得到保護，激發學生學習發展的動力和學習創新的活力。

四、小結歸納

1.本節課你學到了什么知識、技能和思想方法？你最大的收獲是什么？

2. 利用參數[t]能求解數學中有關距離的問題，要區分好直線的參數方程是標準式還是非標準式。

本節課的教學是以項目為主線、教師為主導、學生為主體的項目式課堂教學，目的是把課堂學習探究的主動權還給學生，引發學生的思考，培養學生的創新能力和批判性思維。

（責任編輯 黃桂堅）DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD