基于卡爾曼濾波器的永磁同步電機(jī)自抗擾控制

朱德明，張 軍，白晨光

(1.南京電子技術(shù)研究所，南京 210039；2.南京師范大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，南京 210046)

0 引 言

永磁同步電機(jī)(以下簡稱PMSM)由于其調(diào)速范圍寬、轉(zhuǎn)矩脈動小、響應(yīng)速度快、運(yùn)行穩(wěn)定性好等特點(diǎn)，在各個工業(yè)和軍事領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-4]。傳統(tǒng)的PMSM驅(qū)動控制中常使用比例積分(PI)算法，其控制結(jié)構(gòu)簡單、易實(shí)現(xiàn)、通用性強(qiáng)，在工業(yè)生產(chǎn)中有無可比擬的優(yōu)勢。然而，PMSM是一個非線性、強(qiáng)耦合、多變量的復(fù)雜控制對象，并且在控制過程中總存在參數(shù)變化和外部不確定擾動等干擾，PI控制難以快速消除這些擾動[5-7]。

為解決PI控制不足，提高PMSM驅(qū)動系統(tǒng)抗干擾能力，國內(nèi)外學(xué)者提出諸多先進(jìn)控制算法，如滑模變結(jié)構(gòu)[8]、預(yù)測控制[9-10]、自適應(yīng)控制[11]、模糊控制[12]、自抗擾控制[7]等。在這些控制方案中，自抗擾控制(以下簡稱ADRC)由于其不依賴于精確的數(shù)學(xué)模型和內(nèi)部參數(shù)，對外部擾動具有強(qiáng)魯棒性，得到普遍研究[13-14]。文獻(xiàn)[15]將線性自抗擾控制器(LADRC)應(yīng)用在PMSM無傳感器控制系統(tǒng)中，用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(以下簡稱ESO)替代傳統(tǒng)滑模觀測器，從而減小位置觀測的相位延遲和速度觀測的抖振。文獻(xiàn)[16]將自抗擾控制器與滑模觀測器結(jié)合，應(yīng)用在PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的電流環(huán)中，利用ESO觀測出的擾動實(shí)時更新控制律，保證電流環(huán)快速跟蹤性能。文獻(xiàn)[17]提出一種LADRC結(jié)合負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測器的控制方案，從而提高轉(zhuǎn)速環(huán)的抗干擾能力，但是該方法并沒有解決系統(tǒng)噪聲對ESO觀測精度的影響。

ESO是ADRC最核心的部分，它在狀態(tài)觀測器的基礎(chǔ)上擴(kuò)張了一階狀態(tài)，用于對系統(tǒng)總擾動的估計[7]。然而，當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)矩擾動較大時，ESO的觀測結(jié)果誤差大。另一方面，噪聲總存在于實(shí)際系統(tǒng)中，不能一味地追求高帶寬的ESO來提升系統(tǒng)性能，這也限制了ADRC的進(jìn)一步發(fā)展[18-19]。

卡爾曼濾波器(以下簡稱KF)[20-21]是方差最小意義上的最優(yōu)估計方法，它直接用遞歸方法處理隨機(jī)噪聲干擾，對模型的依賴性較低。本文將KF與ADRC相結(jié)合，采用KF估計負(fù)載轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)子角速度，既降低了ESO需要觀測擾動的幅值，又抑制了噪聲[22-24]，達(dá)到了提高ESO觀測精度和提升系統(tǒng)性能目的。

1 傳統(tǒng)ADRC數(shù)學(xué)模型

1.1 PMSM 數(shù)學(xué)模型

PMSMd，q坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)矩方程：

Te=1.5piq[id(Ld-Lq)+ψf]

(1)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p為極對數(shù)；ψf為轉(zhuǎn)子磁鏈；id,iq分別為d,q軸電流；Ld和Lq分別為d,q軸電感。

表貼式PMSM，Ld=Lq，則轉(zhuǎn)矩方程簡化：

Te=1.5pψfiq

(2)

PMSM運(yùn)動方程：

(3)

式中：ωm為電機(jī)機(jī)械角速度；J為轉(zhuǎn)子慣量；Kt為扭矩系數(shù)；TL為外部負(fù)載扭矩；B為阻力系數(shù)。

為了方便研究，對電機(jī)旋轉(zhuǎn)角速度進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其變換為轉(zhuǎn)速，具體關(guān)系如下：

(4)

將式(4)代入式(3)并進(jìn)行標(biāo)幺化處理：

(5)

將上述方程變換為狀態(tài)方程：

(6)

式中：x1，x2分別為轉(zhuǎn)速nN和集總擾動a(t)的狀態(tài)變量；y為系統(tǒng)輸出量。

1.2 轉(zhuǎn)速環(huán)ADRC控制器

傳統(tǒng)ADRC多數(shù)采用ESO觀測系統(tǒng)狀態(tài)和擾動，再經(jīng)過線性比例控制律生成控制量，即P+ESO的結(jié)構(gòu)。將式(6)代入到ESO的具體算法中，可得轉(zhuǎn)速環(huán)ESO的數(shù)學(xué)模型：

(7)

將上述方程進(jìn)行Laplace變換，可得其特征多項(xiàng)式：

λ(s)=s2+β01s+β02

(8)

為了保持該系統(tǒng)的穩(wěn)定性和過渡過程，需要對參數(shù)進(jìn)行整定，按照文獻(xiàn)[25]的整定方法，多項(xiàng)式可整定為(s+ω)2的形式，則：

β01=2ω，β02=ω2

(9)

ω=(5～10)ωc

(10)

式中：ω為擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的帶寬；ωc為整個系統(tǒng)的帶寬。則ESO參數(shù)整定可以按照期望帶寬進(jìn)行設(shè)計。

由式(6)、式(7)可得觀測器誤差狀態(tài)方程：

(11)

式中：β01=2ω，β02=ω2，經(jīng)Laplace變換得：

(12)

可以看出，觀測誤差隨著帶寬的增大而減小。傳統(tǒng)線性比例控制律的控制量計算如下：

(13)

對其進(jìn)行微分變換可得：

(14)

為了使誤差收斂至零，線性反饋控制律如下：

(15)

式中：kp為比例增益。

由式(14)、式(15)可得最終系統(tǒng)的控制量表達(dá)式：

(16)

將式(16)中的狀態(tài)量x2替換為ESO的觀測值z2，則式(16)變?yōu)椋?/p>

(17)

傳統(tǒng)ADRC中如果z2觀測不精確，那么系統(tǒng)控制性能將惡化。因此，保證ESO的觀測精度對整個控制系統(tǒng)至關(guān)重要。

2 轉(zhuǎn)速環(huán)KF-ADRC控制設(shè)計

2.1 卡爾曼濾波器狀態(tài)估計建模

實(shí)際系統(tǒng)中，考慮電機(jī)參數(shù)和外部負(fù)載變化的PMSM運(yùn)動方程：

(18)

式中：ΔKt、ΔB和Δiq分別為轉(zhuǎn)矩系數(shù)、粘滯摩擦系數(shù)和q軸電流的偏差值。

將式(18)整理得：

(19)

根據(jù)電機(jī)運(yùn)動方程，得到狀態(tài)方程和輸出方程，即：

(20)

考慮實(shí)際系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲，狀態(tài)方程表達(dá)式：

(21)

式中：V，W分別為系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，通常系統(tǒng)噪聲和測量噪聲為均值零的高斯白噪聲[26]。

卡爾曼濾波器算法中用到了V，W的協(xié)方差矩陣，定義如下：

(22)

一般V，W相互獨(dú)立，非對角元素對估計效果的影響可以忽略，故Q和R取對角矩陣：

式中：Q1是角速度協(xié)方差值；Q2是角位移協(xié)方差值；Q3負(fù)載轉(zhuǎn)矩協(xié)方差值；R1為角位移測量協(xié)方差值。

為在數(shù)字系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)KF算法，將式(20)狀態(tài)方程離散化：

(23)

式中：A′，B′，C′分別為離散化的傳輸矩陣，輸入矩陣和輸出矩陣。它們的值：

Ts為系統(tǒng)采樣頻率。離散卡爾曼濾波器的狀態(tài)預(yù)測方程：

(24)

離散卡爾曼濾波器的狀態(tài)更新方程：

(25)

式中：K(k+1)為k+1時刻的校正增益矩陣。經(jīng)過上面5個式子的遞推，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)估計。將KF觀測的負(fù)載轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償進(jìn)ESO，表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

(26)

(27)

2.2 非線性狀態(tài)誤差反饋控制律的設(shè)計

fal(e,α,δ)函數(shù)具有“小誤差大增益，大誤差小增益”的特點(diǎn)，適合在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用。即：

(28)

式中：e為輸入誤差；α和為δ為常值系數(shù)，分別代表函數(shù)的非線性程度和線性區(qū)程度。線性區(qū)的引入是為了避免高頻抖振。

線性控制律的誤差狀態(tài)方程：

(29)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差：

(30)

同樣的，非線性控制律的誤差狀態(tài)方程：

(31)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差：

(32)

由式(28)、式(29)可知，非線性控制律的誤差收斂速度明顯快于線性控制率，它是以指數(shù)衰減的。而且收斂速度和參數(shù)α有關(guān)，α值越趨于零，誤差收斂速度越快，穩(wěn)態(tài)誤差越小；但過小的α值會引起抖振，實(shí)際使用需要權(quán)衡取值。由此可見，非線性控制律比線性控制律具有更高的控制效率。

最終，得到KF-ADRC方案的控制量：

(33)

由此構(gòu)建的轉(zhuǎn)速環(huán)KF-ADRC結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)速環(huán)KF-ADRC結(jié)構(gòu)框圖

3 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證本方案的有效性，以400 W表貼式PMSM驅(qū)動系統(tǒng)為研究對象，進(jìn)行常規(guī)PI、傳統(tǒng)ADRC和KF-ADRC三種控制策略的速度階躍響應(yīng)、突加突卸負(fù)載和低速輕載對比實(shí)驗(yàn)。其中，電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)參數(shù)

3.1 速度階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

空載時轉(zhuǎn)速0～1 800 r/min和1 800 r/min～-1 800 r/min速度階躍響應(yīng)波形如圖2所示。KF-ADRC控制策略的速度階躍響應(yīng)具有最短的穩(wěn)定時間，轉(zhuǎn)速在0～1 800 r/min過渡過程中，轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時間為160 ms，優(yōu)于常規(guī)ADRC的240 ms和傳統(tǒng)PI控制策略的320 ms。轉(zhuǎn)速在1 800 r/min～-1 800 r/min的過渡過程中，轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時間為200 ms，優(yōu)于常規(guī)ADRC的280 ms和傳統(tǒng)PI控制策略的560 ms。

圖2 正反轉(zhuǎn)階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)

同時，由速度階躍響應(yīng)波形可以看出，PI控制策略不僅響應(yīng)速度慢，而且有較大的速度超調(diào)量，而ADRC和KF-ADRC控制策略均無速度超調(diào)。

3.2 突加突卸負(fù)載實(shí)驗(yàn)

圖3為額定轉(zhuǎn)速，突加突卸抗額定負(fù)載實(shí)驗(yàn)。突加負(fù)載時，KF-ADRC控制策略的轉(zhuǎn)速瞬間跌落為80 r/min，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)ADRC控制策略的150 r/min和常規(guī)PI控制策略的350 r/min。突卸負(fù)載時KF-ADRC控制策略的轉(zhuǎn)速瞬間上升為80 r/min，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)ADRC控制策略的150 r/min和常規(guī)PI控制策略的400 r/min。

圖3 突加突卸負(fù)載實(shí)驗(yàn)

同時，KF-ADRC控制策略的轉(zhuǎn)速恢復(fù)時間為80 ms，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)ADRC控制策略的160 ms和常規(guī)PI控制策略的210 ms，表現(xiàn)出較強(qiáng)的抗負(fù)載擾動能力。

3.3 低速輕載實(shí)驗(yàn)

圖4給出轉(zhuǎn)速為300 r/min，突加突卸1 N·m負(fù)載轉(zhuǎn)矩實(shí)驗(yàn)。低速下，KF-ADRC控制策略和傳統(tǒng)ADRC控制策略的轉(zhuǎn)速波動為10 r/min，遠(yuǎn)小于常規(guī)PI控制策略的90 r/min的轉(zhuǎn)速波動。三種控制策略中，KF-ADRC控制策略的恢復(fù)時間最短，為8 ms，其次為傳統(tǒng)ADRC控制策略，常規(guī)PI控制策略則為240 ms。

圖4 低速輕載實(shí)驗(yàn)

從上述實(shí)驗(yàn)可以得出，常規(guī)PI控制策略難以兼顧跟蹤性和抗干擾性，只能在二者之間取平衡。傳統(tǒng)ADRC和KF-ADRC控制策略可以二者兼顧，且KF-ADRC的性能要更為優(yōu)越。

4 結(jié) 語

針對PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的高動態(tài)性能要求，本文在分析傳統(tǒng)ADRC控制策略的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，將卡爾曼濾波器與ADRC相結(jié)合，提出一種基于卡爾曼濾波器自抗擾控制策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本控制策略比常規(guī)PI控制策略和傳統(tǒng)ADRC控制策略擁有更高效的跟蹤性能和更強(qiáng)的抗干擾能力。