核心素養引領數學高考測評之路
——以2020年全國理科Ⅰ卷為例

◎柯杰凱 肖加清 (黃岡師范學院 數學與統計學院，湖北 黃岡 438000)

一、數學核心素養的考查

目前，大部分有關數學核心素養方面的研究都集中在核心素養的內涵架構，教學實例、課程研究等方面，關于數學試卷核心素養測評方面的研究相對較少，本人在前人研究的基礎上，以2020年全國理科Ⅰ卷為例，對考查的核心素養進行相應的測評研究.

今年高考試題是在教育改革的背景下命制的，綜合2019年以及以前試題的特點，我們發現，其中數學文化與應用延續了近幾年高考的熱點，同時也秉承高考“一核、四層、四翼”的總體命題要求，聚焦數學學科核心素養，基本實現了知識技能導向到數學素養導向的轉變.它對新高考改革具有積極的導向作用，并且指導一線教師的教學理念和教學方式.

2020年全國理科Ⅰ卷全面涵蓋數學核心素養，并且將“四基”“四能”融合在一起對學生的綜合能力進行了考查.為了分析試卷的核心素養考查情況，研究者根據六大數學核心素養及其水平層次框架，將核心素養和相應水平層次用符號進行標記，詳見表1，例如邏輯推理水平一標記為L1、直觀想象水平二標記為I2，數學抽象水平三標記為A3，其他以此類推.其中部分試題對應的題號，以及考查的知識點、核心素養水平層次詳見表2.

表1 數學核心素養分析指標體系

表2 部分試題考點分布以及核心素養考查

根據表2所示的部分試題，試卷對核心素養的考查相當突出，每道題目都涉及了兩個或以上的核心素養，無論是在知識點的覆蓋、思想方法的滲透還是核心素養的體現上都是形式多樣的.比如第3題(下面有)以埃及胡夫金字塔為背景，考查正四棱錐的定義、三角形面積、構建圖形等基礎知識，其中涉及了多種核心素養，對學生綜合靈活運用知識解決問題提出了較高要求.

為了能夠進一步了解2020年全國理科Ⅰ卷數學核心素養考查情況，作者將全部試題素養考查次數進行整理，詳見表3.

表3 試題核心素養考查次數及對應百分比匯總表

根據表3可得，六大核心素養在試卷中都有所體現，但考查的百分比差異明顯.從核心素養分類角度來看，邏輯推理和數學運算的百分比最大，分別是31.51%和30.13%，數學抽象和直觀想象的百分比次之，分別是15.07%和16.44%，而數據分析和數學建模的占比偏低，僅為2.74%和4.11%.從水平層次分類角度看，核心素養水平一占了26.03%，水平二占了60.27%，水平三占了13.70%.根據以上數據我們能夠直觀感受到高考對學生能力提出越來越高的要求，始終堅持倡導素質教育，而不是講究題海戰術.雖然2020年全國理科Ⅰ卷相比以往在核心素養的考查分布有所改善，但數據分析和數學建模考查仍偏少，即在“全面考查各種能力”上仍然表現不足，希望未來高考命題能夠得到改善.

二、典型試題分析

本文結合部分典型試題，從核心素養的視角進行了深入分析.由于每道題都考查兩個或兩個以上的核心素養，為了便于分析，我們側重于試題中主要考查的核心素養.

1.數學抽象素養視角

選擇題第12題：若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

考查分析：本題以指、對數為基本背景，考查函數的單調性、比較大小等知識，從抽象、概括的角度觀察等式，進而建立對應的函數模型，并結合單調性和放縮法進行比較大小.本題以考查A3為主，并結合L2、M2以及C3考查.

解答情況：數學抽象素養較為薄弱的學生，難以從等式中抽象出函數表達式，也不易將等式兩邊抽象成同一個函數的不同函數值，最終無法利用單調性比較大小.無論是采用單調性法還是特殊值法，本題都需要結合單調性.將數學問題抽象為單調性問題是高中學習的重難點，也是壓軸題導數及其應用的基礎.

2.邏輯推理素養視角

解答題第21題：已知函數f(x)=ex+ax2-x.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性.

考查分析：本題主要考查導數及其應用、不等式恒成立問題等知識，并結合分類討論的數學思想方法.本題以L3考查為主，并結合A3、C3等素養.

解答情況：邏輯推理素養較為薄弱的學生，表現為對(1)中單調性無法進行合理的分類討論，誤認為(2)是一個“存在性”問題，而不是“恒成立”問題.有的學生會直接通過移項而直接求導，從而產生巨大的計算量，進而導致計算錯誤或無法解答的現象，即使通過等價變形的方式求導成功，也可能同樣因為無法進行合理的分類討論而無法繼續解答，因此學生的邏輯推理水平有待提高.導數及其應用是高考數學壓軸題的熱門考點，對學生的知識應用能力要求較高，所以教師在教學過程中，要有目的地訓練學生的邏輯推理等素養和滲透數學思想方法，并且要求學生解決生活中的實際問題.

3.數據分析素養視角

(1)求甲連勝四場的概率.

(2)求需要進行第五場比賽的概率.

(3)求丙最終獲勝的概率.

考查分析：本題以羽毛球比賽為背景，考查獨立事件、互斥事件的概率與計數原理的相關知識，解題關鍵是理解比賽規則和分析比賽次數，故對學生解讀能力提出了一定的要求.本題主要考查D2，并且同時考查L2、A2.

解答情況：數據分析素養較弱的學生表現為無法解讀比賽規則，進而得出比賽場次，從而無法計算獨立事件和互斥事件的概率，還表現為在(2)(3)分類討論的時候容易出現遺漏的情況，其中大多忽略了(2)中“丙上場后連勝三場”與(3)中“負空勝勝”的情況，從而導致計算錯誤.《統計與概率》是高中的主干內容之一，根據近幾年的變化趨勢，這部分早已從“冷門”變為“熱門”，而且實際背景種類多樣，并能夠結合各種不同的考點，綜合考驗學生解決問題的能力.

4.數學建模素養視角

選擇題第3題：埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

考查分析：本題是在埃及胡夫金字塔的文化背景下，構建空間幾何模型，考查正四棱錐的定義以及基本運算、三角形面積和邊長比值等知識，還考查數形結合的思想方法，建立數形之間的關系.本試題主要考查M2,并且結合A1、L2、I1、C1等素養.

解答情況：學生的數學建模經驗不足，不易將實際問題轉化為數學模型.以本題來說，學生無法從文字語言提煉出幾何模型，建立圖形與圖形、數量與數量、圖形與數量之間的關系，從而無法解決試題，因此學生在學習過程中，應主動積累建模經驗，逐步升華建模思想.邏輯推理素養薄弱的學生可能將“高與邊長的比值”誤認為“邊長與高的比值”或勾股定理或面積公式運用混亂，并容易出現計算或代入錯誤.

5.直觀想象素養視角

(1)求證：PA⊥平面PBC.

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考查分析：本題以圓錐為背景，考查有關直線與平面垂直的關系、二面角的余弦值等重點內容，學生需要理解題目并結合圖形進行分析，借助圖像深入理解文字語言，從圖形中捕捉關系，進而證明結論和求值.本題主要考查I2，并結合對A2、L2等素養的考查.

解答情況：直觀想象素養薄弱的學生，難以從圖形中發現關鍵條件，即在本題中無法發現兩條相交直線與PA垂直，也可能建立不恰當的直角坐標系，造成坐標標注困難.有大部分學生忽略了判斷二面角是銳角還是鈍角，認為利用兩個向量求出的余弦值就是題目所要求的余弦值.數學運算素養較差的學生可能發生公式使用錯誤，如把線面角與二面角的向量求法弄混，或者坐標點、法向量和余弦值計算錯誤.

6.數學運算素養視角

選擇題第9題：已知α∈(0,π)，且3cos 2α-8cosα=5,則sinα=( ).

考查分析：本題考查同角三角函數的基本關系、兩角和差公式等基礎知識，解題的關鍵是公式使用的準確性和計算思路的嚴謹性，同時解答過程中注意檢驗，考查了C2，并涉及L2.

解答情況：學生對二倍角公式掌握不熟練，無法進行相應的轉化.有的同學未考慮取值范圍的影響，導致產生多解的情況.這些錯誤表明學生的數學運算和邏輯推理素養的不足，教師應該及時制定教學措施，提高學生的素養水平.

三、2020年數學理科Ⅰ卷命題特點

1.關注現實問題，倡導“五育并舉”

2020年全國數學理科Ⅰ卷試題與歷史文化、社會生活、科技發展等背景密切交融，體現“在生活中教育、在教育中生活”的教學理念，指引學生在學習學科知識的同時，也要關注經濟、政治、文化、生活和科技等領域,充分發揮“立德樹人”的導向作用，培養全面發展的人才.如第3題，以古代世界奇跡建筑——埃及胡夫金字塔為背景，考查正四棱錐的概念和運算，體現將空間立體幾何與世界歷史知識相互融.學生通過本題不僅收獲學科知識，而且提升審美境界和人文精神.如第5題，以研究種子的發芽率與溫度的關系為背景，考查回歸分析應用，同時讓學生感受到科學研究與生活息息相關，并且適當培養學生的研究興趣.如第19題,以學生熟知的羽毛球比賽為背景,將體育和高考試題巧妙融合在一起，表明了國家要強智先健體，拒絕“書呆子”的教育理念.

2.聚焦關鍵能力，培育理性思維

學生在掌握學科知識的基礎上，要注重數學理性思維的培養，因為對于綜合性、創新性強的題目，數學理性思維起主導作用.如第12題，結合了指數、對數和不等式等知識.該題解法不唯一，可以采用構造函數法或特殊值法，考查學生構造函數、利用單調性比較大小和零點存在定理的基本應用，能夠充分訓練學生論證推理、思維發散的能力.再如第20題，該題是橢圓、向量、直線的綜合題，實現了平面解析幾何的微創新，將橢圓、向量等不同章節知識融合在一起，明顯地體現了試題的難度.試題難度并不是由過度復雜的計算或者超綱內容所導致的，而是在于它所體現的綜合程度，這對學生的應變能力和思維的嚴謹性提出了高要求.

3.扎根基礎知識，突出素養導向

本套試卷在2018年、2019年的基礎上推陳出新、穩中求進、明晰學科特色、明確素養導向，以學科基礎知識為載體，全面落實六大核心素養，提高試題綜合性、應用性、創新性，減少過于煩瑣的計算量和超綱試題.今年高考更加注重學生的核心素養以及能力應用，全面落實核心素養的考查.但是今年高考試題中數據分析素養、數學建模素養與其他素養的考查百分比差距仍然懸殊，這兩方面的素養需要增加考查百分比或改變考查方法.

四、總結

2020年全國數學理科Ⅰ卷與2019年相比，更加穩固了基礎知識在高考中的地位，尤其注重教材一些題源，很多試題都是在原有題源的基礎上進行的微創新，并且與實際生活緊密貼合，讓學生與社會保持密切聯系，同時對學生的核心素養與能力的考查也逐漸全面.本次高考講究以學科知識為載體的命題準則，并將科學背景、文化背景和實際背景相結合，充分體現“基于課標、尋于教材、源于生活”的命題原則，充分彰顯高考科學選拔和培育人才的積極作用.