基于核心素養的定積分單元教學設計

◎趙晨如 王淑芬 (新疆石河子大學，新疆 石河子 83000)

2016年呂世虎教授等人發表的《數學單元教學設計的內涵、特征以及基本操作步驟》一文中強調了數學單元教學設計必須站在提升學生核心素養的角度上；2016年鐘啟泉教授在《基于核心素養的課程發展：挑戰與課題》一文中指出“核心素養—課程標準—單元設計—課時計劃”是環環相扣的教師教育活動的基本環節；2017年喻平在《發展學生學科核心素養的教學目標與策略》一文中給出一系列教學策略；《普通高中數學課程標準(2017年版)》中明確提出要著力發展學生的數學核心素養.

數學單元教學設計具體來說就是以培養學生數學核心素養為目標，綜合性、深入性地研究教材內容，全面性、系統性地分析知識的關聯性，有針對性地選擇講授主線，將教學內容進行再組織、設計、優化之后，形成一個更符合學生認知規律、數學知識體系的新整體.在單元教學設計中研究主線的精確選擇是保證后續教學設計及教學效果的關鍵，本文以數學文化滲透為單元設計研究主線，從微積分的實際問題起源出發，通過定積分案例開展分析，從中體現學生的數學核心素養.

一、分析單元內容，對標核心素養

定積分這一單元是高中數學選修2-2中第一章“導數及其應用”的內容，在變化率及導數的相關知識之后進行學習，主要包含曲邊梯形面積求解、變速運動的路程求解、概念產生、公式運用等.這一部分內容既包含了問題、概念、應用，又涉及數學史、數學符號、數學美等數學文化，可以很好地落實六大核心素養.

要完成本單元的教學目標，教師要系統熟悉微積分發展史的歷程，并以此為基礎梳理知識框架，構建微積分思維導圖，使其內容按照歷史發展順序整體呈現學生眼前，這樣可達到事半功倍的效果.如表1是按照數學發展順序對知識點的分析.

表1：相關知識點分析

這一單元內容從整體把握定積分相關知識，將數學史穿成一條線，這樣有助于學生理解“微積分從哪來、怎么用、在哪里用”等問題，促進學生的數學核心素養的培養.

二、分析教學要素，研究教學策略

俗話說“磨刀不誤砍柴工”，因此，我們要做好單元教學設計，就必須對影響教學效果的各教學要素的整體性、關聯性、發展性進行詳細分析.本文整體把控了單元內容,明晰了課程標準，全方位汲取了各版本教材的優點，充分了解了學生的已有知識水平、認知規律等，精準把握了單元內容的重難點.

(一)教學要素分析

1.學科分析

微積分的創立在數學發展史上具有里程碑的意義，牛頓—萊布尼茲公式將看似無關的導數與定積分完美地聯系在一起，架起了數學與物理兩大學科間的橋梁，很好地體現了數學的應用價值.

高中階段定積分單元的內容也是后續高等數學要繼續深入學習的重要內容.該單元作為培養學生從數學“初等有限思維”到“高等無限逼近”的入門篇，在學生整個數學學習能力的螺旋上升過程中起著舉足輕重的作用，對于培養學生用動態的數學眼光“思考問題、分析問題、提出解決方案、抽象數學共性、建立數學模型”更是意義非凡.這恰好體現了課標中要求的“數學抽象、直觀想象、數學建模、數學運算、邏輯推理”等數學核心素養.

2.課標分析

2017版新課標對微積分的教學提出了更高要求.首先，微積分這一內容設置在選擇性必修模塊，以強調其重要性.其次，注重與高等數學接軌，使課程更具連貫性；對連續函數給出明確的定義，注重對數學符號語言的培養；強調借助幾何直觀和物理情境引入微積分思想，對實際應用能力提出更高的要求；此外，新課標明確要求學生要對微積分發展史有清晰的了解.

3.教材分析

不同版本的教材對“定積分”單元編寫均是按照“具體實例—抽象概念—實際應用”的模式呈現的，體現了從具體到抽象再到具體的思想方法.但是不同版本在“曲邊梯形的面積”和“汽車行駛的路程”求解過程的呈現方式不同，在應用部分的拓展也有一定區別.

(1)引入部分

人教版教材對上述兩個問題進行具體分析并提出思考，清晰地呈現“分割、近似、求和、取極限”四個步驟，更關注概念形成，突出了“以直代曲”“有限到無限”“逼近”的思想，通過歸納分析得出定積分的概念.

北師大版類似于數學解題，直接劃分區間求和，方法步驟極為簡便，沒有體現微積分思想.

(2)應用部分

人教版在“定積分的簡單應用”部分介紹了幾何和物理兩個方面；而北師大版介紹了平面圖形和幾何體體積的應用，考查了學生的直觀想象素養，雖然從二維到三維跨度較大，但是有利于提高學生思維水平，同時與高等數學銜接得更好.

4.學情分析

學生通過學習導數及其應用的相關內容，對“極限”思想有了一定了解.這一部分內容對學生的抽象思維水平要求較高，學生難以將有限延伸到無限，教學過程中教師要考慮到學生的思維水平和認知規律，不斷引導學生在類比、歸納和總結過程中掌握定積分這一單元的知識點.

5.重難點分析

本單元是一個全新的起點，運用“分割、近似、求和、取極限”思想解決曲邊梯形的面積及變速運動的路程問題,較難理解，同時定積分的概念具有抽象性，既是重點也是難點.重點是理解定積分的幾何意義，能夠運用牛頓—萊布尼茨公式進行簡單的定積分計算，其中蘊含的“極限”“以直代曲”“有限到無限”等思想是一大難點.

(二)選擇教學策略

1.工具化策略

借助多媒體輔助教學，幾何畫板演示劉徽的割圓術，有限到無限分割讓學生直觀觀察，通過已有知識并借助幾何圖形直觀想象感知事物的形態與變化.

2.問題探究策略

問題探究是通過一系列的問題思考、分析、探究等方式發現知識，通過不斷提出問題引導學生思考，發散學生的思維.

3.縱向對比策略

縱向對比是對不同歷史階段的定積分符號對比分析，通過比較各種符號的特點，體會數學美，并理解定積分的幾何意義.

4.主體啟發策略

引導啟發學生，激發學生的思維，從平面面積到立體體積的拓展，讓學生的思維從二維空間上升到三維空間，從而培養學生的直觀想象的核心素養.

三、確定教學目標，選擇教學方式

教學目標是教學的方向，教學設計的核心工作，引領著整個教學.教師通過分析課程標準并結合微積分史，以“歷史發展”的視角構建“定積分”單元，整體把握單元目標及章節目標，并通過這些目標選擇合適的教學方式.教學目標及方式如表2：

表2 教學目標及方式

四、順承知識邏輯，設計教學片段

通過上述對教材、內容、目標等分析，教師對部分教學片段進行設計，分別從數學史、數學問題、數學美、數學拓展幾個方面探究.

(一)“溯源式”案例(教師為主)：

1.教學目標：通過“割圓術”“曲邊梯形面積求解”“變速直線運動的路程求解”等例子的分析，使學生掌握定積分的思想.

2.教學策略及手段：①借助幾何畫板的直觀性演示劉徽的“割圓術”，使學生直觀感受無限逼近的過程，感受數學的魅力與數學家的智慧.②追溯微積分的發展源頭，讓學生明白抽象數學概念的來源是離不開實際應用的，不是“無源之水”.

3.教學方式：直觀演示、啟發引導、問題講解

4.教學過程

師：同學們，你們聽過“割圓術”嗎？

生回答.

師：“割之彌細，所失彌少；割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣.”這句話有誰知道是什么意思？

生5秒思考.

師：下面我們一起通過幾何畫板來直觀感受一下這句話的本質.

活動：展示幾何畫板.

n-1=5.00

n-1=11.00

師：如果邊數n不斷變大，會是什么情況呢？

生5秒思考，師提問1-2人.

師(拓展)：偉大的數學家劉徽算到圓的正3072邊形時，正多邊形的面積已經非常接近圓的面積了，當邊數繼續增大時，兩者的差距就會繼續縮小，越來越接近零.

師(凝練)：這個例子中的用已知正多邊形來逼近圓的思想非常重要.

師(總結)：“割圓術”中蘊含的用已知多邊形來逼近圓的數學思想就是我們這節課重點來探討的核心思想.

師(追溯)：17世紀偉大數學家牛頓解決物理上的運動問題及萊布尼茲在解決“微分三角形”的問題時都揭示了積分思想的萌芽.

師(回歸)：當跳出物理和幾何背景后發展成熟的定積分思想在社會發展中起著重要的作用，更是為物理和幾何的應用提供了強有力的支撐.

(二)“探究式”案例(學生為主)：定積分概念的講解

1.教學目標：引導學生探究歸納不同問題的共有屬性，深入分析后，教師給出抽象的定積分概念，另通過直觀幾何意義使學生加深對概念的理解.

2.教學策略及手段：設置一系列遞進問題，創設問題情境，用類比的方法培養學生的問題意識，激發學生的好奇心和求知欲，培養創新思維.

3.教學方式：問題探究、小組討論、啟發引導

4.教學過程

知識前提：師生已經完成曲邊梯形面積和變速直線運動路程的求解過程分析.

問題1：對比曲邊梯形面積和變速直線運動路程的求解過程你發現什么規律？

問題2：對于更一般的曲邊圖形的面積能不能用“四部曲”(如圖1所示)？

圖1 曲邊圖形

問題3：類比區間[0，1]的分割完成區間[a，b]的n個小區間分割，寫出小區間長度的表示，思考是否必須等分.

問題4：類比例題的取值完成每個小區間上的取值，思考取值中的點ξi的任意性.

問題5:小組探討f(ξi)Δxi在具體問題中的意義.

問題7：通過極限體現無限逼近的過程.

問題8：總結“分割、近似、求和、取極限”這一過程的分析.

探究總結：通過抽象概念的分步分層拆解及問題思考探究，幫助學生理解抽象的數學概念.

(三)“賞析式”案例：定積分符號的講解

1.教學目標：讓學生了解數學符號產生背后精彩的歷史，感受數學美；培養學生感受美、欣賞美、創造美的能力.

2.教學策略及手段：創設數學符號史情境，讓學生置身于此情境經歷數學符號的演變歷程；通過趣味翻譯，感受不一樣的符號美.

3.教學方式：情境教學、對比分析

4.教學過程：

師：在了解積分符號的國外演變過程后，大家一定很好奇我們國家是什么情況，數學家李善蘭在1859年翻譯了第一本微積分教科書《代微積拾級》,下表是數學符號在當時的表示形式.

xy+-∫dx天地⊥T禾ㄔ

生1：“禾二天ㄔ”.

生2：“禾天二ㄔ”.

師：同學們翻譯得很棒，這樣的表示體現了我國當時微積分的發展特色，但顯然這樣的書寫煩瑣難懂，具有一定的局限性.

(四)“拓展式”案例：(開放作業)平面圖形面積到旋轉體體積的拓展

教學目標：在已學知識的基礎上延伸新的知識，將二維拓展到三維，培養學生的直觀想象、邏輯推理的數學核心素養.

我們已經會用定積分解決面積問題，那么三維空間求體積能不能用定積分來解決？下面是一個圓錐體積的問題，課后思考探索.

題目：給定一條直角邊為1的等腰直角三角形(如圖3)，繞一條直角邊所在直線旋轉一周，得到一個圓錐體，求其體積.如何利用“分割、近似、求和、取極限”這一過程計算？

圖3 等腰直角三角形

五、結 語

定積分單元教學內容雖是高中數學的選修內容，但作為數學大廈中至關重要的部分，對于培養高中生螺旋上升的數學知識非常關鍵，可很好地滿足個人數學能力發展及社會進步.但本單元講授內容涉及面廣泛、教學課時相對偏少、與前期知識關聯度較低，因此，學生學習效果往往不盡如人意.在大力推進新課改、著力培養學生數學核心素養、聚焦學生為課堂主人的教育大背景下，教師就需要在教學過程中積極探索新模式、新策略、新技術，激發學生學習的主觀能動性，輔以自己系統性、引導性、探究性的教學設計，真正意義上實現課堂教學中師生一體化協同學習模式.單元教學設計是培養學生核心素養的一個重要途徑，新教材和課標都體現了單元教學設計.從數學史出發進行設計，可以讓學生了解微積分的來龍去脈.教師通過各類教學方式加以適當教學策略完成多元化案例設計，開展單元教學，整體把控定積分模塊教學，這樣使數學知識更具系統性、連貫性.