一類具有熱對流作用的非牛頓微極流體方程組的強解

段雨希， 王長佳

(長春理工大學 數學與統計學院， 長春 130022)

0 引 言

在三維空間中考慮如下具有熱對流作用的非牛頓微極流體方程組的Dirichlet邊值問題

(1)

式中：ui,j=?jui(x),ωi,j=?jωi(x)。

微極流體模型是Eringen在文獻[1]中首次提出的，它考慮了流體顆粒的微觀結構，是關于流體動力學中的經典模型 Navier-Stokes方程的根本推廣，在理論和應用上都涵蓋了比經典模型更多的現象。當p=2時，問題(1)成為經典的牛頓流模型，目前已有大量的研究成果可參見文獻[2-7]。當p≠2時，問題(1)成為非牛頓流模型，此時方程組所具有的退化性或奇異性會為這類問題研究帶來本質困難，相關研究結果還不多。在不考慮熱對流作用(即θ=0)時，Araújo等在文獻[8]中通過結合使用Galerkin方法與緊性方法證明了其弱解的存在性，并討論了解的唯一性與周期性結果；文獻[9]在二維光滑有界區域上討論了其解的漸近性，并證明了系統拉回吸引子的存在性以及關于黏性系數的上半連續性，有關微極流體模型的更多結果見文獻[10-20]。本文研究具有熱對流作用(即θ≠0)的非牛頓流問題(1)，應用不動點定理，在外力項和渦旋粘性系數適當小的條件下，證明了該問題強解是存在且唯一的。

1 預備知識

首先介紹本文所能用到的基本知識。

引入空間

對于x,y∈，記(x,y)+=max{x,y}，x+=max{x,0}，Sp=(|p-2|,2)+。

引入常數

且本文中用Cp表示Poincaré常數。

對于q>r>s>3和δ>0，用Bδ表示由下式定義的凸集：

‖(ξ,η,ζ)‖1,q,r,s:=max{‖?ξ‖1,q,‖?η‖1,r,‖?ζ‖1,s}

本文用到的引理如下。

引理1[21]令m≥-1為整數，Ω為n(n=2,3)中的有界域，邊界?Ω∈Ck，k=(m+2,2)+。則對于任意τ∈Wm,ρ(Ω)，問題

存在唯一解(u,p)∈Wm+2,ρ(Ω)×Wm+1,ρ(Ω)，并且以下估計式成立。

‖?u‖m+1,ρ+‖p‖m+1,ρ/R≤Cm‖τ‖m,ρ

式中Cm=Cm(n,ρ,Ω)為正常數。

AD+ED2rp(1+D)(p-4)+≤γp

成立，則F至少有一個根δ0，且δ0>D。此外，對每個β∈[1,2]，下列估計式成立：

‖T(u)-T(v)‖Y≤K‖u-v‖Y,?u,v∈B, 0

則T在B上存在唯一不動點。

2 主要結果及證明

本文的主要結果如下：

(2)

成立，則問題(1)存在唯一強解

對上述結論，本文將通過以下四步進行證明。

第一步： 問題的線性化及映射的構造。

首先，將問題(1)重新表述如下：

(3)

根據引理1、橢圓型方程理論以及文獻[2]可知，問題(3)存在解

為此可定義映射

T:(ξ,η,ζ)→(u,ω,θ)

第二步： 證明映射T為Bδ0到它自身的映射。

這部分本文將證明存在常數δ0>0，使得T為Bδ0到Bδ0的映射，主要結論如下。

命題1設q>r>s>3，p>1，μ>0，f∈Lq(Ω)，g∈Lr(Ω)，h∈Ls(Ω)，存在正常數

(4)

成立，那么存在δ0>0，使得T(Bδ0)?Bδ0。

證明設(ξ,η,ζ)∈Bδ。根據引理1知，u∈V2,q，且滿足

(5)

下面估計式(5)右端各項，首先有

(6)

(7)

其次，由文獻[22]中的推導有

(8)

結合式(5)～式(8)，得到

另一方面，利用橢圓型方程估計理論可知，存在正常數C1，使

‖?ω‖1，r≤C1[‖ζg‖r+‖2υrrotξ‖r+‖4υrη‖r+‖ξ·?η‖r]

≤C1[‖ζ‖∞‖g‖r+2υrC‖?ξ‖r+4υrCp‖?η‖r+‖ξ‖∞‖?η‖r]

≤C1[δ(Cp+1)‖g‖r+Cυr‖?ξ‖1,q+4υrCp‖?η‖1,r+CE(Cp+1)‖?ξ‖q‖?η‖1,r]

然后，由方程(3)及橢圓方程估計知，存在正常數C2，使得

(9)

式中

所以有

(10)

又因

‖κ′(·,ζ)|?ζ|2‖s=‖(κ′(·,ζ)-κ′(·,0))|?ζ|2‖s

(11)

‖ξ·?ζ‖s≤‖ξ‖∞‖?ζ‖s≤CE‖ξ‖1,q‖?ζ‖s≤(Cp+1)CE‖?ξ‖q‖?ζ‖s

(12)

結合式(9)～式(12)，可得

不妨假設δ≤1，因此，為了確保T(Bδ)?Bδ，則僅需以下條件成立：

(13)

在引理2中取β=2，得

其次，可將不等式(13)中的第二個不等式重新寫為

(14)

此時，存在δ使得式(14)成立。

最后，可將不等式(13)中的第三個不等式重新寫為

(15)

此時，存在δ使得式(15)成立。

綜上可得

因此，取δ0=δ1，有T(Bδ0)?Bδ0。

第三步：證明T:Bδ0→Bδ0為壓縮映射。

(16)

式中

首先，根據引理1可得

(17)

下面估計式(17)的右端各項。首先根據文獻[22]中推導有

(18)

(19)

其次有

(20)

(21)

結合式(17)～式(21)，得到

(22)

另一方面，由橢圓型方程估計可知，存在正常數C3，使得

(23)

估計式(23)中的右端各項，有

(24)

(25)

(26)

(27)

結合式(23)～式(27)，得到

(28)

然后，由文獻[2]可知，存在正常數C4，使得

(29)

式中

所以有

(30)

(31)

結合式(30)～式(31),可得

(32)

結合式(29)和式(32)有

(33)

結合式(22)、式(28)和式(33)有

(34)

第四步：定理1的證明。