具有驅(qū)動容錯性的冗余并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合

單彥霞 蘇開興 高雪原 李仕華

(1.燕山大學機械工程學院， 秦皇島 066004； 2.燕山大學里仁學院， 秦皇島 066004；3.燕山大學河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室， 秦皇島 066004)

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)動平臺的運動依賴于所有分支的共同驅(qū)動，若并聯(lián)機構(gòu)某一分支的驅(qū)動出現(xiàn)故障，機構(gòu)動平臺的運動會出現(xiàn)失準、失控或失靈問題[1]。在機構(gòu)學中，驅(qū)動容錯指機構(gòu)在運行過程中驅(qū)動器發(fā)生故障，仍然能完成預定工作任務，并維持其性能不變或變化很小。因此，研究并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動容錯問題對減少驅(qū)動故障造成的工程損失具有重要意義。

20世紀80年代末，MACIEJEWSKI[2]研究了串聯(lián)機器人的可靠性與冗余容錯問題。MONTEVERDE等[3]提出了將四層次(關節(jié)、鏈路、子系統(tǒng)與系統(tǒng))容錯方法應用于串并聯(lián)機器人。李波[4]針對冗余驅(qū)動航天器執(zhí)行機構(gòu)的故障，設計了2種姿態(tài)容錯控制方案。文獻[5-6]研究串聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動故障容錯問題時，在梯度投影法中引入了加權(quán)最小范數(shù)法優(yōu)化容錯軌跡規(guī)劃算法，并針對串聯(lián)機構(gòu)提出了綜合關節(jié)可操作度的容錯能力評價指標。繆萍等[7]針對自由擺動類故障(其實質(zhì)是驅(qū)動力失效或關節(jié)約束失效)提出一種通過優(yōu)化運動軌跡規(guī)劃實現(xiàn)驅(qū)動容錯的方法，并研究了驅(qū)動容錯過程中驅(qū)動關節(jié)速度突變的影響因素。閆彩霞等[8]基于故障隔離的思想分別研究了冗余并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動器故障和非驅(qū)動關節(jié)故障對機構(gòu)動力學性能的影響，并利用結(jié)構(gòu)冗余和力矩再分配方法實現(xiàn)了冗余并聯(lián)機構(gòu)的故障容錯。潘陽[9]針對一種雙并聯(lián)結(jié)構(gòu)的6足并聯(lián)機器人，采用優(yōu)化設計的驅(qū)動控制策略，研究了在鎖死故障和不可控故障下該機器人的驅(qū)動故障容錯性能。YAO等[10]研究了一種基于冗余自由度的并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動容錯控制策略及對應的機構(gòu)工作空間邊緣識測方法，并對大重型副反射鏡調(diào)節(jié)并聯(lián)機構(gòu)進行了研究，有效提高了機構(gòu)的工作可靠性和驅(qū)動容錯性。QU等[11]研究了一種三平移4-UPU冗余并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動力失效問題，該機構(gòu)在任一分支驅(qū)動力失效時機構(gòu)移動能力不受影響，有較好驅(qū)動力失效容錯性。YI等[12]研究了3種關節(jié)失效類型對并聯(lián)機構(gòu)運動學性能的影響，提出了一種利用工作空間和運動冗余的機構(gòu)容錯方法。

綜上所述，關于并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動容錯的研究主要集中在控制策略方面，也有通過結(jié)構(gòu)冗余提高某一具體機構(gòu)的驅(qū)動容錯性。但是，只是針對具體機構(gòu)的研究，這類機構(gòu)還不夠豐富，缺少具有驅(qū)動容錯性的冗余并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法。本文提出一種針對分支驅(qū)動力失效故障的具有驅(qū)動力失效容錯性的冗余并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法，綜合出多種該類型的并聯(lián)機構(gòu)，以期為具有驅(qū)動容錯性并聯(lián)機構(gòu)的應用奠定理論基礎。

1 驅(qū)動失效度評價指標

1.1 約束空間和驅(qū)動空間

并聯(lián)機構(gòu)約束空間SCw為機構(gòu)動平臺所受到的各約束力螺旋組成的螺旋系，可求解機構(gòu)自由度空間的反螺旋得到，即

(1)

機構(gòu)驅(qū)動空間SAw指機構(gòu)的一組驅(qū)動力螺旋組成的螺旋系，用于描述機構(gòu)所受到的驅(qū)動力，即

SAw={$A1w,$A2w,…,$Anw}

(2)

一般情況下，并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動空間SAw的維數(shù)與自由度相等。若冗余并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動空間和約束空間線性無關，則機構(gòu)所選驅(qū)動空間合理，稱之為“驅(qū)動合理判據(jù)”[13-14]。冗余并聯(lián)機構(gòu)的自由度和約束度(約束空間的秩)之和仍為6。因此，當驅(qū)動力失效故障不影響機構(gòu)約束性質(zhì)時，只需維持機構(gòu)驅(qū)動空間和約束空間的秩和為6的關系不變，可有效降低驅(qū)動力失效對機構(gòu)運行的影響，即機構(gòu)具有驅(qū)動力失效容錯性。

1.2 可操作性失效度指標

雅可比矩陣由驅(qū)動空間和約束空間組成。設支鏈型冗余并聯(lián)機構(gòu)的自由度為n，分支數(shù)為q，每個分支上有且僅有1個驅(qū)動副，機構(gòu)雅可比矩陣可表示為

(3)

雅可比矩陣與其共軛轉(zhuǎn)置矩陣積行列式的平方根為可操作性指標ω，計算式為

(4)

式中λi——雅可比矩陣的正特征值

為了量化分析驅(qū)動力失效對機構(gòu)可操作性能的影響，基于雅可比矩陣，機構(gòu)的可操作性失效度指標(Operability invalidity index，OII)為機構(gòu)在相同空間位置或者姿態(tài)下，并聯(lián)機構(gòu)分支i驅(qū)動力失效后可操作性變化量與失效前的可操作性之比，其表達式為

(5)

式中ζi——機構(gòu)當前瞬時位姿下的可操作性失效度

ωJ——機構(gòu)所有分支驅(qū)動正常時的可操作性

由式(5)可知，ζ越大機構(gòu)在該位姿下的可操作性越差。

同時，為了準確評價力矩陣和力矩矩陣受驅(qū)動力失效的影響，式(5)還可以表示為

(6)

為了進一步衡量并聯(lián)機構(gòu)在整個工作空間內(nèi)的可操作性受驅(qū)動力失效的影響程度，定義全域可操作性失效度指標(Global operability invalidity index，GOII)，表達式為

(7)

2 構(gòu)型綜合方法

2.1 驅(qū)動同一性條件

從驅(qū)動力螺旋的角度分析，若并聯(lián)機構(gòu)在結(jié)構(gòu)上具有一定驅(qū)動容錯性，則當機構(gòu)中任一分支發(fā)生驅(qū)動力失效故障時，機構(gòu)仍然能完成工作任務[15-17]。為了滿足“任一分支”的條件，機構(gòu)分支的驅(qū)動力螺旋應具有“同一性”，即：冗余并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動力螺旋在固定坐標系下的表達為同一形式，且驅(qū)動空間線性無關數(shù)等于自由度，則去掉任一驅(qū)動力螺旋(驅(qū)動力失效故障)時，其驅(qū)動空間不會降秩，驅(qū)動空間具有驅(qū)動容錯性。

驅(qū)動“同一性”條件，是判斷機構(gòu)是否具有驅(qū)動容錯性的一個充分必要條件。利用驅(qū)動空間的“同一性”條件既可以判斷機構(gòu)是否具有驅(qū)動容錯性，也可以進行機構(gòu)綜合，進而得到一類具有驅(qū)動容錯性的并聯(lián)機構(gòu)。

2.2 構(gòu)型綜合方法

基于驅(qū)動“同一性”條件，以滿足驅(qū)動力螺旋可互相替補為核心，具有驅(qū)動容錯性的冗余并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合的基本流程如圖1所示，具體步驟為：

(1)確定機構(gòu)自由度F、冗余驅(qū)動分支數(shù)目m和機構(gòu)運動方式。

(2)確定機構(gòu)自由度空間，得到機構(gòu)單位自由度螺旋系St，并通過螺旋理論求得機構(gòu)單位約束空間SCw。

(3)根據(jù)驅(qū)動合理判據(jù)，求解單位約束空間正交補，得到機構(gòu)單位約束正交補空間SDw。對單位約束正交補空間進行擴展，得到能滿足驅(qū)動“同一性”條件的初始單位驅(qū)動力螺旋，并得到對應的初始驅(qū)動力螺旋組合$Aiw表達式。

(4)基于得到的初始驅(qū)動力螺旋組合，選擇對應的運動副，并從中確定驅(qū)動副。得到具體的驅(qū)動力螺旋，組成初始的驅(qū)動空間S′Aw。

(5)對初始的驅(qū)動空間進行擴展：根據(jù)冗余驅(qū)動分支數(shù)，添加滿足“同一性”條件的驅(qū)動力螺旋，得到可針對驅(qū)動力失效的具有驅(qū)動容錯性的驅(qū)動空間SARw。

(7)利用并聯(lián)機構(gòu)自由度的修正G-K公式，根據(jù)預設的自由度n、分支運動副數(shù)等，計算分支自由度ki和運動副數(shù)gi以及過約束數(shù)ν之間的關系，確定在不同分支自由度數(shù)目下，機構(gòu)的過約束數(shù)ν。

(8)根據(jù)機構(gòu)的自由度要求，以及螺旋之間的相關性，對分支的運動副進行布置得到具體的機構(gòu)，并使其滿足步驟(7)中得到的過約束數(shù)和分支自由度。

(9)應用螺旋理論綜合出的并聯(lián)機構(gòu)具有運動瞬時性，因此對機構(gòu)的過約束數(shù)和分支自由度進行全周性分析。

(10)利用提出的可操作性失效度指標對綜合得到的機構(gòu)進行分析，并優(yōu)化機構(gòu)。

圖1 構(gòu)型綜合流程圖Fig.1 Process of type synthesis

根據(jù)該類機構(gòu)的綜合方法，可對不同自由度的具有驅(qū)動力失效容錯性的冗余并聯(lián)機構(gòu)進行分析與綜合。

3 具有驅(qū)動容錯性的三轉(zhuǎn)動冗余并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合

三轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)在醫(yī)療康復和空間指向等領域應用較為廣泛，其自由度均為轉(zhuǎn)動，容易滿足驅(qū)動同一性條件[18-19]。以任意1個分支驅(qū)動力失效容錯的4分支三轉(zhuǎn)動類型并聯(lián)機構(gòu)綜合為例，根據(jù)提出的機構(gòu)綜合方法，其構(gòu)型綜合過程如下：

(1)設機構(gòu)自由度為3，取分支數(shù)目q為4，機構(gòu)進行球面轉(zhuǎn)動，并且動平臺繞定點轉(zhuǎn)動。

(2)由設定自由度得到單位自由度空間為

(8)

求反螺旋得到單位約束空間為

(9)

(3)機構(gòu)約束為3個約束力，限制機構(gòu)的3個移動自由度。根據(jù)驅(qū)動合理判據(jù)，計算單位約束空間的正交補，得到機構(gòu)約束正交補空間為

(10)

(4)確定運動副應為R副、U副或S副，并選擇其中與定平臺相連的R副為驅(qū)動副。

(5)對式(10)驅(qū)動力螺旋添加冗余驅(qū)動螺旋，得到具有驅(qū)動容錯性的驅(qū)動空間為

(11)

其中

(6)由式(11)驅(qū)動空間得到機構(gòu)約束空間為

(12)

由式(12)可知，機構(gòu)約束力螺旋為空間匯交于一點的3個約束力線矢，限制機構(gòu)的移動自由度。

機構(gòu)運動副全部為R副時，R副對動平臺的驅(qū)動力螺旋為力偶，力偶方向可根據(jù)R副軸線方向確定。為了滿足驅(qū)動同一性條件，R副的軸線應匯交于一點，保證驅(qū)動失效時的“可替性”。

(7)自由度分析。由G-K自由度公式可得

(13)

得到的分支組合存在5種情況，如表1所示。為避免累述，以第1種情況為例進行詳細描述。

表1 分支運動副布置情況Tab.1 Layout of branch joints

當分支數(shù)為4且分支結(jié)構(gòu)相同，設分支自由度為3，即分支有3個R副。根據(jù)前述分析，機構(gòu)有12個約束力，約束了3個移動自由度，存在9個過約束。由線幾何判據(jù)，空間匯交于一點的約束力，其線性無關度為3。為保證同一性，該點到各個R副的距離應相等，相應地有以下3種方案：

(1) R副軸線匯交于定、動平臺中心點連線的中點，該點到各個R副的距離一致，記為Ⅰ型，如圖2a所示。

(2) R副軸線匯交于定平臺中心，但4個分支的布置為空間分散布置，記為Ⅱ型，如圖2b所示。

(3) R副軸線匯交于動定平臺之外的某定點，記為Ⅲ型，如圖2c所示。

圖2 R副布置方案Fig.2 Arrangements of rotating pairs

當分支存在U副時，分支過約束要求為9，此時無論如何布置都不能使得機構(gòu)的過約束滿足條件，因此情況1時分支無U副。

分析可知，不能滿足自由度條件的情況為：① 分支中含有2個及以上U副。② 分支的過約束度小于0。③ 分支運動副數(shù)最多與最少的差值超過2。

對所有滿足自由度性質(zhì)的分支進行排列組合并進行全周性分析，即分支自由度性質(zhì)不會隨著機構(gòu)的運動而發(fā)生變換。可綜合得滿足布置要求(約束螺旋匯交一點)的機構(gòu)有39種，如表2所示。部分機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示。

由表2可知，綜合出的分支構(gòu)型組合只有5種完全對稱，其驅(qū)動容錯性也最理想，選擇(4-RRR)Ⅰ冗余并聯(lián)機構(gòu)作為實例進行驅(qū)動容錯性分析。

表2 具有驅(qū)動容錯性的三轉(zhuǎn)動冗余并聯(lián)機構(gòu)Tab.2 3R DOF redundant PMs with actuation fault tolerance

圖3 綜合得到的部分冗余并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.3 Synthesized partial redundant PMs

4 (4-RRR)Ⅰ機構(gòu)驅(qū)動容錯性分析

4.1 運動學分析

(4-RRR)Ⅰ冗余并聯(lián)機構(gòu)由2個大小不等的圓形平臺以及4個完全相同的RRR分支構(gòu)成。所有R副的軸線匯交于動定平臺中心點連線的中點處；以與定平臺相連的4個R副為驅(qū)動副；每個分支的3個R副的中心點依次標記為Ai、Bi、Ci(i=1,2,3)。(4-RRR)Ⅰ機構(gòu)三維模型和建立的基坐標系OXYZ、動坐標系OpXpYpZp如圖4所示。

圖4 (4-RRR)Ⅰ冗余并聯(lián)機構(gòu)Fig.4 (4-RRR)Ⅰ redundant PM

定平臺中心點為OA，設OOA和OOp長度分別為rA、rp。設與定平臺相連的R副軸線與定平臺平面夾角為φR，與動平臺相連的R副軸線與動平臺平面夾角為φr；分支各桿件半徑為RL、桿弧度為φL，動、定平臺半徑為r、R。

為防止機構(gòu)奇異位形，動定平臺形狀相同但半徑不同，設機構(gòu)參數(shù)之間的關系如表3所示。

表3 (4-RRR)Ⅰ冗余并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)關系Tab.3 Structural parameters of (4-RRR)Ⅰ redundant PM

由機構(gòu)位置可知，各分支的點Bi2與Ai1、Ci3之間存在幾何關系：lOAi1與lOBi2垂直，lOCi3與lOBi2垂直。

各分支第1個R副在基坐標系下單位運動螺旋為

(14)

各分支第2個R副在基坐標系下的單位運動螺旋為

(15)

其中

式中l(wèi)i2、mi2、ni2——各個分支中間R副軸線方向單位向量

各分支第3個R副在基坐標系下的單位運動螺旋為

(16)

其中

式中l(wèi)i3、mi3、ni3——各個分支與動平臺相連的R副軸線方向單位向量

求反螺旋易得該機構(gòu)在基坐標系下的單位約束空間為

(17)

設機構(gòu)動平臺的3個姿態(tài)角為α、β、γ，利用Z-Y-X描述，得到機構(gòu)姿態(tài)矩陣TO為

TO=rot(γ,z)rot(β,y)rot(α,x)=

(18)

式中s表示正弦函數(shù)，c表示余弦函數(shù)。

根據(jù)選定的驅(qū)動副，即與定平臺相連的R副為驅(qū)動副，求得機構(gòu)單位驅(qū)動空間為

(19)

其中

式中l(wèi)i、mi、ni——各分支驅(qū)動力單位方向向量

各分支的單位驅(qū)動力力螺旋為同時垂直于lOBi與lOCi方向的單位力偶。

設分支的輸入值為θi(i=1,2,3,4)，進而結(jié)合機構(gòu)的單位驅(qū)動螺旋系和單位約束螺旋系得到機構(gòu)的雅可比矩陣為

(20)

4.2 驅(qū)動容錯性分析

由式(20)可知，當機構(gòu)任一驅(qū)動力螺旋失效時，機構(gòu)雅可比矩陣秩恒定不變。即機構(gòu)自由度不發(fā)生變化，機構(gòu)可正常工作。

根據(jù)1.2節(jié)可操作性失效度指標的定義，利用雅可比矩陣，由式(6)計算得到機構(gòu)的可操作性失效度圖譜，即FOII圖譜和MOII圖譜，分別如圖5、6所示。

圖5 FOII圖譜Fig.5 FOII atlas

由圖5可知，(4-RRR)Ⅰ機構(gòu)的FOII在單分支驅(qū)動力失效后無變化。機構(gòu)的MOII在個別位置變化較大，這與該位置姿態(tài)角和R副軸線角度有關。該MOII圖譜表明單個分支的驅(qū)動力失效對機構(gòu)動平臺的可操作性影響較小。

圖6 MOII圖譜Fig.6 MOII atlas

(4-RRR)Ⅰ機構(gòu)的GOII為22.628 3%，以OII和GOII不高于30%為具有驅(qū)動容錯性的標準[20]，(4-RRR)Ⅰ機構(gòu)具有驅(qū)動容錯性。但是，(4-RRR)Ⅰ機構(gòu)在某些位置下的MOII起伏較大，整體性能較差，可優(yōu)化R副軸線角度、機構(gòu)轉(zhuǎn)動中心點位置，連桿弧度等結(jié)構(gòu)以進一步提高機構(gòu)性能。

5 結(jié)論

(1)針對驅(qū)動力失效故障，提出了一種具有驅(qū)動容錯性的冗余并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法。

(2)從理論上解釋了機構(gòu)如何針對驅(qū)動力失效進行容錯的條件，即驅(qū)動“同一性”條件。

(3)利用提出的構(gòu)型綜合方法綜合了一類三轉(zhuǎn)動冗余并聯(lián)機構(gòu)，得到了39種構(gòu)型。

(4)通過評價綜合出的(4-RRR)Ⅰ機構(gòu)的驅(qū)動容錯性，驗證了所綜合出的冗余并聯(lián)機構(gòu)針對驅(qū)動力失效具有驅(qū)動容錯性。