基于歷史發生原理的高中數學學科育人教學實踐探索
——以“球的體積”為例

朱亞萍，馬 晟

(黃岡師范學院 數學與統計學院，湖北 黃岡 438000)

2014年，《教育部關于全面深化改革課程落實立德樹人根本任務的意見》明確指出：要充分發揮人文學科獨特的育人優勢，進一步提升數學、科學、技術等課程的育人價值[1]。《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準(2017年版)》)中提倡高中數學課程應以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養，同時注重數學文化的滲透[2]，不僅如此，修訂版的課程標準也強調應加強以育人為導向的課程建設[3]。2017年教育部印發的《中小學德育工作指南》為中小學德育工作提出了具體的實施途徑和要求，將“課程育人”作為重要的實施途徑之一，其中數學等課程要加強對學生科學精神、方法、態度、探究能力和邏輯思維能力的培養，促進學生樹立勇于創新、求真務實的思想品質[4]。中共中央國務院印發的《中國教育現代化2035》指出：為全面落實立德樹人根本任務，發展中國特色世界先進水平的優質教育，應廣泛開展理想信念教育，不斷提高學生的文化素養，強化實踐能力、創新能力的培養[5]。在教育部印發的《完善中華優秀傳統文化教育指導綱要》中也要求：加強中華優秀傳統文化教育，發揮課堂教學的主渠道作用，在高中階段以增強學生對文化的理性認識為重點，引導學生感悟文化的精神內涵，數學課程應結合教學環節滲透文化[6]。上述文件表明了國家對學科育人實踐的高度重視，對此，很多學者也提出了自己看法。有學者認為踐行學科育人是落實立德樹人的最佳途徑[7]，文化浸潤課堂是彰顯學科育人價值的重要方式。而學科育人價值的挖掘則需要透過知識的表層，去追尋知識背后的文化意義與價值傳承[8]。還有學者認為學科教學中育人價值的挖掘、開發可從教學內容、教學方法、教學工具三個角度考慮[9]。有學者指出讓文化浸潤課堂，促進學生數學思維的發展從而讓深度學習也隨之發生，引導學生對文化形成同一性直至增強文化自信是學科育人功能的實踐訴求之一[8]。基于這種關系，數學文化融入數學教學在順應《標準(2017年版)》的同時也更好的滿足了學科育人價值的實踐訴求。關于以文化育人為導向的學科育人理論研究為實踐指明了方向，但如何將教學理論成功轉化為教育實踐才是學科教學論走向實踐應用狀態的標志[10]。

球的體積是高中數學“立體幾何初步”中的重要教學內容，要求教師以這部分教學內容為載體，讓學生體會直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算研究幾何對象的一般過程，并循序漸進地安排推理訓練，發展學生的邏輯推理素養。普通高中數學人教版教材中是根據球的表面積公式利用極限的思想推導出球的體積公式，在該教學內容結束后的“探究與發現”中介紹了利用祖暅原理探究幾何體體積的公式。但是，教材中沒有提到了如何用祖暅原理來探究球的體積公式。這種編排形式，為教師在備課、備教材時留有很大的思考、創造空間。而一項關于高中數學立體幾何相關問題的調查研究表明：高中數學課堂中立體幾何的教學存在著對公式直接灌輸、教學方式陳舊等現狀從而導致學生在學習過程中缺乏思考空間、學習動機匱乏、強行記憶知識點的現象[11]。由此可見，數學史融入數學教學的趨勢方興未艾，實際教學中存在的問題并不少。基于此，為貫徹《標準(2017年版)》的重要理念，本文以高中數學中“球的體積”為例，以“歷史發生原理”為理論基礎，以問題串驅動為導向，以發生教學法為策略，將知識的歷史發生順序合理的融入到教學中，在提升數學核心素養的同時最大程度的彰顯數學學科獨有的育人價值。

1 歷史發生原理與“球的體積”的歷史發展

“歷史發生原理”源自于德國生物學家赫爾克提出的生物發生律，即“個體發育史重蹈種族發展史”[12]。后來將此原理應用于教育學中即“個體知識的發生過程遵循人類知識的發生過程”[13]，它是數學史融入數學教學的理論之一。學科育人作為教學的核心任務[14]，教師應有意識的發展學科教學知識，創造性的運用數學史進行教學設計才能使歷史發生原理實現其應有的教學功能[15]。有學者指出，教師能將理論在特定的情境中應用于實踐，是教師專業化發展的前提和基礎，是教學理論走向實踐化的中介，這也是教學工程化的實質要求，即教師在教學工作中運用已有的教學理念進行教學實踐[10]。歷史發生原理應用于教學實踐的體現是發生教學法[16]，該方法不僅為促進數學史與數學教育之間的融合搭建了有效地橋梁，也是數學史融入數學教學提高學生數學學業成績的重要方式[17]。發生教學法應用于教學時應遵循以下幾個步驟：1)教師在備課時應熟知教學內容對應主題歷史的發展過程；2)深入理解主題歷史發展的關鍵環節，從而挖掘每個發展環節的動因以及數學家在解決問題時所遇到的困難和認知障礙；3)在特定的現代情境中重新構造這個發展環節的關鍵步驟，在此基礎上引入新的概念；4)根據重構的步驟設計出由易到難的問題串從而推動課堂教學的發展[18]。

本文正是根據歷史中關于這部分內容的發展脈絡，在教學前通過充分了解授課對象的原有認知水平，運用發生教學法對“球的體積”求法的歷史發生順序進行排列，構造出符合學生實際情況的教學情境，激發學生的學習興趣，幫助學生跨越學習的認知障礙點。同時，讓學生在先賢的智慧中感悟數學文化的同時發揮課堂的育人價值，推動課堂的發展邁向高潮，用數學思想和理性精神滋養學生[20]。

2 基于歷史發生原理實現學科育人價值的教學分析

學生在學習“球的體積”這一教學內容之前已學會了柱體、錐體、臺體等基本幾何體的表面積與體積，此教學內容將為學生的直觀想象、邏輯推理素養的發展提供有效途徑。為了讓文化浸潤課堂，充分彰顯數學學科育人價值，本節教學內容選用我國古代關于球體積的探索路徑，將球體積發生的歷史進行重構，引發學習的認知沖突。在深入學習知識的同時，選取最佳時機將數學文化融入教學，充分利用文化的育人功能。因此本節教學內容的重點是利用祖暅原理推導球的體積公式。

本節課的授課對象為高中一年級的學生，部分學生了解球的體積公式，但沒有經歷公式的推導過程。授課對象具有一定的抽象能力但邏輯推理能力有待提升。高一的學生思維活躍、對知識的發展過程具有較強的好奇心，并且已有大量球體的認知。因此本節課的難點為如何利用祖暅原理的使用條件構造出與球體成比例的幾何體從而證明球的體積公式。

為了順利完成本節內容的教學目標(如圖1所示)，本文以建構主義為核心，在問題驅動的“啟發式+探究式”的教學法基礎之上結合發生教學法，根據學生已有的認知基礎建構新知。幫助學生從生活實例到抽象球體、從感性認識到理性思考的過度。

圖1 教學目標

3 基于歷史發生原理的學科育人教學過程體現

3.1 課前研學 發展科學精神和創新意識

根據學生的基本情況和原有認知水平，大部分學生都具備一定的關于球體知識的生活經驗。基于此，課前布置研學方案：“探究生活中球體的體積”后由各小組推薦的發言人交流展示研學成果。一部分小組利用“排水法”(如圖2所示)，將球丟進有水的圓柱形杯子中，通過觀察、比較水面高度的變化求出了球的體積。另一部分小組利用Excel表格進行函數擬合找到了球的體積公式的函數模型(如圖3所示)。

圖2 排水法”求體積

圖3 體積公式的函數模型

學生展示：在商店里通過商品詳情收集了一些生活中球體的半徑、直徑以及體積的具體數值，以半徑為橫軸、體積為縱軸繪制散點圖后進行函數擬合，利用多種函數進行擬合，最后發現，冪函數的擬合度達到了1。由此學生認為球的體積公式應該是一個冪函數模型。

根據學生代表發言情況，深入剖析問題所在：用“排水法”求球的體積是可行的，但是關于這一幾何體體積公式的求法還有待探討。通過分析數據，建立球體積公式的模型存在誤差。根據此時學生對球體積公式的認知障礙，設計生活化的數學問題情境，激發原有認知水平。

教師出示問題情境：許多人喜歡喝加冰塊的飲料，假設你要點一杯冰咖啡，服務員給你提供兩種加冰塊的選擇：A.邊長3 cm 方形冰塊5個；B.半徑2 cm 球形冰塊5個；哪一種選擇喝到的咖啡多？

通過課前的研學方案，讓學生在自主研學中提升追求真理的科學精神和創新意識，培養學生在解決問題時敢于質疑、動手操作、勇于創新、自主思考的好習慣，為本節課新知識的學習做好鋪墊。問題情境的求解需要用到球的體積公式，由此引出課題。

3.2 實驗探究 提升學科核心素養

為了避免灌輸式教學，使深度學習在數學課堂中滋生，實施發展性教學，充分發揮課堂的育人功能[21]，球的體積公式采用“先猜后證”的方式推導證明。基于學生對圓柱體、圓錐體的學習基礎，設置問題情境引導學生猜想并驗證，以動手操作的形式學習知識，為后續的理論證明作鋪墊。

教師引導學生聯想并猜測球體與圓柱體和圓錐體之間的聯系。由于學生對圓柱體、圓錐體已具備基本的幾何直觀，部分學生會猜測“半球”。通過圖形外觀來看，半球是介于圓柱和圓錐之間的一種幾何體。根據球的幾何性質教師向學生提問：假設圓柱的體積為V，這時圓錐的體積時多少？

此時學生根據教師的問題猜想：這個半球的體積是多少呢？學生的想法各不一致，但大部分學生此時能想到可以通過球的體積來求半球的體積。教師引導學生根據學具(同底高都為R的半球、圓柱、圓錐)驗證半球的體積與圓柱和圓錐之間的關系。

從實際問題出發，引導學生應用已有的知識和經驗探索未知的世界，體會直觀感知、操作確認的一般幾何問題的研究過程，引導學生“先猜后證”，逐步將教學推向課堂發展的關鍵環節，發展直觀想象的數學素養，提升解決實際問題的能力。

3.3 重塑歷史 浸潤數學文化

蘇聯教育家贊可夫在《教學與發展》中提出了發展性教學觀的教學原則，即“教學應使所有學生都獲得一般發展”，他主張教學應打破書本知識傳授的局限性，讓教學走在發展的前面。據此，通過將知識的歷史發生順序進行重構，設置情境引發學生的認知沖突，引導學生跨越認知的障礙點，提升學科教學的發展性，讓學生在感悟文化的過程中發展思維品質，引發學生深度學習。在教學時融入古代數學家在解決實際問題過程中所遇到的問題、困難，讓學生了解知識的歷史發生過程，讓文化浸潤課堂，滲透我國古人在探究過程中的科學精神與態度，凸顯學科育人的實踐訴求。

教師引領學生沿著歷史的足跡探尋我國古人是如何對球的體積公式進行探究、論證的(如圖4所示)。關于球的體積的求法最早起源于《九章算術》中的“開立圓術”，劉徽對《九章算術》進行注解時發現其中有一定的局限性，于是對其進行了整改，但是在他的有生之年并沒有找到“牟合方蓋”這個幾何體體積的求法。最后祖沖之和他的兒子祖暅延續了劉徽的思路提出了祖暅原理使得球的體積公式得以證明。意大利數學家提出的 “卡瓦列里原理”與祖暅原理的本質是相同的，但是祖暅原理的發現早于卡瓦列里原理1000多年。由此可見，我國古人對數學的發展作出了卓越的貢獻。

圖4 球體積的歷史發生順序

在介紹球體積的歷史發生順序后教師出示祖暅原理并提問，你能從圖中(如圖5所示)總結出祖暅原理的使用條件嗎？此問題為球的體積公式的證明提供理論導向。教師在講解祖暅原理的同時利用動態軟件呈現S1、S2、S3之間的關系，讓學生從直觀上感知原理的合理性。學生通過觀察動態圖總結使用祖暅原理的使用條件：兩個(或以上)幾何體等高；同高處的橫截面積相等。

圖5 三種幾何體體積的比較

學生通過觀察動態圖總結使用祖暅原理的使用條件：如果兩個(或以上)幾何體等高，并且同高處的橫截面積相等，那么這兩個(或以上)幾何體的體積相等。

從理論層面證明球體積公式為教學的關鍵環節，教師出示問題：根據祖暅原理的使用條件，如何才能構造出兩個符合祖暅原理的幾何體來證明球的體積呢？通過這一問題引導學生從理論層面探索新知發現球體積證明的發展的關鍵之處在于構造兩個符合祖暅原理的幾何體，讓學生感受數學家在解決問題時所遇到的困惑以及數學家們突破問題疑難點的關鍵過程，由此在教師的引導下將球體積的證明這一問題化繁為簡。

此時學生思考：如何構造幾何體呢？教師追問：用平行于底面的平面去截它們，它們的截面面積相等嗎？學生根據圖形可以直觀的感受這兩個幾何體的截面面積是不相等的。教師再次追問：怎樣才能讓它們滿足祖暅原理的條件呢？學生通過觀察并思考嘗試著把挖去圓錐的圓柱倒過來試試。

為了驗證學生的想法，通過數學動態軟件來驗證這兩個幾何體是否符合祖暅原理的要求，用平行于這兩個平面的任意平面去截這兩個幾何體，觀察它們截面面積的變化情況，可以看出它們任何時候都是相等的(如圖6所示)。這樣就可以借助這兩個幾何體對球的體積公式進行推理論證。

圖6 祖暅原理示意圖

教師出示問題：用平行于底面的截面去截它們，截面面積是否相等呢？學生根據圖中給出的已知條件以及圖中所隱藏的幾何關系，計算S1和S2的面積(如圖7所示)。

圖7 截面相等的幾何體

讓學生感受數學家發現問題，突破問題疑難點，解決問題的關鍵過程，深入挖掘歷史發展的動因，引導學生從理論層面探索新知，滲透轉化的數學思想。發揚敢于質疑、勇于探索的科學精神與態度，引入數學文化，由此增強學生的民族自豪感和文化自信。

3.4 學以致用 提升求真務實的思想品質

學生通過動手操作、理論推導證明了球體積公式之后，對球體積這一教學內容不僅僅是對公式的單一記憶，對于公式的歷史來源也有了更深刻的理解。基于此，引導學生自行解決學習新知識之前提出的實際問題，強化知識的應用。讓學生交流總結本節課的所學及感悟，升華教學內容，凸顯育人價值。教師引導學生解決加冰飲料的問題情境，感受利用新知解決問題的喜悅感。

教師提問并引導學生總結反思本節課所學知識，強化記憶，交流、總結思想，談談收獲。學生本節課的學習感悟是：本節課學習了球的體積公式，并用祖暅原理證明了該公式，深刻認識到我國歷史文化的悠久，感受了我國古人對數學的鉆研精神，由此增強了我們的民族自信和文化自信。還有學生談到：本節課我們在利用祖暅原理對求體積進行推理論證是運用了轉化與化歸的思想。最后，教師根據學生的交流做總結并布置課后作業。為了使本節課所學習的知識在課后得到更好的鞏固與提升，本節課的課后作業是：假設每一個小石子為球形，小石子的半徑為3 cm，一共投入了18個石子，瓶子里物體的總體積增加了多少？

強化新知識的應用，檢驗學生對本節課內容的理解和運用程度。通過梳理本節課的知識要點以及數學思想方法，進一步鞏固本節課的知識。總結本節課所學知識的歷史發生過程，讓學生感受我國深厚的歷史文化底蘊，提升學生求真務實的思想品質，發揮學科育人價值。

4 課堂實踐與反思

本文以歷史發生原理為基礎，運用歷史發生法，對“球的體積”這一教學內容進行教學設計。研究者于2021年5月在黃岡師范學院第六屆教育碩士微課大賽中進行了模擬課堂教學并有幸榮獲二等獎，此后在麻城二中經課堂實踐后通過與專家評委交流總結了以下幾點：在教學過程中以學生的已有認知為出發點，創造性的利用教材和知識發生的順序能讓學生達到良好的學習效果；運用發生教學法深入挖掘了歷史知識發展環節的關鍵步驟，使得學生在遇到新問題時積極踴躍探索，學生的科學精神和創新意識得到了發展，直觀想象、邏輯推理的素養獲得了培育；在重塑歷史，浸潤歷史文化這一教學環節，重構知識的發展順序，構建以人文為導向的課堂，彰顯數學課程獨有的學科育人價值；在教學過程中構建新途徑，給予學生更多的思考、探究空間，學生的探究問題意識得到了逐步提升。但也有不足之處，在構造幾何體證明球的體積公式時在教師的反復引導下學生順利的構造出證明球體積公式的兩個幾何體，如果教師能夠放手讓學生大膽嘗試自主探究構造，可能會給予學生更多的創造空間。