圖形變換：解決幾何問題的“殺手锏”

文／帥建卓

“圖形變換”包括平移、翻折、旋轉等，一般不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置。你嘗試過運用“圖形變換”解題嗎？告訴你，運用“圖形變換”，可以讓你在探究圖形問題的過程中收獲意外的驚喜。

一、“平移”——等量變換的捷徑

例1如圖1，在平面直角坐標系中，直線與y軸相交于點A，與反比例函數在第一象限內的圖像相交于點B（n，1）。點C為直線AB上方反比例函數圖像第一象限內一點，且△ABC的面積為9，求點C的坐標。

圖1

【思路分析】利用點B確定反比例函數表達式后需要進一步思考△ABC的面積與點C坐標之間的關系。由于△ABC沒有邊與坐標軸平行或重合，直接求三角形的面積比較困難。那么，能否考慮將其轉化為有一邊與坐標軸平行或重合的三角形呢？答案是肯定的。將直線AB向上平移且經過點C，交y軸于點D（如圖2），由平行線間距離處處相等得S△ABC=S△ABD=9，從而求得則直線CD表達式為再將直線CD與反比例函數聯立方程組即可求點C坐標為（1，4）。

圖2

【反思歸納】我們在處理坐標與圖形面積問題時，利用“平移”可達到“化斜為正”的目的，將不方便求解的三角形轉化為底和高易求的圖形。

二、“翻折”——線段重組的蹊徑

例2如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動點P滿足，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值是多少？

圖3

【思路分析】本題從哪里入手呢？研讀條件，我們可以發現：動點P相對于其他定點顯得尤為突出，不妨從點P入手。那么點P如何運動呢？由于故△PAB中AB邊上的高h=2，可見點P在距離AB上方2 個單位的直線l上運動（如圖4）。一般來說，探究兩條線段和最小的問題常常轉化為兩點之間的線段，利用兩點之間線段最短來解決。要想知道點P在何處時PA+PB最小，而PA與PB又位于直線同側，故可考慮將PA與PB兩條線轉化到直線兩側。轉化的手段是“翻折”，將PA沿直線l翻折到PE的位置，由軸對稱性質可知PA=PE，再由兩點之間線段最短可知PE+PB≥BE，根據勾股定理得，即PA+PB的 最 小值為

圖4

【反思歸納】“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”結合圖4，我們可以將《古從軍行》中的內容抽象為，將軍觀望烽火后從山腳A出發，再走到河邊點P處飲馬，最后回到B點宿營，求馬的最短行程。本例也是運用“翻折”將著名的“將軍飲馬”問題進行轉化的經典案例。

三、“旋轉”——更換位置的妙法

例3如圖5，△ABC是邊長為7 的等邊三角形，P為平面內一點，且PA=8，求PB+PC的最小值。

圖5

【思路分析】根據例2 的分析，同學們可能會由例2 的經驗考慮利用“翻折”轉化。這里，點A可看成定點，而PA=8，故點P可看成在以A為圓心、8為半徑的圓上運動，看來“翻折”方法行不通了。可不可以轉化呢？我們嘗試“旋轉”。如圖6，將△PBC繞點C順時針“旋轉”60°，使得點B與點A重合，點P落在P′處，則△PBC≌△P′AC，PB=P′A，CP=CP′。因為恰好旋轉了60°，所以此時△PP′C為等邊三角形，則PC=PP′，PB+PC=P′A+PP′。在△APP′中，P′A+PP′≥PA，當A、P′、P三點共線時，P′A+PP′最小為8，即PB+PC的最小值為8。

圖6

【反思歸納】解決線段和（差）最大（小）問題時，如果用“翻折”受阻，而有等長線段（如等腰三角形、正方形）的條件時，不妨考慮“旋轉”。

通過上面幾道例題的分析，同學們是不是發現：“圖形變換”能讓你在探究圖形問題的過程中收獲意外的驚喜。因此，大家在探究圖形問題時，要充分發揮想象力與創造力，多維度思考,多角度變換，合理構造，一定會有更大的收獲。