將軍飲馬模型在中學幾何中的應用

尹戀　王夢玭　丁玲芬

摘要：將軍飲馬模型是中學數學中具有代表性的幾何模型，一般用于幾何最值問題求解題型中.文章將討論兩動兩定將軍飲馬模型，并分析模型的原理和本質，即利用多次軸對稱變換，將折線轉化為直線，再結合線段的基本性質解決問題.通過對其應用的理解和掌握，進一步提升中學生的解題思維和數學核心素養.

關鍵詞：將軍飲馬;模型;幾何;應用

1前言

將軍飲馬模型實際上是基于一個古老的數學故事為背景的數學模型，唐朝詩人李頎所作的詩《古從軍行》中開頭兩句說“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河”，在該句詩中就隱含了這個有趣的數學問題，詩句中將軍在觀望烽火之后從山腳下的某點出發，走到河邊飲馬后再到另一點宿營，問怎樣才能使將軍行駛的路程最短.在教育部編版（2013年）八年級上冊中也有關于以將軍飲馬為模型的“最短路徑問題”課題的學習，讓學生在生活實際問題的情境下，利用數學知識，建立數學模型，體會數學知識的實踐性和應用性.許多學者對此進行了研究。在文中，王利運用數學課本中的軸對稱知識建立了最短路徑問題的幾個模型.在文中，張靜發現在近幾年的中考試題中，也常以此為原型，將問題背景換成角、菱形、圓等幾何圖形，求解最短路徑問題.學生在解決此類問題時，常常因不會構造軸對稱模型而無從下手，于是在一次區教改組活動中，確定了課題“線段長度之和最短”，就這個問題進行了深入研究.在文中，丁力對中學數學幾何最值問題加以探究，解讀基本模型并探究其典型問題，提出相應的學習建議.在文中，徐宏在研究這些另類幾何最值問題時發現它們其實本質是不變的，變的只是形式.在文中，李繼丹通過對將軍飲馬模型解法的探究和拓展應用，在建立模型、完善模型、打破模型和再建新模型的過程中，讓學生不僅積累基本的數學解題經驗，還可以提高學生的數學解題能力、應用能力，加強他們的創新意識和探索精神.

2.兩定兩動型將軍飲馬模型

2.1創設情境

問題一將軍家和訓練營地皆在一條筆直的河流和一塊矩形的草地之間，將軍家有一匹馬，現在將軍每天早上牽馬從家里出發，先到草地牧馬再到河邊飲馬，最后將馬牽到訓練營地訓練，其中河流和草地相連，請問怎樣走才能使將軍行駛的路徑最短.（河的寬度和草地寬度忽略不計）

問題二將軍家在一條筆直的河流和一塊矩形的草地之間，訓練營地在該河流的另一側，現在將軍每天早上牽馬從家里出發，先到草地牧馬再到河邊飲馬，最后將馬牽到訓練營地訓練，其中河流和草地相連，請問怎樣走才能使將軍行駛的路徑最短.（河的寬度和草地寬度忽略不計）

2.2建立模型

⑴如圖2.1所示，以“角”為載體，在兩動一定型模型的基礎上“角”內再增加一定點，求三條線段和的最小值.

⑵如圖2.2所示，以“角”為載體，在兩動一定型模型的基礎上“角”外再增加一定點，求三條線段和的最小值.

4結論

本文主要介紹了兩定兩動將軍飲馬模型原理，并對該模型的應用進行舉例加以說明.要解決問題，關鍵是透徹理解模型的原理和本質，即進行多次軸對稱變換，將折線轉化為直線，再結合線段的基本性質解決問題.學習將軍飲馬模型可以為后續學習造橋選址等實際應用問題打下良好的理論基礎，提升學生的數學核心素養，幫助學生獲得解決實際問題的能力.事實上，將軍飲馬的模型和拓展還有很多，可進一步加以研究.

參考文獻：

[1]曹俊玲.中學“最短路徑問題”課題學習的教學研究[D].廣州大學，2019.

[2]王利.從將軍飲馬問題談利用軸對稱求最短距離的幾種模型[J].科教導刊（下旬刊），2020，21：154-155.

[3]張靜.利用對稱探求最值——從“將軍飲馬”談起[J].中學數學月刊，2017，09：62-63

[4]丁力.中學數學幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例[J].數學教學通訊，2020，14：79-80.

[5]徐宏.變的是形式不變的是本質——例談一類幾何最值問題[J].中學數學雜志，2017，06：53-56.

[6]李繼丹.研究解法拓展應用[J].考試周刊，2018，82：67-68.

基金項目：懷化學院2021年教學改革項目，項目名稱：《高等數學》混合式教學模式的探索與研究。項目編號2020011。

作者簡介：

尹戀（1999-）女，漢族，湖南邵陽人，懷化學院;

王夢玭*（1992-）女，漢族，河南信陽人，助教，研究方向：微分方程;

丁玲芬（1983-）女，漢族，浙江湖州人，中教一級，研究方向：微分方程。

通訊作者：王夢玭