常微分方程課堂教學研究與實踐

[摘 要] 常微分方程是將理論數學應用于工程實際的重要載體，也是最能體現數學與其他學科相互交叉與融合的課程。從教學內容和教學模式兩個維度探討如何提升常微分方程課堂教學的效果與魅力，從而實現該課程培養創新型人才的教學目標。教學內容和教學模式是課堂教學的兩個重要維度。教學內容是教學的出發點，整個教學環節要圍繞教學內容展開。每門課程都有標準的教學大綱，規定了對各個知識點的掌握程度。教學模式是一定教學思想指導下的課堂教學程序和教學方法與方式。通過探討如何在提升常微分方程課堂教學的效果與魅力，從而實現該課程培養創新型人才的教學目標。

[關鍵詞] 常微分方程;理論教學;教學模式

[基金項目] 2015年度廣東省教育廳“教學質量與教學改革工程”建設項目及高等教育教學改革項目廣東省高等教育教學改革項目“以案例教學提升微分課程教學的魅力與效果”（粵教高函〔2015〕173號）

[作者簡介] 趙碧蓉（1971—），女，湖南邵陽人，博士，廣州大學數學與信息科學學院副教授，主要從事微分動力系統和復雜網絡控制系統的研究。

[中圖分類號] O175.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）20-0157-04 [收稿日期] 2021-10-10

引言

常微分方程是連接理論數學與應用科學的重要載體，完美地體現了數學與其他學科如物理、金融，自動控制等的相互交叉與融合。我院所有的專業都開設了常微分方程課程，除了信息安全專業在大學二年級下學期開設外，其余專業均在的三年級的第一學期開設該課程。教學反饋顯示，學生普遍反映常微分課程理論偏強，計算量偏大，相當部分學生有畏難情緒，缺乏應有的學習興趣與原動力，考試不通過率較其他課程也偏高。究其原因主要有以下兩個方面：一是學生基礎知識較薄弱。常微分方程作為數學分析和高等代數及其解析幾何的后續課程，要求學生對大學一年級的主干課程數學分析和高等代數知識掌握較好。我校的常微分方程課程在大學三年級的第一個學期開設，相當部分學生要么本身對兩門主干課知識掌握不牢固，要么就是基礎理論知識有所遺忘，對接下來常微分方程科學的學習帶來不利;二是由常微分方程課程本身的特性所決定的。該課程基礎理論較強，比如課程的核心定理——解的存在唯一性定理，為了證明該定理，教材將其拆解為五個命題來證明。其中所涉及的無窮級數和函數列的一致收斂性問題，這本身也是數學分析課程的教學難點，足以體現常微分方程一定的理論深度和嚴謹性。教師如何將抽象的定理講解得簡潔、清晰有趣而又不失理論上的嚴謹性，這需要教師自身具有一定的科研基礎和知識儲備。此外，學生普遍存在基礎理論功底較弱、基本計算技能較低的問題。因此，常微分方程課程的教學陷入了“教師難教，學生難學”的困局。如何破解這種囧局是該課程教學改革需要認真思考和解決問題。

一、教學內容的改革和重組

廣州大學在數學、數學與應用數學及信息與計算科學專業開設常微分方程課程，均為專業核心課程;用的是王高雄等主編的經典教材，學時由2015年前的72學時壓縮至現在的64學時，教學內容依然是教材的前五章內容。在教學實踐中，我們將整個教學內容整合為三個模塊：一是理論模塊，主要是解決解的存在唯一性問題，其理論基礎是主干課程數學分析;二是解方程模塊，主要是一階的非線性方程和一階或高階的線性微分方程，其理論基礎是主干課程高等代數;三是應用模塊，主要體現了數學與其他學科如物理、金融，自動控制等的相互交叉與融合?，F有教材在內容的編排上主要體現了理論上的嚴謹性及其內在邏輯性，但對各層次的學校缺乏適應性。廣州大學作為地方性高等學校，學生普遍存在基礎理論功底較弱的問題?；谖倚W生的實際情況，我們本著“精簡，拓寬，實用”原則，對現有教材的內容做了適度調整。在教學中我們先從簡單的方程和模型出發，讓學生了解和掌握常微分方程的基本概念以及為什么要學會解方程，怎么可以確定方程是否有解的問題，在此基礎上很自然地引入解的存在唯一性等問題。對于解對初值的連續依賴性和可微性問題，只做解釋性說明，不做理論上的推證以降低教學的難度。解方程模塊是理論模塊的落腳點之一，除了在一階方程中出現了非線性方程，本科生要求求解的高階方程都是線性的。其實不管是代數方程還是微分方程，其解的結構及性質都十分類似，在教學實踐中我們將一階、高階線性微分方程和線性方程組的內容重組在一個模塊中講解，通過類比，讓學生更輕松地掌握了所學知識。應用模塊是理論模塊和解方程模塊的綜合。在應用模塊中，應引導學生建立常微分方程模型，用經典的方法或數學軟件求得方程的解析解或數值解，并能還原和解釋實際問題。

除此之外，教師要深度挖掘教材，將有內在關聯的內容進行重組。如高階線性方程可以轉化方程組，互相轉換的關系式表明它們的解之間存在著對應關系，對同一個方程，可以有不同的思路，這對培養學生的視野和創新大有裨益，教學實踐表明這種開放的教學方式學生的接受程度非常好。另外值得一提是，我們的教學大綱將Laplace變換法作為自學內容，其實，國外的大學，如加拿大、美國等國家的高等學校，都非常重視這部分內容的教學。其原因是Laplace變換能將常微分方程中常見的初等函數轉化為頻域中的特定函數進行研究，完美地將微分方程的求解轉化為乘除法的代數運算，這本身就是一種重要的數學思想和數學方法，化繁為簡，化難為易。通過教學，不但讓學生體會到了不同方法的殊途同歸，而且體現了數學對其他應用型學科的基礎性作用。

二、案例驅動的教學模式改革及其實踐

常微分方程是最能體現數學與其他學科如物理、金融，自動控制等的相互交叉與融合的課程。在教學中若能適時恰當地引入典型的模型案例，把生活中的實際案例作為教學素材，結合對案例的研究、分析、推導過程將抽象的數學理論知識巧妙引出，就會使學生在學習理論知識時不會被枯燥的概念、定理和煩瑣的計算所困擾，讓學生體驗到抽象的數學理論其實是有具體的模型案例來驅動的，這將極大地增強常微分方程理論的直觀性與實用性，以此激發學生學習的興趣。我們所做的教學調研反饋顯示，學生亦普遍希望課堂理論教學中能夠更多的嵌入工程實踐的應用背景知識。案例驅動的教學模式起源于哈佛大學開設的情景案例教學課，是指在教學中以案例或問題為中心展開分析和討論，以案例為導向和驅動力的教學方法[1-5]。在常微分方程教學中，案例的選擇一定要有針對性、典型性、生動性，是現實生活能夠接觸到的動態系統模型，這樣的模型案例才有說服力和吸引力。而且，建模是過程不能過于煩瑣，難易程度要適應學生理解知識的進度和認知的梯度，選擇和設計出大部分學生都可理解接受的常微分方程模型，利用常微分方程知識求解模型并對得到的結果對實際問題進行解釋、優化和預測等，讓學生認識到常微分方程在解決具體問題中的作用，從而增進學生學習的自主性。在線性微分方程組章節中，教學的難點是方程的維數由一維擴展到高維，給課堂教學帶來一定的壓力。因此在教學中，恰當地選擇從高維的實用性案例十分關鍵。二維空間的例子很好感知，課堂可以昆蟲的爬行為例展開教學。

案例：一只甲殼蟲在二維空間xoy內爬行，初始位置為P0（1，0）點，蟲子在點P（x，y）沿x軸正向的速率為4x-3y，環境擾動為fx（t）=sint，沿y軸正向的速率為2x-y，環境擾動fy（t）=-2costsint，試確定甲殼蟲爬行軌跡的參數方程。

這是一個非常貼近實際教學素材，由基本建模知識可以知道，假設t時刻甲殼蟲所處的位置為假設（x（t），y（t）），由已知條件和上述假設可建立如下的常微分方程組

而且（x（0），y（0））=（1，0）。這是常系數非齊次微分方程組x′（t）=Ax（t）+f（t）的特殊形式。教學可以通過這樣的具體案例展開，將抽象的數學理論知識具體化、形象化，進一步增強了數學理論知識與現實的聯系[6-8]。從方程可以看出，若x（t）和y（t）之間沒有耦合關系，我們可以通過逐個方程的求解得到蟲子運動軌跡的參數方程，顯然這里的x（t）和y（t）存在耦合關系。事實上，高等代數中有關的矩陣對角化問題本質上就是變量之間的解耦問題，因而將問題一步引出，很自然地讓學生聯想到與對角化相關的特征值特征向量，線性變換等基礎概念和基本方法從而引導學生從變換的觀點來求解方程。由高等代數知識很容易求得特征值，所對應的特征向量分別為。

令矩陣，則有記，則原來的耦合方程在線性變換下實現了解耦。即有

從而得到蟲子的運動軌跡為

此案例的分析和求解過程將代數知識和常微分方程求解完美的串聯起來，讓學生體驗到數學課程之間的交叉和融合[9，10]。

三、案例教學實施效果

在近三年的教學實踐中，基于廣州大學的具體情況，在教學實踐中，我們本著“精簡，拓寬，實用”原則，對現有教材的內容做了適度調整。由于Laplace變換本身就是一種重要的數學思想和數學方法，且該變換具有的優美性質及其對求解常系數微分方程的通用有效性以及工程實用性，我們將該方法在教學中做了推介，學生對該方法也表現出了很好的接受度和極大的興趣。除此之外，我們嘗試了案例教學法，這種教學改革大大激發了學生學習該課程興趣和積極性，學習效果明顯改善（見表1）。

從表1中可以看出，教學改革實施前和實施后的這兩年對比，各項數據都呈現逐年上升的趨勢，證明了教學改革的初步成果已經顯現，因此值得借鑒與推廣。

結語

教學內容和教學模式是課堂教學的兩個重要維度。教學內容是教學的出發點，教學模式是一定教學思想指導下的課堂教學程序和教學方法與方式。在教學實踐中，我們本著“精簡、拓寬、實用”原則，對現有教材的內容做了適度調整。在教學模式上，基于案例教學的直觀性、現實性和趣味性，我們對這種教學模式進行了嘗試，教學反饋表明，教學改革的初步成果已經顯現。

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Research and Practice of Classroom Teaching of Ordinary Differential Equations

ZHAO Bi-rong

（School of Mathematics and Information Sciences， Guangzhou University， Guangzhou， Guangdong 510006， China）

Abstract： Ordinary Differential Equation is an important carrier to apply theoretical mathematics to engineering practice. It is also a course that can best reflect the intersection and integration of mathematics and other disciplines. This paper discusses how to improve the effect and charm of Ordinary Differential Equation classroom teaching from the two dimensions of teaching content and teaching mode， so as to achieve the teaching goal of cultivating innovative talents. Teaching content and teaching mode are two important dimensions of classroom teaching. Teaching content is the starting point of teaching， and the whole teaching link should focus on the teaching content. Each course has a standard syllabus， which stipulates the degree of mastery of each knowledge point. Teaching mode is the classroom teaching procedure and teaching method under the guidance of certain teaching idea. This paper discusses how to improve the effect and charm of Ordinary Differential Equation classroom teaching， so as to achieve the teaching goal of cultivating innovative talents.

Key words： Ordinary Differential Equation; theoretical teaching; teaching mode