基于漸近趨近律的永磁同步電機滑模控制研究

潘雄杰，趙世偉，楊向宇，肖盼盼

(華南理工大學 電力學院，廣州 510640)

0 引 言

永磁同步電機(以下簡稱PMSM)因結構簡單、控制靈活等優點，在冶金石油、紡織機械等領域得到廣泛應用。常規PI控制雖能滿足特定工況下的控制要求，但被控對象模型的精準性對其控制性能有著直接影響，且易受到電機參數變化和外部干擾影響，魯棒性差，難以滿足高性能應用要求。PMSM具有耦合性強、非線性的特性，為解決傳統PI控制的問題，國內外學者將現代控制理論研究成果用于PMSM矢量控制系統。

滑模變結構控制對模型依賴性低，抗外部負載擾動對和內部參數攝動能力強，能迫使系統按照預先設計的滑動模態軌跡運動，被廣泛應用于PMSM調速控制系統[1]。當系統到達滑模面后，會沿著滑模面做高頻率小幅度穿越運動，即產生抖振，可能激發系統未建模動態成分，影響控制器性能。我國高為炳院士采用趨近律的方法削弱系統抖振[2]，改善系統運動動態品質。文獻[3]結合新型擴張擾動觀測器提出一種新型變指數多冪次趨近律滑模控制器，加快系統收斂速度，有效抑制了抖振;文獻[4]提出一種變指數快速冪次趨近律積分滑模控制器，響應速度快，魯棒性好；文獻[5]提出了一種基于特定雙冪次趨近律的滑模控制方案，指出其具有固定時間收斂特性，并給出了收斂時間的一個上界；文獻[6]在冪次趨近律基礎上加入指數項和系統狀態變量，自適應調整趨近速度的同時抑制了系統抖振；文獻[7]將終端吸引子與狀態變量冪函數引入到一種新型趨近律中，提高趨近速度并有效抑制抖振，但控制器設計復雜；文獻[8]將狀態變量趨近速度與切換面函數相關聯，實現趨近速率自適應調節；文獻[9]提出一種新型自適應終端滑模趨近律，提高控制精度和趨近速度，并結合擴展滑模擾動滑模觀測器提高系統魯棒性；文獻[10]提出一種基于反雙曲正弦函數的新型變速趨近律，采取變帶寬趨近方式抑制轉矩脈動，并與傳統PI控制相結合構成混合速度控制器，有效解決滑模啟動時電流過大問題；文獻[11]提出考慮反雙曲正弦和反正切函數的混合趨近律，并結合高階終端滑模觀測器，提高了系統收斂速度和抗干擾性能；文獻[12]提出一種新型指數趨近律，使用連續切換函數來平滑控制信號，同時結合轉子位置觀測器進行積分滑模控制，抑制滑模固有抖振，提高電機抗外部干擾能力；文獻[13]將狀態變量絕對值反正切函數引入到新型趨近律中，并用變邊界層飽和函數代替常規符號函數，抑制抖振效果較好；文獻[14]提出一種將冪次趨近律和等速趨近律相結合的新型混合趨近律，采用具有連續性的tanh(x)函數代替斷續sign(x)函數削弱抖振，并設計了負載擾動觀測器，有效提升趨近速度，提高魯棒性；文獻[15]基于非線性積分滑模面和新型快速趨近律進行滑模控制器設計，但設計過于復雜，且未考慮存在干擾時系統能否收斂至滑模面的問題；文獻[16]提出一種與攝動估計結合的多冪次趨近律離散滑模控制，在提高收斂速度的同時，保證了較好的控制精度。

本文基于上述文獻的思想，綜合參考各方案優點，在傳統指數趨近律基礎上，提出一種新型滑模漸近趨近律，將系統狀態變量趨近速度與滑模面切換函數相關聯，實現趨近速率自適應調整，減小控制器響應時間，提高趨近速度的同時有效抑制抖振。同時為進一步削弱控制系統的抖振，選取在零點連續的開關控制函數取代原有的斷續切換函數。基于所提的新型滑模漸近趨近律設計了新型滑模速度控制器，仿真和實驗驗證了所提方案具有一定的優越性。

1 新型滑模漸近趨近律

1.1 新型滑模漸近趨近律的提出

滑模變結構控制系統的運動由趨近運動和滑模運動兩部分組成。滑模可達性僅要求系統從狀態空間任意位置在有限時間內到達滑模切換面，但對于以何種方式趨近并未具體規定。可以采用趨近律方法來抑制系統抖振，改善趨近運動動態性能。以傳統指數趨近律為例：

(1)

通過調整趨近律參數ε和k，可以改善滑動模態到達過程中的動態特性，但較大的ε會導致高頻抖振。傳統指數趨近律中符號函數sign(s)的存在使得系統運動切換軌跡為帶狀，這意味著系統狀態不能穩定于相平面原點，而是在原點附近不斷抖振。為克服傳統指數趨近律的缺點，本文在其基礎上，將系統狀態變量趨近速度與滑模面切換函數相關聯，提出一種新型滑模控制趨近律，其具體形式為：

(2)

D(s)=δ0+(k1-δ0)e-α|s| β

(3)

為進一步削弱到達平衡點前系統控制的抖振，克服不連續函數sign(s)在零處的不連續切換作用，使控制信號更加平滑，選取在零點連續的開關控制函數sigmoid(s)作為替代。其函數表達式如下：

(4)

圖曲線

1.2 新型滑模控制趨近律性能分析

為對比分析傳統指數趨近律和新型趨近律性能，以典型系統為例進行研究。

(5)

選取系統滑模面為s=Cx，兩邊同時求導得：

(6)

聯立式(5)和式(6)，可得控制系統輸出：

(7)

將(2)式代入式(7)，可得到新型趨近律控制函數：

(8)

在相同參數下，在MATLAB中分別對指數趨近律和新型趨近律進行仿真對比，結果如圖2、圖3所示。由仿真結果對比可知，所提出的新型漸近趨近律在趨近速度和抑制抖振效果均優于傳統指數趨近律，減小了趨近滑模面的時間，提高了趨近速度，控制輸出更為平滑。

圖2 傳統指數趨近律控制性能

圖3 新型漸近趨近律控制性能

2 滑模速度控制器設計

2.1 永磁同步電機數學模型

永磁同步電機電磁關系較為復雜，要建立精準的數學模型比較困難。為簡化分析過程，現作如下假設：永磁體在定轉子氣隙內產生的磁場以正弦波分布，轉子無阻尼繞組；定子三相繞組對稱分布；忽略鐵心渦流、磁滯損耗和磁飽和；認為繞組電阻參數不變。

PMSM電壓方程：

(9)

PMSM轉矩方程：

Te=1.5p[ψf+(Ld-Lq)id]iq

(10)

采用id=0的轉子磁定向控制策略，則轉矩方程可化簡：

Te=1.5pψfiq

(11)

PMSM運動方程：

(12)

式中:ud，uq，id，iq，Ld，Lq分別為d，q軸定子電壓，電流和電感；Rd=Rq為定子電阻；p為電機極對數；ω為電機機械角速度；ψf為永磁體磁鏈；J為轉動慣量；Te為電磁轉矩；TL為恒定負載轉矩。

2.2 設計滑模速度控制器

定義系統狀態變量為轉速誤差及其導數，如下所示：

(13)

式中：ω*為參考轉速，ω為實際轉速。則聯立式(11)～式(13)可得：

(14)

(15)

選取滑模面為線性滑模面s=cx1+x2，對其求導并將式(15)代入得：

(16)

則控制器輸出：

(17)

將所提出的新型趨近律表達式代入式(17)并積分，可得速度控制器輸出：

(18)

可以看出，選取轉速誤差及其導數作為系統狀態變量，在控制律作用下經積分項輸出作為q軸電流輸入參考。由于控制輸出包含積分項，抑制系統抖振的同時能消除穩態誤差，改善系統控制性能。

2.3 穩定性證明

(19)

成立時，滿足穩定性條件。

將新型趨近律表達式代入式(19)可得到:

(20)

式(20)表明，所提出的新型趨近律滿足滑模到達條件，保證系統運動軌跡收斂于滑模切換面。系統到達滑模面后，有下式成立:

(21)

從而解得速度誤差x1=c0e-ct，由該式可知，系統能實現無超調速度跟蹤，系統品質主要由滑模面參數決定，對外界負載擾動不敏感，因而魯棒性較好。綜上所述，當系統采用線性滑模面和漸近趨近律時能實現全局穩定。

3 仿真與實驗分析

在MATLAB環境下搭建仿真模型，電機具體參數為：定子電阻Rs=0.25 Ω，d、q軸電感Ld=0.12 mH，Lq=1.15 mH，永磁體磁鏈ψf=0.019 98 Wb，轉動慣量J=0.09 g·m2，極對數p=4。PMSM調速控制系統結構如圖4所示。

圖4 PMSM調速控制系統框圖

PI控制、傳統指數趨近律及新型趨近律滑模控制下系統啟動和突加負載仿真結果如圖5所示。

圖5(a)為給定指令轉速為1 000 r/min、負載轉矩在0.2 s時由0突增至10 N·m時，三種控制策略下整體轉速響應對比；圖5(b)～圖5(d)分別為三種控制策略下轉矩響應曲線。圖6為系統空載運行至穩態后突增負載時轉速、轉矩響應實驗結果。其中，圖6(a)～圖6(c)分別為系統空載運行至穩態時轉速響應曲線；圖6(d)～圖6(f)分別為系統穩態運行后突加負載轉矩情況下轉速響應局部放大曲線，可以看出，PI控制下轉速跌落約為106 r/min，調節時間較長約為1.73 s，而在滑模控制下，基于傳統指數趨近律速度跌落約為60 r/min，調節時間約為0.63 s；基于新型漸近趨近律速度跌落約為16 r/min，調節時間極短約為0.21 s，動態性能最好；圖6(g)為指數趨近律和新型漸近指數趨近律控制器輸出對比曲線，可以看出，所提出的漸近趨近律速度控制器輸出波動顯著減小，系統抖振得到明顯抑制。

圖6 系統起動與突增負載實驗結果

從上述仿真與實驗結果可知，仿真結果與實驗結果基本一致。當施加一定大小的外界負載擾動時，PI控制對負載轉矩擾動較為敏感，轉速存在明顯波動，轉速下降幅度較大，轉速恢復到原有轉速需要較長的調節時間，轉矩響應調節時間也較長。而在漸近指數趨近律滑模控制策略下，轉速波動小，轉速和轉矩響應調節時間較短。與指數趨近律滑模控制策略相比，漸近指數趨近律滑模控制策略轉速響應更快，轉速響應抖振和轉矩響應抖振減小，控制器輸出切換幅度明顯減小，有效削弱了系統抖振，當受到外界負載擾動時，轉速下降幅度更小，調節時間更短，魯棒性更好。

4 結 語

本文提出一種新型漸近指數趨近律，將系統狀態變量趨近速度和滑模面切換函數相關聯，實現趨近速度自適應調整，提高了全局趨近速度，同時有效抑制了滑模固有抖振。基于該新型趨近律設計了PMSM矢量調速系統滑模速度控制器，并與PI控制、傳統指數趨近律控制進行分析對比。仿真和實驗結果表明，所設計的滑模漸近趨近律速度控制器能有效抑制系統抖振，顯著改善系統調速品質，提高系統動態、靜態性能和魯棒性。