統(tǒng)計容積卡爾曼濾波器的混合試驗?zāi)Ｐ透路椒?/h1>
2022-06-17 03:14:02孟麗巖許國山
振動與沖擊 2022年11期 關(guān)鍵詞：模型
王 濤， 李 勐， 孟麗巖， 許國山， 王 貞
(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090；3.武漢理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，武漢 430070)
混合試驗方法是一種結(jié)合試驗子結(jié)構(gòu)試驗加載及數(shù)值模擬的技術(shù)，是檢驗大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力災(zāi)變性能的有效試驗手段。為提高混合試驗數(shù)值模型精度，模型更新混合試驗方法應(yīng)運而生[1]，該方法將模型更新技術(shù)與混合試驗方法相結(jié)合，利用試驗子結(jié)構(gòu)觀測數(shù)據(jù)在線識別試驗子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，實時更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，以提高數(shù)值模型精度。
迄今為止，模型更新混合試驗的研究已獲得較大進展[2-3]。Zhang等[4]采用最小二乘法識別了雙折線模型及Bouc-Wen模型參數(shù)，并將其應(yīng)用于混合試驗中。Hashemi等[5]以O(shè)penFresco為基礎(chǔ)，完成了單層單跨框架結(jié)構(gòu)的模型更新混合試驗，采用無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)識別Bouc-Wen模型參數(shù)，并在線更新了數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)。王濤等[6]提出UKF模型更新混合試驗方法，在線識別單自由度Bouc-Wen模型的參數(shù)，并通過對彈簧試件的單自由度體系的實際試驗驗證了此試驗方法的有效性。梅竹等[7-8]使用UKF算法對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)材料本構(gòu)模型參數(shù)進行了在線參數(shù)識別。陳再現(xiàn)等[9]提出基于均勻設(shè)計的模型更新混合仿真方法，在試驗子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過均勻設(shè)計的手段構(gòu)造驗算子結(jié)構(gòu)樣本空間，得到與試驗子結(jié)構(gòu)最為吻合的數(shù)值模型進行模型參數(shù)更新，有效提高了識別效率。Atasaratnam等[10]提出容積卡爾曼濾波器(cubature Kalman filter，CKF)算法，CKF基于數(shù)值積分理論，其核心步驟是根據(jù)三階球面徑向容積規(guī)則通過系統(tǒng)的初始矩陣、初始狀態(tài)和初始點集確定2n個容積點[11]，并使這些容積點接近具有高斯噪聲非線性系統(tǒng)的狀態(tài)和協(xié)方差[12]。與UKF相比，CKF避免線性化的原理不同[13]，CKF采用三階球面徑向容積準(zhǔn)則逼近高斯積分，具有較高的精度和穩(wěn)定性，其容積點和權(quán)重僅由狀態(tài)維數(shù)決定，可以提前計算和存儲[14-15]，是建立在貝葉斯估計理論框架下的次優(yōu)濾波，其結(jié)果滿足正態(tài)分布下的最小方差理論。王濤等[16]采用CKF針對Bouc-Wen模型在線參數(shù)識別并與UKF進行對比，研究表明，CKF在運行效率上，仿真耗時少，識別結(jié)果更接近真實值，并能有效降低模型參數(shù)識別過程中的波動幅度，提高強非線性模型在線參數(shù)識別精度。然而，在模型更新混合試驗中，CKF算法受制于算法初始參數(shù)的選擇，初始參數(shù)選擇不當(dāng)，往往會降低算法精度，有時導(dǎo)致混合試驗失敗，大大限制了模型更新混合試驗的工程應(yīng)用。
鑒于此，本文以CKF算法為例，提出基于統(tǒng)計CKF混合試驗?zāi)Ｐ透路椒ǎ鉀Q由模型更新算法初始參數(shù)選擇不當(dāng)對模型參數(shù)識別結(jié)果的影響。以自復(fù)位摩擦耗能支撐模型為加載對象，應(yīng)用該方法對模型進行參數(shù)識別，分析在不同參數(shù)條件下統(tǒng)計CKF算法的識別精度；以兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐框架結(jié)構(gòu)進行模型更新混合試驗數(shù)值仿真，檢驗該方法的魯棒性。
1 統(tǒng)計CKF模型更新算法
應(yīng)用CKF進行參數(shù)識別時，需人為假定算法初始參數(shù)，初始參數(shù)的選擇對參數(shù)識別結(jié)果有很大影響。目前，沒有方法確定合理初始參數(shù)值，為此，筆者提出統(tǒng)計CKF模型更新算法，以弱化模型初始參數(shù)選擇不當(dāng)對識別結(jié)果的影響，提高算法對初始參數(shù)的魯棒性。
1.1 統(tǒng)計CKF模型更新算法步驟
首先，建立如下系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程
Xk=f(Xk-1,uk-1)+Vk-1
(1)
Yk=h(Xk,uk)+Wk
(2)
式中：u為輸入向量；V為過程噪聲向量，假定過程噪聲向量是均值為0的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為R；W為觀測噪聲向量，假定觀測噪聲向量是均值為0的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Q；X為系統(tǒng)狀態(tài)向量；Y為系統(tǒng)觀測向量；k為算法運行步數(shù)，k=1,2,…N。
(3)
(4)
ζ為容積點集，其表達式為
(5)
[e]i=
(6)
式中，[e]i為第i個容積點。
(7)
(8)
(9)
(10)
重采樣
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
校正狀態(tài)量
(17)
式中,yk為第k步的試驗觀測值。
校正協(xié)方差陣
(18)
對算法運行M次的狀態(tài)量識別值進行統(tǒng)計，將統(tǒng)計后的狀態(tài)量識別值均值作為最終識別結(jié)果
(19)
圖1 統(tǒng)計CKF模型更新算法流程圖
Fig.1 Statistical CKF model update algorithm flow chart
2 自復(fù)位摩擦耗能支撐模型參數(shù)識別
2.1 經(jīng)改進旗形模型表達式
為驗證基于統(tǒng)計CKF算法的有效性，以自復(fù)位摩擦耗能支撐為研究對象，采用經(jīng)改進的旗形模型(modified flag-shaped model,MFS)[17]模擬自復(fù)位摩擦耗能支撐的滯回性能，對MFS模型進行模型參數(shù)在線識別。MFS模型由線性部分、雙線性彈性部分、具有可滑移彈塑性部分組成，自復(fù)位摩擦耗能支撐機理圖如圖2所示。初始階段剛度K為模型線性、雙線性、具有可滑移彈塑性三部分的剛度之和，即K=K1+K2+K3。當(dāng)摩擦裝置啟動后，支撐剛度減小至預(yù)應(yīng)力筋剛度K1，卸載初始階段的卸載剛度等于K1+K3，當(dāng)力到達激活點b時，剛度變成K1+K2。
(a) 線性部分
(b) 雙線性部分
(c) 具有滑移區(qū)彈塑性部分
(d) 整體圖2 自復(fù)位摩擦耗能支撐機理圖Fig.2 Self-centering energy dissipation brace mechanics diagram
MFS模型恢復(fù)力F可表達為
F=K1x+K2R(x)+K3z
(20)
式中，R(x)為由雙線性彈性模型提供的恢復(fù)力，kN。
R(x)具體表達式可由式(21)給出
R(x)=x[1-H(x-b)-H(-x-b)]+
b[H(x-b)-H(x-b)]
(21)
式中：H(x)為海維賽德階躍函數(shù)；b為激活位移，mm；z為模型滯變位移，mm。
z微分表達式由式(22)給出
(22)
K1、K2、K3由式(23)～(25)給出
K1=AK
(23)
K2=(1-A)(1-Q)K
(24)
K3=(1-A)QK
(25)
式中，A為激活剛度比，其表達式為
A=(1-Q)b
(26)
Q為耗能率，是能量耗散的重要指標(biāo)，其表達式為
Q=K3/(K2+K3)
(27)
本文設(shè)定MFS模型參數(shù)分別為：耗能率Q=0.9、激活位移b=1.4 mm、初始剛度K=300 kN/mm、激活剛度比A=0.9。
2.2 統(tǒng)計CKF算法初始參數(shù)
首先，假定狀態(tài)量為MFS模型滯變位移z、加載位移x、及模型參數(shù)b、K、Q，觀測量為MFS模型恢復(fù)力，并根據(jù)式(22)、(20)建立算法狀態(tài)方程及觀測方程，算法狀態(tài)方程和觀測方程如式(28)～(29)所示。
(28)
式中,x為加載位移。
(29)
在數(shù)值積分法得到的狀態(tài)方程的離散形式中，加入過程噪聲Vs，過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws分別為均值為零的高斯白噪聲，過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws的協(xié)方差矩陣分別為Rs、Qs，具體表達方式如式(30)～(31)所示。
Rs=10-25×I5
(30)
式中,I5為5×5的單位矩陣。
Qs=10-8×I1
(31)
(32)
式中，dt為數(shù)值積分步長。
(33)
(34)
作用于模型的加載方式選用低周期往復(fù)位移加載，加載方式如圖3所示。
圖3 加載制度Fig.3 Loading protocol
2.3 不同初始參數(shù)下統(tǒng)計CKF方法識別MFS模型參數(shù)
CKF算法識別模型參數(shù)的可靠程度往往受制于算法初始參數(shù)影響，針對這一問題，本節(jié)以MFS模型為例，研究模型使用不同初始參數(shù)條件下的模型參數(shù)識別結(jié)果，不同初始參數(shù)條件包括：不同初始協(xié)方差矩陣、初始參數(shù)預(yù)估值以及觀測噪聲，以驗證統(tǒng)計CKF模型更新算法的識別精度。
2.3.1 初始協(xié)方差矩陣
(a) 滯變位移識別值
(b) 加載位移識別值
(c) b識別值
(d)K識別值
(e) Q識別值
(f) 滯回曲線圖4 不同初始協(xié)方差矩陣的參數(shù)識別值結(jié)果Fig.4 Results of parameter identification values of different initial covariance matrices
本次識別過程中，CKF單次識別平均耗時4.01 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時119.52 s。由圖4(a)～(e)可以看出，使用不同的初始協(xié)方差矩陣導(dǎo)致每次運行CKF算法識別參數(shù)的結(jié)果并不唯一，與模型真實參數(shù)值差異較大。從圖4(f)可以看出單次使用CKF算法得到的滯回曲線不能反映模型的真實性能，甚至沒有意義。采用統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)精度接近真實值，收斂性較好，參數(shù)識別效果得到改善，恢復(fù)力預(yù)測精度明顯提高。此外，通過耗能的角度分析，單次使用CKF算法得到的模型滯回曲線最大耗能值與真實耗能值相對誤差為86.26%，統(tǒng)計CKF算法得到的滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差15.41%，耗能值相對誤差結(jié)果降低70.85%；單次使用CKF算法得到的模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值的相對誤差為10.12%，相比使用統(tǒng)計方法得到的耗能值相對誤差降低了5.29%。雖然單次使用CKF算法得到的耗能值相對誤差更低，但是考慮到CKF是一種隨機算法，每次應(yīng)用算法得到的結(jié)果均存在隨機性，相比滯回曲線最大耗能值相對誤差，統(tǒng)計得到的模型滯回曲線有明顯改善，統(tǒng)計后的結(jié)果更具有可靠性，通過統(tǒng)計生成的滯回曲線與真實值差異較小，可以證實所提出方法的有效性。為了能定量評價統(tǒng)計CKF算法識別精度，定義均方根誤差(RMSE)為
(35)
式中：xref為模型參數(shù)真實值；xsim為模型參數(shù)識別值。
使用不同初始協(xié)方差矩陣，模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖5。
圖5 參數(shù)識別值均方根誤差圖Fig.5 Root mean square error diagram of parameter identification values
通過均方根誤差分析可以看出，相比CKF算法識別模型參數(shù)值最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF算法得到的模型參數(shù)識別值均方根誤差分別降低了18.51%、73.78%、237.64%。初始誤差協(xié)方差矩陣不同，單次使用CKF算法得到的模型參數(shù)識別結(jié)果與真實值均方根誤差較高，統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)識別值結(jié)果均方根誤差更低，而且改善效果明顯，更能有效的反映結(jié)構(gòu)加載后的真實性能，具有較強的魯棒性。不同統(tǒng)計次數(shù)下，得到的模型滯回曲線結(jié)果如圖6所示。
(a) 滯回曲線
(b) 相對誤差圖6 不同統(tǒng)計次數(shù)得到的模型滯回曲線及相對誤差圖Fig.6 The hysteretic curves and relative error graphs of different statistical times
為了檢驗統(tǒng)計次數(shù)對模型更新精度影響，分別對比統(tǒng)計10～50次得到的模型滯回曲線，如圖6(a)所示。由圖6(a)可以看出，隨著統(tǒng)計次數(shù)的增加，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線較統(tǒng)計10～40次得到的模型滯回曲線更接近模型真實滯回形狀。由圖6(b)可以看出，從耗能的角度分析，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為11.56%，相比統(tǒng)計10～40次得到的滯回曲線耗能值相對誤差結(jié)果分別降低了32.67%、25.63%、3.85%、2.32%，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)統(tǒng)計次數(shù)為30次時，改善效果最明顯。充分說明統(tǒng)計方法得到的參數(shù)識別結(jié)果可以提高算法魯棒性，優(yōu)化算法隨機誤差。
2.3.2 初始參數(shù)預(yù)估值
本次識別過程中，CKF單次識別平均耗時3.95 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時118.24 s。從圖7(a)～(e)可以看出，當(dāng)初始參數(shù)預(yù)估值隨機時，每次運行CKF算法得到的參數(shù)識別結(jié)果與真實值具有很大差異，統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)結(jié)果可以較快地收斂至真實值。從耗能的角度看，圖7(f)單次使用CKF識別滯回曲線最大耗能值與真實耗能值最大相對誤差為132.37%，而統(tǒng)計過后的滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差14.76%，耗能值相對誤差結(jié)果降低117.61%。單次使用CKF算法得到得模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值相對誤差為10.45%，相比使用統(tǒng)計CKF算法降低4.31%。使用不同初始參數(shù)預(yù)估值，模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖8所示。
(a) 滯變位移識別值
(b) 加載位移識別值
(c) b識別值
(d) K識別值
(e) Q識別值
(f) 滯回曲線圖7 不同初始參數(shù)預(yù)估值的參數(shù)識別值結(jié)果Fig.7 Results of parameter identification values estimated by different initial parameters
圖8 參數(shù)識別值均方根誤差圖Fig.8 Root mean square error diagram of parameter identification values
通過誤差分析可以得出，當(dāng)使用不同初始參數(shù)預(yù)估值時，相比單次使用CKF算法識別模型參數(shù)最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)值均方根誤差分別降低了69.68%、107.09%、244.91%，有效提高了算法識別精度。不同統(tǒng)計次數(shù)下，得到的模型滯回曲線結(jié)果如圖9所示。
為了檢驗統(tǒng)計次數(shù)對模型更新精度影響，分別對比統(tǒng)計10～50次模型滯回曲線，如圖9(a)所示。由圖9(a)可以看出，隨著統(tǒng)計次數(shù)的增加，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線較統(tǒng)計10～40次得到的模型滯回曲線更接近模型真實滯回形狀。由圖9(b)可以看出，從耗能的角度分析，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為12.44%，相比統(tǒng)計10～40次得到的滯回曲線耗能值相對誤差結(jié)果分別降低了73.29%、28.55%、2.32%、1.77%。充分證明了統(tǒng)計方法得到的模型滯回曲線更接近真實值，可以更好地模擬結(jié)構(gòu)的真實反映。
(a) 滯回曲線
(b) 相對誤差圖9 不同統(tǒng)計次數(shù)得到的模型滯回曲線及相對誤差圖Fig.9 The hysteretic curves and relative error graphs of different statistical times
2.3.3 觀測噪聲
觀測噪聲對模型參數(shù)的識別結(jié)果具有很大的影響，這種影響有時會使信號變形、失真，有的嚴(yán)重導(dǎo)致數(shù)據(jù)不可用。為了研究不同觀測噪聲對CKF算法識別模型參數(shù)的影響，本次模擬選用不同觀測噪聲對MFS模型參數(shù)進行識別，觀測噪聲Ws選用仿真觀測噪聲乘隨機系數(shù)，運行算法過程中算法初始參數(shù)預(yù)估值、初始誤差協(xié)方差矩陣不變，參數(shù)識別結(jié)果如圖10所示，其中單次識別值為單次使用CKF算法識別結(jié)果，統(tǒng)計識別值為CKF算法運行30次得到的參數(shù)識別值均值。
本次識別過程中，CKF單次識別平均耗時3.87 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時120.35 s。在圖10中可以發(fā)現(xiàn)，使用不同觀測噪聲時，每次運行CKF算法識別模型參數(shù)的結(jié)果并不唯一，較模型參數(shù)真實值存在很大差異。從耗能的角度出發(fā)，單次使用CKF算法識別模
(a) 滯變位移識別值
(b) 加載位移識別值
(c) b識別值
(d) K識別值
(e) Q識別值
(f) 滯回曲線圖10 不同觀測噪聲的參數(shù)識別值結(jié)果Fig.10 Results of parameter identification values of different observation noises
型滯回曲線最大耗能與真實耗能值相對誤差為77.96%，而統(tǒng)計得到的滯回曲線耗能與真實耗能值相對誤差16.52%，耗能值相對誤差結(jié)果降低61.44%，單次使用CKF算法得到得模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值相對誤差為14.72%，相比使用統(tǒng)計CKF算法降低1.8%。經(jīng)過統(tǒng)計后的參數(shù)識別值與真實值相比明顯誤差更小，吻合程度更好，穩(wěn)定性高。使用不同觀測噪聲，模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖11所示。
圖11 參數(shù)識別值均方根誤差圖Fig.11 Root mean square error diagram of parameter identification values
通過誤差分析可以得出，相比單次使用CKF算法識別模型參數(shù)最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF算法均方根誤差分別降低了18.39%、14.03%、136.05%。充分證明了當(dāng)觀測噪聲不同時，統(tǒng)計CKF方法識別參數(shù)可以有效降低觀測噪聲對試驗的影響，從而保證了試驗的魯棒性。不同統(tǒng)計次數(shù)下，得到的模型滯回曲線如圖12所示。
為了檢驗統(tǒng)計次數(shù)對模型更新精度影響，分別對比統(tǒng)計10～50次模型滯回曲線，如圖12(a)所示。由圖12(a)可以看出，隨著統(tǒng)計次數(shù)的增加，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線比統(tǒng)計10～40次得到的模型滯回曲線更能反映模型的真實滯回現(xiàn)象。由圖12(b)可以看出，從耗能的角度分析，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為14.26%，相比統(tǒng)計10～40次得到的滯回曲線耗能值相對誤差結(jié)果分別降低了53.22%、27.54%、2.16%、1.36%。證明統(tǒng)計方法得到的模型滯回曲線與真實滯回曲線更為接近，可以更好地模擬結(jié)構(gòu)的真實反映。
(a) 滯回曲線
(b) 相對誤差圖12 不同統(tǒng)計次數(shù)得到的模型滯回曲線及相對誤差圖Fig.12 The hysteretic curves and relative error graphs of different statistical times
可以發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計30次較統(tǒng)計40次、50次相對誤差較小，可以得到相對較滿意的結(jié)果，因此后文數(shù)值模擬部分統(tǒng)計次數(shù)均采用統(tǒng)計30次的運行結(jié)果，以驗證統(tǒng)計方法的有效性。
3 基于統(tǒng)計CKF模型參數(shù)在線更新混合試驗數(shù)值模擬
3.1 數(shù)值模擬原理
為了進一步檢驗統(tǒng)計CKF方法模型更新混合試驗的精度及魯棒性，針對兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐結(jié)構(gòu)采用MATLAB2018b編程進行混合試驗數(shù)值模擬。首先，選用下層自復(fù)位摩擦耗能支撐作為試驗子結(jié)構(gòu)，上層自復(fù)位摩擦耗能支撐作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，通過數(shù)值
圖13 基于統(tǒng)計CKF模型更新混合模擬方法示意圖Fig.13 Schematic diagram of hybrid simulation method based on statistical CKF model update
3.2 參數(shù)設(shè)置
設(shè)定每層支撐恢復(fù)力模型均采用本文2.1節(jié)MFS模型。試驗過程中假定主體結(jié)構(gòu)處于線性狀態(tài)，框架結(jié)構(gòu)模型參數(shù)設(shè)置為：每層結(jié)構(gòu)質(zhì)量Mn1=Mn2=2 000 t，框架結(jié)構(gòu)的層間水平剛度剛度Kn1=Kn2=80 000 kN/m，框架結(jié)構(gòu)的層間阻尼系數(shù)Cn1=Cn2=1 550 kN/(m/s)，其中n1、n2分別代表了數(shù)值子結(jié)構(gòu)的一層和二層，支撐與樓面夾角均為28.81°。MFS真實模型參數(shù)分別為：激活位移b=0.001 4 m、初始剛度K=300 000 kN/m、耗能率Q=0.9、激活剛度比A=0.015。地震作用選取EI Centro(1940,NS)地震記錄，地震動峰值加速度為400 cm/s2，地震記錄如圖14所示。支撐滯變位移利用四階Runge-Kutta積分算法得出，積分步長為0.01 s。
圖14 EI Centro地震記錄Fig.14 EI Centro seismic record
假定狀態(tài)量為MFS模型滯變位移z、加載位移x、及模型參數(shù)b、K、Q，觀測量為MFS模型恢復(fù)力，利用識別關(guān)鍵參數(shù)值去更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)支撐部分參數(shù)。試驗子結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程和觀測方程同式(28)～(29)所示，試驗結(jié)構(gòu)加載速度采用式(32)位移差分方法確定。過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws分別為均值為零的高斯白噪聲，過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws的協(xié)方差矩陣分別為Rs、Qs，具體表達如式(36)～(37)所示。
Rs=10-26×I5
(36)
Qs=10-10×I1
(37)
(38)
(39)
3.3 自復(fù)位摩擦耗能支撐框架混合試驗數(shù)值模擬
(a) 下層支撐滯變位移識別值
(b) 下層支撐加載位移識別值
(c) b識別值
(d) K識別值
(e) Q識別值
(f) 下層支撐滯回曲線圖15 MFS模型參數(shù)識別值Fig.15 MFS model parameter identification values
上層支撐的滯回曲線數(shù)值模擬結(jié)果如圖16所示。
圖16 上層支撐滯回曲線數(shù)值模擬結(jié)果Fig.16 Numerical simulation results of upper bracing hysteretic curve
本次模擬過程中，CKF單次識別平均耗時6.71 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時180.92 s。從圖15～16可以看出，單次使用CKF方法得到的模型參數(shù)識別值、模型滯回曲線與真實值有明顯差異，基于統(tǒng)計CKF方法得到的模型參數(shù)識別值、模型滯回曲線較真實值吻合程度較高。從耗能的角度分析，單次使用CKF方法得到的下層支撐模型滯回曲線最大耗能值較真實耗能值相對誤差18.2%，統(tǒng)計CKF方法得到的下層支撐模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為1.83%，耗能值相對誤差降低16.37%。單次使用CKF方法得到的上層支撐模型滯回曲線耗能值較真實耗能值相對誤差為48.91%，統(tǒng)計CKF方法得到的上層支撐模型滯回曲線耗能值較真實耗能值相對誤差為22.26%，耗能值相對誤差降低了26.65%。單次使用CKF算法得到得模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值相對誤差為18.55%，相比使用統(tǒng)計CKF算法降低3.71%。模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖17所示。
通過均方根誤差分析，相比單次使用CKF方法識別模型參數(shù)最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF方法均方根誤差分別降低了30.84%、43.22%、25.08%，混合試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)識別精度均有很大改善。可見，統(tǒng)計CKF方法可以明顯改善參數(shù)識別結(jié)果，更具有魯棒性。
4 結(jié) 論
本文提出了一種基于統(tǒng)計CKF模型參數(shù)更新方法，通過對MFS模型進行不同初始參數(shù)條件下的參數(shù)識別，并針對兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐結(jié)構(gòu)進行混合試驗數(shù)值仿真，可以得到以下結(jié)論：
(1) 在不同初始參數(shù)情況下，采用統(tǒng)計CKF算法對MFS模型進行參數(shù)識別，參數(shù)識別結(jié)果及滯回曲線與MFS模型真實值吻合程度更高，具有較高的識別精度。
(2) 采用統(tǒng)計CKF方法對兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐結(jié)構(gòu)進行混合試驗數(shù)值仿真，可以弱化初始參數(shù)對混合試驗識別結(jié)果的影響，提高混合試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)在線識別精度及魯棒性。
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王 濤， 李 勐， 孟麗巖， 許國山， 王 貞
(1.黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090；3.武漢理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，武漢 430070)
混合試驗方法是一種結(jié)合試驗子結(jié)構(gòu)試驗加載及數(shù)值模擬的技術(shù)，是檢驗大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力災(zāi)變性能的有效試驗手段。為提高混合試驗數(shù)值模型精度，模型更新混合試驗方法應(yīng)運而生[1]，該方法將模型更新技術(shù)與混合試驗方法相結(jié)合，利用試驗子結(jié)構(gòu)觀測數(shù)據(jù)在線識別試驗子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，實時更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，以提高數(shù)值模型精度。
迄今為止，模型更新混合試驗的研究已獲得較大進展[2-3]。Zhang等[4]采用最小二乘法識別了雙折線模型及Bouc-Wen模型參數(shù)，并將其應(yīng)用于混合試驗中。Hashemi等[5]以O(shè)penFresco為基礎(chǔ)，完成了單層單跨框架結(jié)構(gòu)的模型更新混合試驗，采用無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)識別Bouc-Wen模型參數(shù)，并在線更新了數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)。王濤等[6]提出UKF模型更新混合試驗方法，在線識別單自由度Bouc-Wen模型的參數(shù)，并通過對彈簧試件的單自由度體系的實際試驗驗證了此試驗方法的有效性。梅竹等[7-8]使用UKF算法對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)材料本構(gòu)模型參數(shù)進行了在線參數(shù)識別。陳再現(xiàn)等[9]提出基于均勻設(shè)計的模型更新混合仿真方法，在試驗子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過均勻設(shè)計的手段構(gòu)造驗算子結(jié)構(gòu)樣本空間，得到與試驗子結(jié)構(gòu)最為吻合的數(shù)值模型進行模型參數(shù)更新，有效提高了識別效率。Atasaratnam等[10]提出容積卡爾曼濾波器(cubature Kalman filter，CKF)算法，CKF基于數(shù)值積分理論，其核心步驟是根據(jù)三階球面徑向容積規(guī)則通過系統(tǒng)的初始矩陣、初始狀態(tài)和初始點集確定2n個容積點[11]，并使這些容積點接近具有高斯噪聲非線性系統(tǒng)的狀態(tài)和協(xié)方差[12]。與UKF相比，CKF避免線性化的原理不同[13]，CKF采用三階球面徑向容積準(zhǔn)則逼近高斯積分，具有較高的精度和穩(wěn)定性，其容積點和權(quán)重僅由狀態(tài)維數(shù)決定，可以提前計算和存儲[14-15]，是建立在貝葉斯估計理論框架下的次優(yōu)濾波，其結(jié)果滿足正態(tài)分布下的最小方差理論。王濤等[16]采用CKF針對Bouc-Wen模型在線參數(shù)識別并與UKF進行對比，研究表明，CKF在運行效率上，仿真耗時少，識別結(jié)果更接近真實值，并能有效降低模型參數(shù)識別過程中的波動幅度，提高強非線性模型在線參數(shù)識別精度。然而，在模型更新混合試驗中，CKF算法受制于算法初始參數(shù)的選擇，初始參數(shù)選擇不當(dāng)，往往會降低算法精度，有時導(dǎo)致混合試驗失敗，大大限制了模型更新混合試驗的工程應(yīng)用。
鑒于此，本文以CKF算法為例，提出基于統(tǒng)計CKF混合試驗?zāi)Ｐ透路椒ǎ鉀Q由模型更新算法初始參數(shù)選擇不當(dāng)對模型參數(shù)識別結(jié)果的影響。以自復(fù)位摩擦耗能支撐模型為加載對象，應(yīng)用該方法對模型進行參數(shù)識別，分析在不同參數(shù)條件下統(tǒng)計CKF算法的識別精度；以兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐框架結(jié)構(gòu)進行模型更新混合試驗數(shù)值仿真，檢驗該方法的魯棒性。
1 統(tǒng)計CKF模型更新算法
應(yīng)用CKF進行參數(shù)識別時，需人為假定算法初始參數(shù)，初始參數(shù)的選擇對參數(shù)識別結(jié)果有很大影響。目前，沒有方法確定合理初始參數(shù)值，為此，筆者提出統(tǒng)計CKF模型更新算法，以弱化模型初始參數(shù)選擇不當(dāng)對識別結(jié)果的影響，提高算法對初始參數(shù)的魯棒性。
1.1 統(tǒng)計CKF模型更新算法步驟
首先，建立如下系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程
Xk=f(Xk-1,uk-1)+Vk-1
(1)
Yk=h(Xk,uk)+Wk
(2)
式中：u為輸入向量；V為過程噪聲向量，假定過程噪聲向量是均值為0的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為R；W為觀測噪聲向量，假定觀測噪聲向量是均值為0的高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為Q；X為系統(tǒng)狀態(tài)向量；Y為系統(tǒng)觀測向量；k為算法運行步數(shù)，k=1,2,…N。
(3)
(4)
ζ為容積點集，其表達式為
(5)
[e]i=
(6)
式中，[e]i為第i個容積點。
(7)
(8)
(9)
(10)
重采樣
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
校正狀態(tài)量
(17)
式中,yk為第k步的試驗觀測值。
校正協(xié)方差陣
(18)
對算法運行M次的狀態(tài)量識別值進行統(tǒng)計，將統(tǒng)計后的狀態(tài)量識別值均值作為最終識別結(jié)果
(19)
圖1 統(tǒng)計CKF模型更新算法流程圖
Fig.1 Statistical CKF model update algorithm flow chart
2 自復(fù)位摩擦耗能支撐模型參數(shù)識別
2.1 經(jīng)改進旗形模型表達式
為驗證基于統(tǒng)計CKF算法的有效性，以自復(fù)位摩擦耗能支撐為研究對象，采用經(jīng)改進的旗形模型(modified flag-shaped model,MFS)[17]模擬自復(fù)位摩擦耗能支撐的滯回性能，對MFS模型進行模型參數(shù)在線識別。MFS模型由線性部分、雙線性彈性部分、具有可滑移彈塑性部分組成，自復(fù)位摩擦耗能支撐機理圖如圖2所示。初始階段剛度K為模型線性、雙線性、具有可滑移彈塑性三部分的剛度之和，即K=K1+K2+K3。當(dāng)摩擦裝置啟動后，支撐剛度減小至預(yù)應(yīng)力筋剛度K1，卸載初始階段的卸載剛度等于K1+K3，當(dāng)力到達激活點b時，剛度變成K1+K2。
(a) 線性部分
(b) 雙線性部分
(c) 具有滑移區(qū)彈塑性部分
(d) 整體圖2 自復(fù)位摩擦耗能支撐機理圖Fig.2 Self-centering energy dissipation brace mechanics diagram
MFS模型恢復(fù)力F可表達為
F=K1x+K2R(x)+K3z
(20)
式中，R(x)為由雙線性彈性模型提供的恢復(fù)力，kN。
R(x)具體表達式可由式(21)給出
R(x)=x[1-H(x-b)-H(-x-b)]+
b[H(x-b)-H(x-b)]
(21)
式中：H(x)為海維賽德階躍函數(shù)；b為激活位移，mm；z為模型滯變位移，mm。
z微分表達式由式(22)給出
(22)
K1、K2、K3由式(23)～(25)給出
K1=AK
(23)
K2=(1-A)(1-Q)K
(24)
K3=(1-A)QK
(25)
式中，A為激活剛度比，其表達式為
A=(1-Q)b
(26)
Q為耗能率，是能量耗散的重要指標(biāo)，其表達式為
Q=K3/(K2+K3)
(27)
本文設(shè)定MFS模型參數(shù)分別為：耗能率Q=0.9、激活位移b=1.4 mm、初始剛度K=300 kN/mm、激活剛度比A=0.9。
2.2 統(tǒng)計CKF算法初始參數(shù)
首先，假定狀態(tài)量為MFS模型滯變位移z、加載位移x、及模型參數(shù)b、K、Q，觀測量為MFS模型恢復(fù)力，并根據(jù)式(22)、(20)建立算法狀態(tài)方程及觀測方程，算法狀態(tài)方程和觀測方程如式(28)～(29)所示。
(28)
式中,x為加載位移。
(29)
在數(shù)值積分法得到的狀態(tài)方程的離散形式中，加入過程噪聲Vs，過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws分別為均值為零的高斯白噪聲，過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws的協(xié)方差矩陣分別為Rs、Qs，具體表達方式如式(30)～(31)所示。
Rs=10-25×I5
(30)
式中,I5為5×5的單位矩陣。
Qs=10-8×I1
(31)
(32)
式中，dt為數(shù)值積分步長。
(33)
(34)
作用于模型的加載方式選用低周期往復(fù)位移加載，加載方式如圖3所示。
圖3 加載制度Fig.3 Loading protocol
2.3 不同初始參數(shù)下統(tǒng)計CKF方法識別MFS模型參數(shù)
CKF算法識別模型參數(shù)的可靠程度往往受制于算法初始參數(shù)影響，針對這一問題，本節(jié)以MFS模型為例，研究模型使用不同初始參數(shù)條件下的模型參數(shù)識別結(jié)果，不同初始參數(shù)條件包括：不同初始協(xié)方差矩陣、初始參數(shù)預(yù)估值以及觀測噪聲，以驗證統(tǒng)計CKF模型更新算法的識別精度。
2.3.1 初始協(xié)方差矩陣
(a) 滯變位移識別值
(b) 加載位移識別值
(c) b識別值
(d)K識別值
(e) Q識別值
(f) 滯回曲線圖4 不同初始協(xié)方差矩陣的參數(shù)識別值結(jié)果Fig.4 Results of parameter identification values of different initial covariance matrices
本次識別過程中，CKF單次識別平均耗時4.01 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時119.52 s。由圖4(a)～(e)可以看出，使用不同的初始協(xié)方差矩陣導(dǎo)致每次運行CKF算法識別參數(shù)的結(jié)果并不唯一，與模型真實參數(shù)值差異較大。從圖4(f)可以看出單次使用CKF算法得到的滯回曲線不能反映模型的真實性能，甚至沒有意義。采用統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)精度接近真實值，收斂性較好，參數(shù)識別效果得到改善，恢復(fù)力預(yù)測精度明顯提高。此外，通過耗能的角度分析，單次使用CKF算法得到的模型滯回曲線最大耗能值與真實耗能值相對誤差為86.26%，統(tǒng)計CKF算法得到的滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差15.41%，耗能值相對誤差結(jié)果降低70.85%；單次使用CKF算法得到的模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值的相對誤差為10.12%，相比使用統(tǒng)計方法得到的耗能值相對誤差降低了5.29%。雖然單次使用CKF算法得到的耗能值相對誤差更低，但是考慮到CKF是一種隨機算法，每次應(yīng)用算法得到的結(jié)果均存在隨機性，相比滯回曲線最大耗能值相對誤差，統(tǒng)計得到的模型滯回曲線有明顯改善，統(tǒng)計后的結(jié)果更具有可靠性，通過統(tǒng)計生成的滯回曲線與真實值差異較小，可以證實所提出方法的有效性。為了能定量評價統(tǒng)計CKF算法識別精度，定義均方根誤差(RMSE)為
(35)
式中：xref為模型參數(shù)真實值；xsim為模型參數(shù)識別值。
使用不同初始協(xié)方差矩陣，模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖5。
圖5 參數(shù)識別值均方根誤差圖Fig.5 Root mean square error diagram of parameter identification values
通過均方根誤差分析可以看出，相比CKF算法識別模型參數(shù)值最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF算法得到的模型參數(shù)識別值均方根誤差分別降低了18.51%、73.78%、237.64%。初始誤差協(xié)方差矩陣不同，單次使用CKF算法得到的模型參數(shù)識別結(jié)果與真實值均方根誤差較高，統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)識別值結(jié)果均方根誤差更低，而且改善效果明顯，更能有效的反映結(jié)構(gòu)加載后的真實性能，具有較強的魯棒性。不同統(tǒng)計次數(shù)下，得到的模型滯回曲線結(jié)果如圖6所示。
(a) 滯回曲線
(b) 相對誤差圖6 不同統(tǒng)計次數(shù)得到的模型滯回曲線及相對誤差圖Fig.6 The hysteretic curves and relative error graphs of different statistical times
為了檢驗統(tǒng)計次數(shù)對模型更新精度影響，分別對比統(tǒng)計10～50次得到的模型滯回曲線，如圖6(a)所示。由圖6(a)可以看出，隨著統(tǒng)計次數(shù)的增加，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線較統(tǒng)計10～40次得到的模型滯回曲線更接近模型真實滯回形狀。由圖6(b)可以看出，從耗能的角度分析，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為11.56%，相比統(tǒng)計10～40次得到的滯回曲線耗能值相對誤差結(jié)果分別降低了32.67%、25.63%、3.85%、2.32%，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)統(tǒng)計次數(shù)為30次時，改善效果最明顯。充分說明統(tǒng)計方法得到的參數(shù)識別結(jié)果可以提高算法魯棒性，優(yōu)化算法隨機誤差。
2.3.2 初始參數(shù)預(yù)估值
本次識別過程中，CKF單次識別平均耗時3.95 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時118.24 s。從圖7(a)～(e)可以看出，當(dāng)初始參數(shù)預(yù)估值隨機時，每次運行CKF算法得到的參數(shù)識別結(jié)果與真實值具有很大差異，統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)結(jié)果可以較快地收斂至真實值。從耗能的角度看，圖7(f)單次使用CKF識別滯回曲線最大耗能值與真實耗能值最大相對誤差為132.37%，而統(tǒng)計過后的滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差14.76%，耗能值相對誤差結(jié)果降低117.61%。單次使用CKF算法得到得模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值相對誤差為10.45%，相比使用統(tǒng)計CKF算法降低4.31%。使用不同初始參數(shù)預(yù)估值，模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖8所示。
(a) 滯變位移識別值
(b) 加載位移識別值
(c) b識別值
(d) K識別值
(e) Q識別值
(f) 滯回曲線圖7 不同初始參數(shù)預(yù)估值的參數(shù)識別值結(jié)果Fig.7 Results of parameter identification values estimated by different initial parameters
圖8 參數(shù)識別值均方根誤差圖Fig.8 Root mean square error diagram of parameter identification values
通過誤差分析可以得出，當(dāng)使用不同初始參數(shù)預(yù)估值時，相比單次使用CKF算法識別模型參數(shù)最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF算法識別模型參數(shù)值均方根誤差分別降低了69.68%、107.09%、244.91%，有效提高了算法識別精度。不同統(tǒng)計次數(shù)下，得到的模型滯回曲線結(jié)果如圖9所示。
為了檢驗統(tǒng)計次數(shù)對模型更新精度影響，分別對比統(tǒng)計10～50次模型滯回曲線，如圖9(a)所示。由圖9(a)可以看出，隨著統(tǒng)計次數(shù)的增加，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線較統(tǒng)計10～40次得到的模型滯回曲線更接近模型真實滯回形狀。由圖9(b)可以看出，從耗能的角度分析，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為12.44%，相比統(tǒng)計10～40次得到的滯回曲線耗能值相對誤差結(jié)果分別降低了73.29%、28.55%、2.32%、1.77%。充分證明了統(tǒng)計方法得到的模型滯回曲線更接近真實值，可以更好地模擬結(jié)構(gòu)的真實反映。
(a) 滯回曲線
(b) 相對誤差圖9 不同統(tǒng)計次數(shù)得到的模型滯回曲線及相對誤差圖Fig.9 The hysteretic curves and relative error graphs of different statistical times
2.3.3 觀測噪聲
觀測噪聲對模型參數(shù)的識別結(jié)果具有很大的影響，這種影響有時會使信號變形、失真，有的嚴(yán)重導(dǎo)致數(shù)據(jù)不可用。為了研究不同觀測噪聲對CKF算法識別模型參數(shù)的影響，本次模擬選用不同觀測噪聲對MFS模型參數(shù)進行識別，觀測噪聲Ws選用仿真觀測噪聲乘隨機系數(shù)，運行算法過程中算法初始參數(shù)預(yù)估值、初始誤差協(xié)方差矩陣不變，參數(shù)識別結(jié)果如圖10所示，其中單次識別值為單次使用CKF算法識別結(jié)果，統(tǒng)計識別值為CKF算法運行30次得到的參數(shù)識別值均值。
本次識別過程中，CKF單次識別平均耗時3.87 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時120.35 s。在圖10中可以發(fā)現(xiàn)，使用不同觀測噪聲時，每次運行CKF算法識別模型參數(shù)的結(jié)果并不唯一，較模型參數(shù)真實值存在很大差異。從耗能的角度出發(fā)，單次使用CKF算法識別模
(a) 滯變位移識別值
(b) 加載位移識別值
(c) b識別值
(d) K識別值
(e) Q識別值
(f) 滯回曲線圖10 不同觀測噪聲的參數(shù)識別值結(jié)果Fig.10 Results of parameter identification values of different observation noises
型滯回曲線最大耗能與真實耗能值相對誤差為77.96%，而統(tǒng)計得到的滯回曲線耗能與真實耗能值相對誤差16.52%，耗能值相對誤差結(jié)果降低61.44%，單次使用CKF算法得到得模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值相對誤差為14.72%，相比使用統(tǒng)計CKF算法降低1.8%。經(jīng)過統(tǒng)計后的參數(shù)識別值與真實值相比明顯誤差更小，吻合程度更好，穩(wěn)定性高。使用不同觀測噪聲，模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖11所示。
圖11 參數(shù)識別值均方根誤差圖Fig.11 Root mean square error diagram of parameter identification values
通過誤差分析可以得出，相比單次使用CKF算法識別模型參數(shù)最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF算法均方根誤差分別降低了18.39%、14.03%、136.05%。充分證明了當(dāng)觀測噪聲不同時，統(tǒng)計CKF方法識別參數(shù)可以有效降低觀測噪聲對試驗的影響，從而保證了試驗的魯棒性。不同統(tǒng)計次數(shù)下，得到的模型滯回曲線如圖12所示。
為了檢驗統(tǒng)計次數(shù)對模型更新精度影響，分別對比統(tǒng)計10～50次模型滯回曲線，如圖12(a)所示。由圖12(a)可以看出，隨著統(tǒng)計次數(shù)的增加，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線比統(tǒng)計10～40次得到的模型滯回曲線更能反映模型的真實滯回現(xiàn)象。由圖12(b)可以看出，從耗能的角度分析，統(tǒng)計50次得到的模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為14.26%，相比統(tǒng)計10～40次得到的滯回曲線耗能值相對誤差結(jié)果分別降低了53.22%、27.54%、2.16%、1.36%。證明統(tǒng)計方法得到的模型滯回曲線與真實滯回曲線更為接近，可以更好地模擬結(jié)構(gòu)的真實反映。
(a) 滯回曲線
(b) 相對誤差圖12 不同統(tǒng)計次數(shù)得到的模型滯回曲線及相對誤差圖Fig.12 The hysteretic curves and relative error graphs of different statistical times
可以發(fā)現(xiàn)，統(tǒng)計30次較統(tǒng)計40次、50次相對誤差較小，可以得到相對較滿意的結(jié)果，因此后文數(shù)值模擬部分統(tǒng)計次數(shù)均采用統(tǒng)計30次的運行結(jié)果，以驗證統(tǒng)計方法的有效性。
3 基于統(tǒng)計CKF模型參數(shù)在線更新混合試驗數(shù)值模擬
3.1 數(shù)值模擬原理
為了進一步檢驗統(tǒng)計CKF方法模型更新混合試驗的精度及魯棒性，針對兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐結(jié)構(gòu)采用MATLAB2018b編程進行混合試驗數(shù)值模擬。首先，選用下層自復(fù)位摩擦耗能支撐作為試驗子結(jié)構(gòu)，上層自復(fù)位摩擦耗能支撐作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，通過數(shù)值
圖13 基于統(tǒng)計CKF模型更新混合模擬方法示意圖Fig.13 Schematic diagram of hybrid simulation method based on statistical CKF model update
3.2 參數(shù)設(shè)置
設(shè)定每層支撐恢復(fù)力模型均采用本文2.1節(jié)MFS模型。試驗過程中假定主體結(jié)構(gòu)處于線性狀態(tài)，框架結(jié)構(gòu)模型參數(shù)設(shè)置為：每層結(jié)構(gòu)質(zhì)量Mn1=Mn2=2 000 t，框架結(jié)構(gòu)的層間水平剛度剛度Kn1=Kn2=80 000 kN/m，框架結(jié)構(gòu)的層間阻尼系數(shù)Cn1=Cn2=1 550 kN/(m/s)，其中n1、n2分別代表了數(shù)值子結(jié)構(gòu)的一層和二層，支撐與樓面夾角均為28.81°。MFS真實模型參數(shù)分別為：激活位移b=0.001 4 m、初始剛度K=300 000 kN/m、耗能率Q=0.9、激活剛度比A=0.015。地震作用選取EI Centro(1940,NS)地震記錄，地震動峰值加速度為400 cm/s2，地震記錄如圖14所示。支撐滯變位移利用四階Runge-Kutta積分算法得出，積分步長為0.01 s。
圖14 EI Centro地震記錄Fig.14 EI Centro seismic record
假定狀態(tài)量為MFS模型滯變位移z、加載位移x、及模型參數(shù)b、K、Q，觀測量為MFS模型恢復(fù)力，利用識別關(guān)鍵參數(shù)值去更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)支撐部分參數(shù)。試驗子結(jié)構(gòu)的狀態(tài)方程和觀測方程同式(28)～(29)所示，試驗結(jié)構(gòu)加載速度采用式(32)位移差分方法確定。過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws分別為均值為零的高斯白噪聲，過程噪聲Vs和觀測噪聲Ws的協(xié)方差矩陣分別為Rs、Qs，具體表達如式(36)～(37)所示。
Rs=10-26×I5
(36)
Qs=10-10×I1
(37)
(38)
(39)
3.3 自復(fù)位摩擦耗能支撐框架混合試驗數(shù)值模擬
(a) 下層支撐滯變位移識別值
(b) 下層支撐加載位移識別值
(c) b識別值
(d) K識別值
(e) Q識別值
(f) 下層支撐滯回曲線圖15 MFS模型參數(shù)識別值Fig.15 MFS model parameter identification values
上層支撐的滯回曲線數(shù)值模擬結(jié)果如圖16所示。
圖16 上層支撐滯回曲線數(shù)值模擬結(jié)果Fig.16 Numerical simulation results of upper bracing hysteretic curve
本次模擬過程中，CKF單次識別平均耗時6.71 s，使用統(tǒng)計CKF算法總耗時180.92 s。從圖15～16可以看出，單次使用CKF方法得到的模型參數(shù)識別值、模型滯回曲線與真實值有明顯差異，基于統(tǒng)計CKF方法得到的模型參數(shù)識別值、模型滯回曲線較真實值吻合程度較高。從耗能的角度分析，單次使用CKF方法得到的下層支撐模型滯回曲線最大耗能值較真實耗能值相對誤差18.2%，統(tǒng)計CKF方法得到的下層支撐模型滯回曲線耗能值與真實耗能值相對誤差為1.83%，耗能值相對誤差降低16.37%。單次使用CKF方法得到的上層支撐模型滯回曲線耗能值較真實耗能值相對誤差為48.91%，統(tǒng)計CKF方法得到的上層支撐模型滯回曲線耗能值較真實耗能值相對誤差為22.26%，耗能值相對誤差降低了26.65%。單次使用CKF算法得到得模型滯回曲線最小耗能值與真實耗能值相對誤差為18.55%，相比使用統(tǒng)計CKF算法降低3.71%。模型參數(shù)識別值的均方根誤差如圖17所示。
通過均方根誤差分析，相比單次使用CKF方法識別模型參數(shù)最大均方根誤差，統(tǒng)計CKF方法均方根誤差分別降低了30.84%、43.22%、25.08%，混合試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)識別精度均有很大改善。可見，統(tǒng)計CKF方法可以明顯改善參數(shù)識別結(jié)果，更具有魯棒性。
4 結(jié) 論
本文提出了一種基于統(tǒng)計CKF模型參數(shù)更新方法，通過對MFS模型進行不同初始參數(shù)條件下的參數(shù)識別，并針對兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐結(jié)構(gòu)進行混合試驗數(shù)值仿真，可以得到以下結(jié)論：
(1) 在不同初始參數(shù)情況下，采用統(tǒng)計CKF算法對MFS模型進行參數(shù)識別，參數(shù)識別結(jié)果及滯回曲線與MFS模型真實值吻合程度更高，具有較高的識別精度。
(2) 采用統(tǒng)計CKF方法對兩層帶有自復(fù)位摩擦耗能支撐結(jié)構(gòu)進行混合試驗數(shù)值仿真，可以弱化初始參數(shù)對混合試驗識別結(jié)果的影響，提高混合試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)在線識別精度及魯棒性。
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