炭黑填充橡膠復合材料定子襯套力學特性分析

史金旺，葉俊杰，徐永和，王 濤

(1.西安電子科技大學 機電工程學院，西安 710071;2.鹽城市新永佳石油機械制造有限公司，江蘇 鹽城 224043)

螺桿馬達是一種容積式馬達，也被稱為定排量馬達(PositiveDisplacement Motor，PDM)，由于其工作平穩、轉矩大，被廣泛應用于石油鉆井作業[1]。其工作原理是，動力液進入轉子和定子相互嚙合形成的空腔中，利用壓力差驅動轉子繞定子做行星運動，再通過與轉子相連的萬向聯軸節將動力傳給鉆頭，從而實現壓力能向機械能的轉化[2]。

螺桿馬達在工作過程中，橡膠襯套與轉子不斷嚙合，襯套容易失效[3]。為了提高螺桿馬達的使用壽命和工作穩定性，定子的橡膠襯套的設計和選材一直是螺桿馬達優化和改進的重點。劉立江[4]分析了等壁厚螺桿馬達定子橡膠的受力特點，并對其厚度進行優化，提出了等應力的定子橡膠襯套，使工作應力降低，提高了螺桿馬達定子橡膠的使用壽命。黃曉霞[1]建立了三頭螺桿馬達的分析模型，并進行了流-固耦合的仿真分析，實現了流體密封腔的動態形成與釋放。柳歡歡[3]建立了五頭螺桿馬達的分析模型，研究了在不同結構和工作條件下螺桿馬達定子的橡膠襯套的工作應力和螺桿馬達的輸出功率，分析了不同參數對螺桿馬達工作性能的影響。單永平[5]通過三維動態仿真，研究了壓力油黏度、進出口壓差、工作阻力矩對螺桿馬達輸出功率的影響。邵增元[6]針對定子的橡膠襯套在工作過程中熱聚集導致性能下降，甚至失效的問題，提出了一種等壁厚橡膠襯套，改善了受力情況，減少了工況下的發熱，提高了定子襯套的使用壽命。以上分析主要從螺桿馬達的結構和工況入手，并沒有從橡膠的材料方面進行突破。因此，提升定子橡膠襯套的材料屬性，將是一個新的改進方向。

純橡膠由于其本身的強度與耐磨性較差，通常添加填料或者助劑對其進行補強與性能優化，例如炭黑顆粒，礦物填料海泡石，納米填料碳納米管、石墨烯、蒙脫土等[7]。其中，炭黑顆粒由于其良好的補強與耐候性能，一直以來是橡膠工業中最重要、使用最廣泛的補強填料，對橡膠的力學性能有較大提升[8]。胡小玲[9]采用隨機序列吸附算法(RSA)模擬炭黑填充橡膠的力學性能，取得了較高的預測精度。安林[10]采用試驗驗證與數值分析相結合的方法，研究了炭黑填充橡膠的靜動態力學性能，對橡膠在壓縮過程中的發熱現象進行了擬合分析。彭俊彪[11]研究了炭黑質量分數對天然橡膠/順丁橡膠并用膠拉伸強度、耐磨性、壓縮生熱等性能的影響。以上研究都集中于炭黑填充橡膠的力學性能分析，沒有對炭黑填充橡膠在螺桿馬達的定子襯套上的工作性能做出探索。本文結合細觀力學和有限元分析方法，研究由炭黑顆粒增強橡膠制成的定子襯套的工作特性，為螺桿馬達產品的改進提供新的思路。

炭黑顆粒增強橡膠復合材料有效力學性能的預測是一個難題，需要從微觀角度出發。本文采用Aboudi[12]提出的細觀高精度通用單胞模型(High-Field generalized method of cells， HFGMC)，建立了炭黑顆粒填充橡膠的三維細觀RVE模型，以炭黑含量為體積分數25%的復合橡膠為研究對象，預測炭黑顆粒增強橡膠復合材料的力學性能。將該預測結果賦予螺桿馬達的定子襯套，對襯套做靜力學分析和流固耦合分析，觀察炭黑顆粒對定子的橡膠襯套的增強作用，及其工作性能。

1 HFGMC理論介紹

高精度廣義子胞法(HFGMC)是基于漸進均勻化理論分析多相復合材料的一種有效方法。該理論將多相復合材料分為基體相和增強相，增強相位于RVE單元的中心，基體相位于RVE單元的四周。為不同組分賦予不同材料屬性，對RVE單元劃分網格后，采用有限元計算的方式獲得RVE單元的整體力學性能，進而得到復合材料的力學性能[13]。具有周期性微觀結構的多相復合材料如圖1所示。HFGMC方法不關注復合材料內部各組分的具體分布，而只需要各組分的體積分數、材料屬性、相互作用關系，采用統計平均的思想得到整體的力學參數，不僅計算方便，而且具有很高的求解精度，可以滿足工程需要[14]。

對于在三維空間中周期分布的復合材料，其位移可以漸進展開為如下形式：

ui(X)=u0i(X，Y)+δu1i(X，Y)+… ,i=1,2,3

(1)

式中：X=(X1，X2，X3)，是全局坐標系；Y=(Y1，Y2，Y3)，是局部坐標系；ui是u在第i個方向的分量；δ是單胞尺寸的微觀尺度參數。

由于單胞尺寸遠小于材料尺寸，所以全局坐標和局部坐標之間的關系為：

(2)

圖1 具有周期性微觀結構的多相復合材料示意

(3)

由于復合材料微觀分布的不均勻性，其位移場寫成宏觀位移與微觀波動位移的疊加。對于第(α，β，γ)個子胞，其波動局部位移可以用局部位移的二階勒讓德展開式近似表示。因此，子胞中的位移可以寫為：

(4)

第(α，β，γ)個子胞的變形梯度張量為全局變形梯度和波動變形梯度的疊加：

(5)

由變形梯度F和有效剛度張量R可得第一Piola-Kirchhoff應力張量T：

T=R(Y)F

(6)

式中：T是第一Piola-Kirchhoff應力張量；R是有效剛度張量；F是變形梯度。

有效剛度張量R是四階瞬時力學切張量，表示為如下形式：

(7)

在無體力的情況下，重復單胞中的拉格朗日平衡方程為：

(8)

將所求得的應力張量T代入拉格朗日平衡方程中可得全局平衡方程組：

KU=f

(9)

式中：K為全局剛度矩陣；U為位移向量；f為牽引力向量。

2 炭黑顆粒增強橡膠復合材料力學性能分析

橡膠為超彈性材料，通常基于應變能函數表示其變形大小。為了簡化計算，在本研究中將其視為線彈性材料，滿足胡克定律。橡膠的體積模量遠大于其彈性模量，因此將其近似為不可壓縮材料[15]，泊松比設為μ=0.49。由于炭黑顆粒在橡膠基體中隨機分布，所以炭黑填充橡膠復合材料在宏觀上表現為各向同性，在此建立代表體積單元RVE模型為正方體，增強相炭黑為球體位于RVE單元的正中心，基體相橡膠位于RVE單元的四周，網格劃分方法如圖2所示。

圖2 HFGMC建立的RVE示意圖

通過HFGMC方法在RVE單元的X3方向施加位移邊界條件，計算不同體積分數炭黑含量下復合材料的力學性能，計算結果如表1所示。復合橡膠的材料屬性變化情況如圖3所示。

表1 不同體積分數炭黑含量的橡膠復合材料HFGMC計算結果

由HFGMC計算結果可以看出，隨著炭黑體積分數的增加，炭黑填充橡膠的彈性模量逐漸增大，泊松比逐漸減小。當炭黑體積分數為25%時，炭黑填充橡膠的彈性模量為15.62 MPa，即，比純橡膠的彈性模量增加2倍。

圖3 材料屬性隨炭黑體積含量的變化

3 螺桿馬達定子襯套仿真分析

3.1 靜力學分析

螺桿馬達是將動力流的壓力能轉化為轉子的機械能的一種機構。為簡化分析計算，將定子的橡膠襯套(以下簡稱定子襯套)與轉子在動力液作用下的相互嚙合過程等效為動力液對定子襯套內壁的恒定壓力作用過程。在Creo中建立7/8頭老式4400型螺桿馬達上定子襯套的三維等效模型，橫截面形狀如圖4所示，軸向厚度為50 mm。將該模型轉化為中間格式IGS導入有限元分析軟件Ansys中，對其做靜力學分析。將流體對壁面的壓力分別設定為0.5、1.0、2.0 MPa，計算定子內壁的應力與變形。靜力學仿真結果如圖5所示。

圖4 定子襯套等效模型

圖5 不同壓力下定子的橡膠襯套的變形與等效應力

由圖5可知，在不同工作壓力下，定子襯套的總變形隨工作壓力的增加呈線性變化，最大形變發生在轉子與定子襯套嚙合位置的兩端。最大等效應力產生在定子內齒的齒頂部分。由于材料、加工工藝等原因，實際變形和應力會大于這個值。在轉子和流體壓力的循環作用下，襯套的形狀不斷在較大范圍內變化，容易發生疲勞失效。同時，一部分變形能轉化為熱能，橡膠由于導熱性較差而在內部區域產生熱量聚集區，可能在壁厚較大處產生熱失效[6]。

將填充體積分數為25%炭黑的橡膠復合材料的等效彈性模量E和泊松比μ代入ANSYS軟件，重新設置材料屬性，分析添加增強相的橡膠在工況下的應力和變形情況，炭黑顆粒填充橡膠定子襯套在工況下的仿真結果如圖6所示。

圖6 不同壓力下炭黑顆粒增強橡膠定子襯套的變形與等效應力

由圖6可知，使用炭黑顆粒填充橡膠的定子襯套，在內壓力為1 MPa時，最大變形減小了1.80 mm，定子鋼與定子橡膠的接觸區域的最大應力減小了0.737 MPa。這是由于彈性模量提高后，復合橡膠可以在較小的形變范圍內承受更大變形能，極大改善了定子襯套的受力與變形情況。添加炭黑顆粒后，橡膠的力學性能得到很大提升，受壓后變形減小，因此定子襯套的發熱量減小，壽命將會增加；同時，添加炭黑顆粒可以增加橡膠的耐磨性，這也有利于螺桿馬達在更長時間內保持高效率輸出。

3.2 流固耦合分析

對添加炭黑顆粒增強相的橡膠定子襯套做實際工況下的流固耦合分析，研究在具體的流場作用下，定子襯套的受力、變形狀況。在進口壓力為2 MPa的情況下，螺桿馬達內部的流場壓力情況如圖7所示，可以看出，工作液壓力沿流動方向不斷減小，這符合螺桿馬達實際的工作情況，也證明了本模型的合理性。

圖7 流體的壓力云圖

流固耦合情況下，定子襯套的變形和等效應力如圖8所示。對比靜力分析和流固耦合分析發現，流固耦合情況下，定子襯套產生的最大變形比平均工作壓力下減小了0.179 8 mm，最大應力減小了0.139 MPa。這是由于動力液進入螺桿鉆具中后，定子襯套與轉子的耦合接觸會降低鉆井液的速度與壓力，壓力能轉化為馬達定子的轉矩輸出。最大變形仍然產生在定子轉子嚙合位置的四周，因此在設計制造螺桿馬達定子襯套的過程中，要重視橡膠襯套的性能及定子襯套與轉子交界面處材料的質量，從而提高螺桿馬達的工作性能與效率。

圖8 定子襯套流固耦合分析結果

4 結語

本文采用HFGMC方法，預測了炭黑顆粒填充橡膠復合材料的有效材料屬性，獲得了較高的計算精度，這為多相復合材料的性能預測提供了新的思路和方法。建立螺桿馬達定子的橡膠襯套有限元模型，并進行靜力學和流固耦合仿真分析。與傳統橡膠材料的定子襯套的仿真結果進行對比分析表明：使用添加炭黑顆粒的橡膠，定子襯套在工作壓力下的變形較之前減小，應力集中現象也有所改善，這將有效提高定子襯套的使用壽命。為定子襯套的材料選擇提供了新的思路，也對新一代螺桿馬達的產品研發有借鑒意義。