研究型教學指導下的橢圓幾何性質教學

[摘? 要] 課堂教學如何以生為本，讓學生的學習變成研究，是許多教師面臨的難題. 對此，高中數學研究型教學提供了很好的理論與操作指導. 借鑒“五環十步”研究型教學模式和ADE模型對“橢圓的簡單幾何性質”進行教學設計，并進行教學實踐，將教學變成指導學生的研究，讓學生思維能力和核心素養的發展落到實處.

[關鍵詞] 研究型教學;ADE模型;“五環十步”教學模式;橢圓的幾何性質

教學是藝術，因此需要“因地制宜”、靈活變通;教學是科學、是技術，因此教學設計需要依據一定的原理與方法展開. 依據李昌官老師的理論精華“高中數學研究型教學”，通過自學、研討、師傅指導、教學實踐等活動，筆者深刻體會到理論的高度與對教學的指導意義，對學生來說也能親身經歷與體會知識發現與建構的過程. 筆者使用“五環十步”研究型教學模式對原來的“橢圓的簡單幾何性質”教學進行了再設計，受新理論的啟發，特意從橢圓的方程入手，從數的角度引導學生運用類比函數的代數方法進行探究，開啟橢圓幾何性質的建構之旅.

分析準備階段

1. 知識分析

（1）知識的背景與“固著點”.

學生學習了橢圓的定義后，通過建立恰當的坐標系得到了橢圓的標準方程. 按照邏輯發展的必然性，解析幾何有其自身的學科性質，主要是借助于橢圓的標準方程來定量刻畫和研究橢圓的幾何性質. 利用函數思想方法、直線和圓的位置關系等，為研究橢圓的簡單幾何性質提供了知識與經驗上的“固著點”.

（2）知識生長的過程與階段分析.

本節知識生長的基本過程是在大致明晰研究問題、研究方法的基礎上，探究橢圓的簡單幾何性質，最后運用這些性質解決相關問題.

（3）知識建構的策略與方法分析.

對橢圓簡單幾何性質的探究是第一次系統地從方程出發探究曲線自身的性質，主要的建構策略和方法有三個：一是類比，類比利用函數解析式探究函數性質的方法;二是突出“以數解形”的坐標法思想，從方程出發探究曲線的性質，讓學生切實體驗借助于代數方法解決幾何問題的過程;三是從特殊到一般，對一般性的探究，可以先特殊化、簡單化，進而猜想或推廣到一般情形，并給予證明.

（4）知識之間的聯系與結構分析.

無論是直線與方程、圓與方程，還是圓錐曲線與方程，坐標法思想一以貫之. 建立直線、圓的方程時并未強調如何“建系”，而學習圓錐曲線時要求建立恰當的坐標系，主要是為了讓圓錐曲線的方程簡單化，進而讓后續相應的研究簡單化. 橢圓、雙曲線、拋物線三部分，在“提出問題”“探究概念”“建立方程”“利用方程研究曲線的性質”等方面的基本做法都是相似的. 本節課中，通過特殊化可以聯系圓的有關性質，通過類比可以聯系函數的圖像與性質，通過推廣可以聯系一般方程的研究方法.

（5）知識的要點與本質分析.

解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，本節課需要突顯橢圓標準方程的結構特征、代數特征，橢圓標準方程的本質特征包含有界性、對稱性等，離心率的本質是刻畫橢圓形狀的代數量.

（6）知識的教學價值.

由曲線方程研究曲線的幾何性質是解析幾何教學的主要問題，因此筆者希望通過重新設計“橢圓的簡單幾何性質”教學，讓學生能夠較系統地學習如何用代數方法研究曲線的性質，對學生來說既要清楚需要研究什么方面的性質，又要明晰利用什么方法進行研究. 以數助形，對學生后面根據方程來研究曲線幾何性質具有“標桿”作用.

從思維的角度來看，本節課宜“從特殊中見一般”，適時提煉出各種觀點，如函數與方程、不等式、數與形等思想方法，需要努力培養學生觀察與分析、抽象與概括、推理與證明、用數助形等數學素養，養成嚴謹的態度與思維，提升學生的數學素養.

2. 學生認知分析

（1）學生認知基礎分析.

學生已經學習了直線與圓的方程，并借助于它們研究了直線與圓、圓與圓的位置關系，也學習了橢圓的定義與標準方程，知道坐標法以及以橢圓的中心為原點建立平面直角坐標系得到橢圓的標準方程. 學生初步具備利用代數方法研究直線與圓的問題的能力，同時也有利用函數解析式研究函數性質的經驗.

（2）學生認知障礙分析.

通過方程來研究曲線的幾何性質對學生來說可能不熟悉其基本方法，研究曲線時對研究什么也不甚了解，難以形成清晰的研究框架.

（3）克服障礙的措施分析.

教師應發揮自身的主導作用，類比利用函數解析式探究函數性質的方法，幫助學生明確曲線的幾何性質一般包括哪些，直到學生能夠基本提煉出曲線的形狀、大小、對稱性、位置等性質，而且能夠利用曲線方程對上述性質進行研究. 讓學生自主探究數學結論，一方面，能夠滿足學生好奇探索的心理需求和情感體驗;另一方面，能使數學結論的出現變得自然，符合學生的認知規律，自然而然地完成知識的正遷移和內化過程.

教學目標與教學設計思路

本節課的教學目標是掌握橢圓的四個幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率），掌握標準方程中的幾個基本量（a，b，c，e）的幾何意義，還有他們之間的相互關系，系統學習用代數方法研究曲線的幾何性質.

本節課教學設計的思路是問題引導，利用計算機、幾何畫板、希沃投屏等輔助教學，引導學生主動探究，讓學生多次體驗由“數”到“形”的探究過程，培養學生的探究精神，也為之后研究雙曲線、拋物線的幾何性質等奠定基礎.

教學過程設計

1. 呈現背景，提出問題

教師引導：可以類比利用函數解析式研究函數性質（如定義域、值域、關鍵點、奇偶性、圖像形狀等）的方法，引導學生借助于曲線方程研究曲線的幾何性質（范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等）.

設計說明：讓學生能整體把握研究方法、研究內容.

2. 聯想激活，尋求方法

問題2：如何利用函數的解析式研究函數的性質？

學生可以從以下幾方面進行類比：（1）類比函數的定義域和值域研究橢圓的范圍，是研究橢圓標準方程中變量x，y的取值范圍的一般方法;（2）類比函數圖像的奇偶性、對稱性研究橢圓的對稱性，是研究橢圓標準方程對稱性的一般方法;（3）類比函數圖像上的特殊點、特殊線研究橢圓的頂點，是研究x=0或y=0時橢圓標準方程的解的一般方法;（4）類比函數圖像的形狀，引導學生探究橢圓的圓扁程度，并引出離心率.

問題3：如何通過直線與圓的方程研究直線與圓的幾何性質？

設計說明：通過對直線方程與圓方程的探究可以知道直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，感受數形結合的魅力，但橢圓的圖形相對更復雜，如何突破橢圓圖形“難入微”的局限呢？教師可以引導學生通過對方程的邏輯推理得到結論.

3. 提出猜想，驗證猜想

問題4：從橢圓的標準方程出發猜想變量的范圍，并證明.

問題5：繼續觀察橢圓標準方程的特點，猜想橢圓曲線的對稱性，并驗證.

引導發現：把x換成-x，或把y換成 -y，或把（x，y）換成（-x，-y）時，方程的解都是不變的，說明橢圓曲線關于y軸、x軸或原點對稱.

設計說明：引導學生發現曲線對稱一般可以轉化為曲線上任意一點對稱，也引導學生發現上述三種對稱中的任意兩種可得第三種對稱.

通過方程學生可以知道曲線的固有性質（對稱軸、對稱中心）.

問題6：如何利用方程求橢圓與對稱軸的交點？

設計說明：在橢圓標準方程的推導過程中，令a2-c2=b2不僅能使方程簡單整齊，也有特定的幾何意義，引導學生發現特征三角形OB1F2，如圖2所示.

問題7：用什么量可以刻畫橢圓的扁平程度呢？怎樣的兩個橢圓才是相似的？

（3）離心率的歷史意義，學生課后可以查閱相關資料：太陽（以太陽中心為焦點）到（行星）軌道中心的距離和長半軸長的比可以用來表示軌道的形狀.

可以借助于幾何畫板等軟件體會離心率對形狀的影響，要求學生理解.

4. 運用新知，鞏固內化

問題9：研究方程16x2+25y2=400，給出該橢圓的幾何性質，并作圖.

設計說明：本題比較簡單，為鞏固新知，讓學生上臺板演或提出問題，分享交流，也可以合作學習，列表畫草圖;作圖時可以利用橢圓的對稱性，只畫第一象限（或其他象限）的圖像，讓學生再次感受有限到無限的轉化. 掌握畫橢圓草圖的基本步驟和注意事項（范圍、頂點、光滑、對稱性等），體現通過方程研究幾何性質的成果，讓學生體會到只有研究了幾何性質才能更好地解決問題.

5. 回顧反思，拓展問題

問題10：橢圓幾何性質的探究過程中蘊含著哪些數學思想方法？

問題11：如何通過方程研究對應曲線的幾何性質？

設計說明：橢圓幾何性質的探究過程中蘊含了函數與方程、不等式、數與形等基本數學思想方法，典型而豐富，對后面根據方程研究雙曲線、拋物線乃至一般曲線的幾何性質具有“標桿”作用;方程中含有豐富的信息，蘊含著內在規律，要學會研究，通過方程就可以知道相應曲線的幾何性質，容易抓住解析幾何的本質特征，同時引導學生回顧研究的過程，學會研究的“套路”.

作者簡介：鄔仁勇（1981—），本科學歷，中學高級教師，李昌官名師工作室第三期學科帶頭人，曾獲臺州市優秀教師、臺州市教壇新秀、臺州市教學大比武一等獎等榮譽.