求函數值域的三種路徑

王仕娜

求函數的值域問題通常會要求根據已知的函數式和定義域，求函數值的取值范圍.解答此類問題的關鍵是根據函數式的結構特征，選擇合適的方法進行求解.本文主要介紹三種求函數值域的思路.

一、利用函數與反函數的關系

我們知道，函數與其反函數的圖象關于直線y=x對稱，函數的定義域即為其反函數的值域，函數的值域即為其反函數的定義域.在求函數的值域受阻時，可利用函數與其反函數的關系，通過求其反函數的定義域來求得原函數的值域.

利用函數與其反函數的關系求函數的值域，需明確函數的值域與其反函數的定義域之間的等價性.根據原函數的解析式求得其反函數的解析式，便可快速求得其定義域.

二、利用函數的單調性

函數的單調性是求最值的重要T具.一般地，若（x）在定義域[a，b]上是增函數，則f（x）的最小值為（a），最大值為f（b）;若f （x）在定義域[a，b]上是減函數，則f（x）的最大值為f（a），最小值為（b）.利用函數的單調性求函數的值域，需先根據函數單調性的定義，或導函數與函數單調性之間的關系，判斷出函數的單調性，然后根據函數的定義域求函數的最值.

利用函數的單調性求復合函數的值域時，不僅要遵循“同增異減”的法則，還要關注白變量的取值范圍，

三、根據函數的有界性

函數的有界性是確定函數值域的關鍵.若存在兩個常數m、M使得函數y=f（x），x∈D滿足m≤f（x）≤M，則稱函數y=f（x）在D上有界，其中m、M分別是它的下界和上界.根據函數的有界性求函數的值域，通常需根據函數的單調性和圖象確定函數的上界或下界，那么下屆即為函數的最小值，上界即為函數的最大值.

相比較而言，第一種思路較為簡單，但適用范圍較窄;第二、三種思路的適用范圍較廣泛，且第二種思路比較常用.在求函數的值域時，同學們要仔細研究函數式的特征，將其進行適當的變形，再充分利用函數的單調性、有界性、與其反函數的關系來解題.