螺栓法蘭結構雙連接面耦合振動分析

孫偉程， 關振群， 潘嘉誠， 曾 巖

(大連理工大學 工程力學系/工業裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024)

廣泛應用于機械、航空航天等領域的螺栓法蘭連接結構，是航空航天箭體結構艙段間的主要連接形式。由于螺栓法蘭對接面的存在令艙段結構間喪失了連續性，導致整體結構動力學特性復雜[1-2]，因此需要開展不同動力學載荷工況下螺栓法蘭連接結構的非線性振動分析，以便獲得更精確的整體結構動力學特征。

當前，對螺栓法蘭連接結構的動力學研究多集中在建模方面，以數值仿真分析其非線性響應特性。Luan等[3]將拉壓雙線性剛度彈簧引入到螺栓法蘭連接結構模型中，將復雜的模型簡化為兩自由度彈簧-質量系統，發現螺栓法蘭連接結構橫縱耦合振動關系，并由此闡釋縱向和橫向運動耦合的機理。在此基礎上，Lu等[4-5]引入橫向自由度研究彎扭剪耦合作用下含剪力銷的螺栓法蘭連接結構振動特性，研究不同錐角和裝配間隙對螺栓最大拉力的影響，指出剪力銷的最佳角度設計區間及裝配間隙。蔣國慶等[6-7]分析了不同幾何參數、模型網格及接觸參數對螺栓法蘭整體連接結構仿真精度及計算效率的影響，采用力狀態映射法對簡化動力學模型進行參數辨識，獲取較高的模擬精度。Tian等[8-11]對沖擊載荷下螺栓法蘭連接結構失效過程進行研究，分析螺栓法蘭連接結構失效形式，發現螺栓組呈現序列失效模式，而單個螺栓呈“拉彎耦合”的失效形式。Li等[12]建立薄壁圓柱殼連接結構的半解析模型，考慮螺栓法蘭連接摩擦特性及界面狀態，分析結構頻率特性。潘嘉誠等[13]建立考慮局部接觸分離的螺栓法蘭連接結構模型，研究螺栓法蘭連接結構分離階段的剛度非線性特征。聶肇坤等[14-15]提出可表征箭體艙段連接結構非線性特征的模型，由此基于靜力分析或靜載試驗識別參數，建立火箭結構總體的橫縱耦合動力學分析模型。上述研究主要針對單一連接面非線性特征對動力學響應的影響進行分析，而實際結構如三級運載火箭等常采用至少兩個連接面的螺栓法蘭結構構成整體結構動力學分析模型，因此，有必要開展多連接面非線性的螺栓法蘭連接結構非線性動力學研究。

本文基于螺栓法蘭連接結構的拉壓雙線性彈簧模型，建立雙連接面結構的四自由度彈簧—質量系統等效模型，研究雙連接面非線性特征對結構橫縱耦合振動的影響。在忽略接觸面相對滑動且假設剛性接觸的條件下，分析系統非線性動力學特性，研究兩個連接面具有不同非線性參數時，不同載荷下系統各位移響應之間的相互影響，并討論兩連接面之間不同剛度比、質量比等參數條件對位移響應幅值的影響。

1 螺栓法蘭連接結構模型

為研究如圖1所示典型雙連接面的螺栓法蘭連接結構在一端固支時的非線性動力學響應特性，假設彈性小變形階段的螺栓法蘭連接結構剛度具有拉壓不同的雙線性特征(如圖2)，相對于連接結構部分，被連接柱殼剛度足夠大而可以近似為剛體。因此，兩個連接面上都采用拉壓雙線性剛度的彈簧單元表征連接剛度，并忽略接觸面相對滑動。設連接面處于縱向拉伸狀態時，此彈簧形變δ大于0、剛度為kt；而連接面處于壓縮狀態時，此彈簧形變δ小于0、剛度為kc，可見第i個連接面處的第j個彈簧剛度kij可表示為

(1)

圖1 典型螺栓法蘭結構及其建模Fig.1 Typical bolted flange structure and the model

圖2 非線性剛度Fig.2 Bi-linear stiffness

由此，得到雙連接面的螺栓法蘭連接結構四自由度簡化動力學模型(如圖3)。其中，下層彈簧下端為固支邊界條件，下層彈簧另一端與部段相連，上層彈簧兩端均與部段相連，并引用如下假設：彈簧變形始終為彈性小變形；部段近似為剛體，連接面為剛性面；部段形心與質心重合于圖3所示連接面中心點，且連接面中心僅有縱向位移。各部段剛體質量為M1、M2，轉動慣量為J1、J2；第1個連接面為下連接面，兩個彈簧剛度為k11、k12；第2個連接面為上連接面，兩個彈簧剛度為k21、k22；各連接面上彈簧間距為b；下連接面中心點O1縱向位移為u1、相對中心點O1的下連接面轉角為θ1，上連接面中心點O2縱向位移為u2、相對中心點O2的上連接面轉角為θ2。因彈簧剛度非線性，結構在橫向沖擊下，兩側彈簧形變不同會引起剛體轉動。

圖3 四自由度質量-彈簧系統Fig.3 4-DOF mass-spring system

已知系統動能和勢能可表示為

(2)

(3)

(4)

基于拉格朗日方程，根據動能公式(2)與勢能公式(3)可推導出如下的四自由度動力學控制方程：

(5)

式中：y=[u1,u2,θ1,θ2]T，F=[F1,F2,F3,F4]T；假設系統阻尼項為阻尼系數ζ的線性模態阻尼，且第i階自由度主頻為ωi，則有

(6)

(7)

(8)

(9)

由上述公式可知，質量陣(6)有多個質量耦合項，且剛度陣(8)各元素需要通過式(1)、(4)和(9)計算，其非線性特征源于式(1)的彈簧剛度，且與多個位移響應耦合(如式(4)所示)。

2 動力學響應分析

本節以龍格-庫塔法研究式(5)系統在沖擊或諧波載荷下的非線性響應(沖擊載荷通過指定初速度施加)，時間步長為0.000 1 s；為開展定性研究，模型參數和加載工況參數如表1所示。

表1 模型參數Tab.1 Model parameters

2.1 給定初始角速度的無阻尼自由振動響應

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖4 無阻尼自由振動位移響應Fig.4 Displacement responses of free vibration without

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖5 無阻尼自由振動頻率響應Fig.5 Frequency responses of free vibration without

2.2 給定初始縱向速度的無阻尼自由振動響應

(a) 位移響應

(b) 頻率響應圖6 系統縱向響應(u1, 實線; u2, 虛線;Fig.6 Vertical response of the system (u1, solid line; u2,

可見，系統對橫向載荷或轉角激勵更敏感，考慮到彎剪破壞是更常見的螺栓法蘭連接柱殼結構失效形式，后文只討論施于系統角位移上的諧波激勵問題。

2.3 諧波激勵下的阻尼系統響應

基于工程經驗及振動能量耗散效率的綜合考慮，取初始阻尼系數ζ=0.25，設F=[0, 0,F3, 0]T，系統方程(5)施加定頻諧波激勵：

F3=sin(2πft)kN·m

(10)

設式(10)中的頻率f=8 Hz且初位移及初速度皆為0時，由圖7可知計算到5 s后，自由振動衰減完畢，系統進入穩定的強迫振動狀態。將穩態響應進行傅里葉變換得到圖8的頻響曲線，由此發現在8 Hz諧波激勵下，系統縱向運動產生16 Hz和32 Hz的頻響峰值，且16 Hz頻率上幅值最大，倍頻的產生顯示系統發生超諧波共振。上下兩部段的響應頻率在當前激勵下幾乎一致，均發生超諧波共振；而上層縱向響應幅值被一定程度放大，這與無阻尼自由振動結果類似。由圖9相圖可知，位移響應均為準周期運動，與圖8頻響結果一致，響應中含多個頻率成分。

圖7 位移u1時程響應Fig.7 Time history response of displacement u1

(a) 位移響應(u1)

(b) 轉角響應(θ1)

(c) 位移響應(u2)

(d) 轉角響應(θ2)圖8 諧波激勵下的系統頻率響應(f=8 Hz，ζ=0.25)Fig.8 Frequency response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.25)

圖9 系統響應相圖(f=8 Hz，ζ=0.25)Fig.9 Phase diagram of system response(f=8 Hz，ζ=0.25)

若式(9)中的頻率f=16 Hz，所得頻率響應結果見圖10所示：下層部段縱向位移響應能量集中在主頻10.658 Hz上，轉角位移響應能量則集中在主頻5.329 Hz上，產生亞諧波共振；上層部段轉角響應幅頻特性與下層部段類似，但是縱向位移響應的幅頻特征較復雜，呈多峰值形態，多頻疊加現象明顯。在圖11給出的相圖中，能發現各自由度響應仍為準周期振動，但在不同周期間切換，呈現出混沌吸引子形態。

(a) 位移響應(u1)

(b) 轉角響應(θ1)

(c) 位移響應(u2)

(d) 轉角響應(θ2)圖10 諧波激勵下的系統頻率響應(f=16 Hz，ζ=0.25)Fig.10 Frequency response of system under harmonic excitation (f=16 Hz，ζ=0.25)

圖11 系統響應相圖(f=16 Hz，ζ=0.25)Fig.11 Phase diagram of system response(f=16 Hz，ζ=0.25)

將阻尼系數ζ增大到0.8，并令諧波激勵頻率f=8 Hz且初始位移及初速度皆為0。可以看出系統快速進入強迫振動階段，上下兩個部段的縱向位移響應之間及二者轉角位移響應之間都存在π/2的相位差(如圖12所示)，下部段的能量傳至上層，交替產生峰值。由圖13的頻響結果中，在8 Hz的諧波激勵下，產生轉角響應8 Hz、縱向位移響應16 Hz和32 Hz的超諧波共振。在圖14的相圖中也能發現穩態響應有一定的周期性。

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖12 諧波激勵下的系統位移響應(f=8 Hz, ζ=0.8)Fig.12 Displacement response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.8)

(a) 位移響應(u1)

(b) 轉角響應(θ1)

(c) 位移響應(u2)

(d) 轉角響應(θ2)圖13 諧波激勵下的系統頻率響應(f=8 Hz，ζ=0.8)Fig.13 Frequency response of system under harmonic excitation (f=8 Hz，ζ=0.8)

圖14 系統響應相圖(f=8 Hz，ζ=0.8)Fig.14 Phase diagram of system response(f=8 Hz, ζ=0.8)

其他初始條件不變，在阻尼系數ζ=0.8且諧波激勵頻率f=16 Hz時，由圖15和圖16可知，系統縱向位移響應同時存在10.658 Hz和21.317 Hz的亞諧波和超諧波共振，而轉角位移響應則出現5.329 Hz的亞諧波共振。由圖17可知，上下兩部段的轉角位移響應相圖均為雙吸引子的倍周期運動，且為對稱結構。

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖15 諧波激勵下的系統位移響應(f=16Hz, ζ=0.8)Fig.15 Displacement response of system under harmonic excitation(f=16Hz，ζ=0.8)

(a) 位移響應(u1)

(b) 轉角響應(θ1)

(c) 位移響應(u2)

(d) 轉角響應(θ2)圖16 諧波激勵下的系統頻率響應(f=16 Hz，ζ=0.8)Fig.16 Frequency response of system under harmonic excitation(f=16 Hz，ζ=0.8)

由此可知，諧波激勵下的雙連接面非線性系統響應對于載荷頻率和阻尼大小十分敏感，在特定載荷條件下存在變周期的現象，因此在多連接面的螺栓法蘭連接結構建模分析中，除了要考慮載荷頻率特性之外，還需要額外關注實際工況下結構阻尼的影響。

3 各部段參數對系統的影響

3.1 剛度比對系統響應的影響

設上下兩個連接面上彈簧壓縮模量kc1和kc2相同，改變二者拉伸模量的比值kt2/kt1的大小可得到如圖18所示的系統響應幅值變化圖，而改變二者拉伸模量的比值kt1/kt2的大小則得到如圖19所示的系統響應幅值變化圖。圖18中，當剛度kt2/kt1減小時，上層的縱向和轉角位移幅值總體呈增大的趨勢，但在特定比例區間會明顯減小，比如在剛度比kt2/kt1=1/2時，系統縱向位移幅值最大，在剛度比kt2/kt1=1/5時，系統轉角位移幅值最大，而剛度比kt2/kt1的變化對下層縱向和轉角位移幅值影響不大。圖19中，當剛度比kt1/kt2減小時，下部段縱向和轉角位移幅值逐漸升高，而上部段縱向位移幅值逐漸降低，上部段轉角位移幅值總體逐漸降低，但在剛度比kt1/kt2介于1/5至2/5之間時，上部段的轉角位移幅值會放大；剛度比kt1/kt2=7/10時，上下部段的縱向位移幅值和轉角位移幅值均相等。

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖18 不同剛度比kt2/kt1下的系統最大位移及轉角Fig.18 Displacement amplitude of the system with different stiffness ratio kt2/kt1

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖19 不同剛度比kt1/kt2下的系統位移幅值Fig.19 Displacement amplitude of the system with different stiffness ratio kt1/kt2

因此，系統上下部段的剛度比會顯著影響系統位移幅值，進而影響等效彈簧最大拉力值。整體上彈簧拉力與剛度比并非嚴格單調關系，而是特定比例會增大拉力值，這在整體連接結構設計中不應忽視，這一點亦可成為減振和提高安全裕度的新手段。

3.2 質量比對系統響應的影響

如圖20所示，當上部端質量增大而下部段質量不變時，令部段質量比m2/m1增加時，兩部段縱向位移幅值都逐漸增大，而轉角位移幅值傾向于減小；在m2/m1=1/2時，上部段轉角位移幅值最小，而質量比m2/m1=7/20時，上部段轉角位移幅值最大。在圖21中，當下部端質量增大而上部段質量不變時，令部段質量比m1/m2增加，發現下部段縱向和轉角位移幅值變化較小，而上部段縱向位移幅值隨之減小；上部段轉角位移幅值先增后減，且在質量比m1/m2=9/20時達到最高。

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖20 不同質量比m2/m1下的系統位移幅值Fig.20 Displacement amplitude of the system with different mass ratio m2/m1

(a) u1(實線)和u2(虛線)

(b) θ1(實線)和θ2(虛線)圖21 不同質量比m1/m2下的系統位移幅值Fig.21 Displacement amplitude of the system with different mass ratio m1/m2

由此可見，多連接面的螺栓法蘭連接結構中，不同位置的剛度特性與質量特性共同影響了響應幅值的變化趨勢，在此類結構設計及動力學分析校核工作中，不能僅考慮某一方面的參數影響，而需充分討論所有因素可能引發的響應放大現象。

4 結 論

本文基于雙線性彈簧模型和四自由度簡化動力學模型，對雙連接面的螺栓法蘭連接結構進行了動力學響應分析，研究不同載荷作用下的非線性動力學響應特征，可以為后續試驗設計提供了設計基礎和理論支持。本文研究的主要結論如下：

(1) 在各連接面非線性剛度的影響下，不但連接面自身的縱向位移與轉角位移相互影響，而且兩個連接面之間的位移響應也相互耦合。下部結構受橫向激勵時，上部結構出現與下部結構相比更大的縱向位移響應。可見，多連接面非線性的螺栓法蘭結構設計時不能僅考慮載荷作用處的響應，其遠端結構的響應放大效應也必須考慮。

(2) 雙連接面的螺栓法蘭連接結構的諧波激勵位移響應受激勵頻率的影響，特定諧波激勵頻率下結構響應會產生超諧波及亞諧波共振，發生變周期現象。

(3) 兩個連接面間的剛度比及兩部段之間的質量比都會顯著影響系統位移響應幅值，雖然對于不同類型位移響應的影響較為復雜，但在多連接面的螺栓法蘭結構設計中加以考慮時，仍可通過調整剛度比和質量比來降低位移響應幅值。