深度教學視角下高中數學思維能力的培養

胡兵

[摘? 要] 以素養為核心的數學教學，對教師提出了更高的要求，為實現深度教學，切實培養學生的數學思維能力，教師需做好以下幾方面：（1）注重概念教學，夯實思維根基;（2）建立知識體系，疏通思維脈絡;（3）開展變式練習，提高思維深度;（4）滲透數學思想，提高思維高度.

[關鍵詞] 深度教學;深度學習;思維能力

高中數學是一門具有高度抽象性、嚴謹性、完整性的學科.很多學生對于數學概念、數學思想方法等掌握不熟，容易對數學失去信心.面對這種不良的教學局面，教師需要及時改變教學策略，積極開展深度教學，引導學生進行深度學習，提高學生的思維能力.

深度教學不是指無限增加知識難度和知識量，不是對知識表層的學習，不是對知識的簡單掌握和機械訓練，而是基于知識的內在結構，通過對知識的完整處理，引導學生從符號學習走向學科思想和意義系統的理解與掌握，是對知識的深度學習.深度教學強調為理解而教、為理想而教、為意義而教、為發展而教 .在深度教學的視角下，數學思維能力的培養不可忽視.數學思維是指通過提出、分析、解決和推廣數學問題等一系列工作，從而獲得數學對象的本質和規律這一認知過程.思維能力是學生理解和應用數學知識的根本.當學生具備了數學運算、邏輯推理、空間想象等數學思維能力時，便能夠對學科知識進行高效學習.

深度教學強調的是以學生為中心，促進學生掌握對于概念、定義、定理的探究能力，掌握以理解和領悟為核心的解決問題的思路和方法，提高學生的思維能力、創新能力、學習能力. 為此，教師要做到以下幾方面.

注重概念教學，夯實思維根基

數學的概念、定義、定理等是數學大廈的根基，是知識發生的原點，是數學應用的基石. 對于數學概念教學，數學教師不應追求以合作探究、分組協作等形式進行教學，更不應以學生頻頻點頭視為學生已理解并掌握，而應以學生的認知障礙、原有知識為基礎，從數學概念的“本源”進行教學. 教師可將教材中的概念、定義的每一個關鍵要點分解為層次遞進的小目標，讓學生在體驗數學知識的發展過程中，學會新的知識，掌握概念的核心本質，加深對概念的認識和理解.

在函數的概念教學中，學生容易對函數的概念感到困惑不解，故需要教師幫助學生細細分析函數的基本概念，將其細分成小目標：（1）連續型函數和離散型函數的判斷;（2）什么是函數定義中的對應法則“f”;（3）如何在解析式、列表和圖像中判斷函數.

根據以上設想，教學時教師可以先提出問題1：

（2）求x=1，x=-1時對應的函數值y;（3）你能得到x和y的取值集合嗎？

對于問題1的第（1）問，學生認為是函數關系，但對于函數的具體定義描述不清，經過師生合作探究，可以得到關系式是函數的判斷依據中的一個要點，即對每一個自變量x，均有唯一的y與之對應. 對于問題1的第（2）問，學生能根據式子計算出對應的函數值y，于是借此可以向學生介紹自變量x經過計算得到y值的過程就是對應法則，讓學生突破對應法則這個難點. 為厘清函數的概念，教師可進一步追問：

問題2：（1）y=x2+x+1，x∈{-1，0，1，2}是函數嗎？

（2）已知某商場9月前9天銷售的電腦臺數如表1所示，y是x的函數嗎？

基于問題2，學生判斷時會產生猶豫，對于是否是函數沒有把握.這是在具體的函數概念上的進一步抽象，教師需分析離散型函數與連續型函數的相同點，并讓學生把握兩點：函數是否是同一函數，僅看對應法則是不夠的;函數的判斷不一定需要有具體的解析式，通過列表也可以實現.學生認識函數的概念還需要繼續激發認知沖突，可借此提出問題3：

（1）請問氣溫T是時間t的函數嗎？

（2）你能在圖中找到不同的t對應的相同的T嗎？反之可以嗎？

通過問題3的提出，教師幫助學生進一步完善了函數的概念，為抽象出一般函數的定義奠定了基礎.對于函數的概念，由于其概念的抽象，故需要回歸到學生思維發展的順序，由函數解析式入手，重點介紹函數的對應法則、定義域和值域，通過列表法和圖像法使學生能夠從特殊到一般理解函數，進一步明確和掌握函數的基本概念.

教師只有從概念、定義、定理的要點出發，分析出其邏輯上的難點，才能設置合理有效的問題，讓學生在不斷探索、反思、總結中成長，使自身思維由感性走向理性.教師只有通過長期的熏陶，才能真正為學生構建數學核心概念、定義、定理奠定基礎.

建立知識體系，疏通思維脈絡？搖

高中數學課程具有整體性，每個知識點與其他知識點都有聯系，但學生學習的知識點卻較片面、零散. 因此，教師教學時需要跳出“題海”訓練的思路，做到不僅會用教材，更會對教材進行改造和加工，同時要提高學生對教材的重視程度，從整體角度全面了解教材章節. 教師可以引導學生利用思維導圖等工具建立知識體系、疏通思維脈絡，切實提高學生的數學思維能力.

筆者復習“統計”的知識體系時，不是反復教學生已經知道或者片面的知識點，而是引導學生重新結合教材認識“統計”的作用. 經過師生的合作探究，教材中“統計”章節的編排意圖徐徐展現在學生眼前：首先，通過學習總體和樣本明確抽樣的范圍，并根據需要，通過隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣等方式進行合理抽樣;接著，根據抽樣的數目，對樣本進行數據分析，采用的方法有莖葉圖、頻率分布直方圖、條形圖等，形成樣本和總體的初步認識;最后，對抽樣的數據進行檢驗，以線性回歸為例進行合理假設，并評估假設檢驗的合理性. 通過思維導圖等工具使學生真正了解“統計”章節的整體性，明確“統計”教學的“四步走”方式——提出問題、收集樣本、數據分析、合理檢驗. 具體如圖2所示.

開展變式練習，提高思維深度

教師講授多種數學知識、各種解題方法，容易導致知識碎片化，不容易形成系統性，學生無法舉一反三，掌握不了具有深刻思維的知識點. 教師需要在教學中以變式為驅動，引導學生探索某類問題的真諦，并借此引申至不同的方法，讓所學的知識更加深刻且富有創造性. 筆者在變式教學中堅持回歸題目本身，從精心選題開始，做到層次豐富，既有區別又有聯系，串聯起一系列數學思想方法，讓學生真正體會到數學的美. 同樣，筆者認為在變式教學中，應根據題目本身所具有的難度，設置不同層次的變式，引發學生思考. 例如，函數極值點和函數值常有相關性，時常讓學生無法找到解題思路，而變式分層有助于學生認知逐步深入，提高分析能力. 筆者上復習課時，喜歡運用開放式習題進行復習，學生學完知識后，若以單個知識點進行零散復習，不僅不利于學生掌握學習數學的方法，更難培養學生獨立創新、整合知識的能力.

例如，筆者在高三“導數極值和最值”的復習公開課中，設置了開放的探究題：已知函數f（x）=x-alnx，你能根據函數的性質從易到難提出2～3個問題并證明嗎？

在課堂上，學生開始對于這類問題并不適應，但學生根據解題經驗，還是很快掀起了探究蓋頭，學生提出了如下問題：

問題1：當a=1時，求函數f（x）的單調區間、極值、最值.

問題2：求函數f（x）在[1，e]上的單調區間、極值、最值.

開放式問題看起來和變式教學毫無關系，但本質卻是一致的. 它是一個需要學生通過對函數的認識并結合實踐，提出自己想法的過程. 只有真正的深度教學，才能在師生的互動交流中，將學生自身的學習感悟融入課堂教學，促進學生舉一反三、觸類旁通，真正達到培養學生思維能力的目的.

教師要引導學生多讀教材，從教材的編排入手，啟發學生思考教材中知識點設置的原因，通過思維導圖等工具建立整個高中數學知識體系，加深對知識體系的認識，才能讓學生厘清知識之間的聯系，走出知識誤區，真正學會將知識運用于實際生活，解決實際生活中的問題，疏通數學思維脈絡.

滲透數學思想，提高思維高度

數學思想是對數學理論本質的認知，數學思想是思維能力的外在體現，只有當學生具備了一定的數學思想，才能進行深度學習. 數學思想是數學的靈魂，包含著讓學生領悟并掌握數學基礎知識、基本技能，學會用數學的眼光看待世界. 數學思想是學好數學的關鍵，但要讓數學思想成為學生得心應手的工具可能比預想的要相差甚遠，主要原因是數學思想是對數學知識內容在更高層面上的理解，是知識體系中蘊含的寶藏，需要挖掘和逐步推進. 教師在教學中，不能將數學思想和方法混為一談，不能一味地強調應用，需要對數學思想有較為深刻的理解，進而將每種數學思想劃分為幾個層次，通過細化將其不斷滲透，達到一葉成林的效果.

比如我們常提的數形結合思想，它是“數”與“形”的相互轉化，如同事物的一體兩面，是抽象的數學語言與圖形語言的互化，是抽象思維與形象思維的交替變化，有助于學生把握數學本質. 數形結合思想在高中數學的函數、數列、立體幾何、解析幾何中被廣泛應用，具有普遍性.

例如，在圓中應用數形結合思想時筆者將其分為三個層次：

層次1：給出具體的圓方程如x2+y2-2x+2y+1=0，能畫出相應的圓，反之也一樣.

層次3：能在跨區域的范圍內找到隱藏的“圓”并應用. 如：（1）△ABC中，BC=2，AC=2AB，求△ABC面積的最大值;（2）已知過定點P（4，0）的直線與y2=4x相交于兩點A，B，OD⊥AB，垂足D在線段AB上，求△OPD面積的最大值.

通過三個層次滲透數形結合思想，使學生對數形結合思想的形式、內涵有了進一步的了解，能真正運用其解決一類問題，使之達到核心所在.教學中，教師需要對數學思想進行合理分類，細分教學層次，根據需要不斷進行滲透與整理，結合平時的有效訓練，才能真正讓學生感悟數學思想、運用數學思想，讓數學思維能力得到極大提升.

深度教學能切實體現教學過程的價值，豐富學生的課程履歷和學習過程，引導學生深度學習，提高學生的數學思維能力. 教師既要“負責任”，又要“講科學”;既要幫助學生“得高分”，又要講課“有味道”. 雖然有時這種深度教學不一定能馬上見成效，但是教育本身就是細水長流、潤物細無聲的工作. 相信經過時間的沉淀，學生必將有更大的作為，取得更好的成績，相信這樣的深度教學也會贏得更多認可.