一棵神奇的“樹”

文／劉 蕓

計算等可能條件下的概率是概率問題中的重要內容之一，而解決此類問題的關鍵在于是否能夠不重復、不遺漏地列舉出所有可能出現的結果，這個時候我們就需要這棵神奇的“樹”——樹狀圖的幫助了。

原題呈現（蘇科版數學教材九年級上冊第136 頁例4）一只不透明的袋子中裝有1個白球和2 個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1 個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1 個球。求兩次都摸到紅球的概率。

【解析】要用這棵神奇的“樹”解決概率問題。首先，給紅球編號：紅1，紅2。然后，模擬試驗過程，共兩步：1.第一次摸球，可能出現3種結果；2.第二次摸球，可能出現3 種結果。最后，用這棵神奇的“樹”列出所有等可能的情形：

由上圖可知，共有9 種等可能的結果，“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發生有4種結果，所以

【點評】樹狀圖的優勢在于能夠清晰完整地把整個試驗的過程展示出來。借助樹狀圖列舉所有可能出現的結果時，我們只有在頭腦中模擬好試驗的步驟，以及每一個步驟可能出現的結果，然后把它們填入這棵“樹”的“枝丫”之上，才能構造出一棵完美的“樹”。有了它，一切問題都能迎刃而解。

【拓展1】（2021·江蘇常州）在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形ABCD是菱形；②四邊形ABCD有一個內角是直角；③四邊形ABCD的對角線相等。將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中。

（1）攪勻后從中任意抽出1 支簽，抽到條件①的概率是________；

（2）攪勻后先從中任意抽出1 支簽（不放回），再從余下的2支簽中任意抽出1支簽。四邊形ABCD同時滿足抽到的2 張小紙條上的條件，求四邊形ABCD一定是正方形的概率。

【解析】（1）從中任意抽出1 支簽，可能出現①、②、③，共3 種結果，“抽到條件①”記為事件A，所以

（2）抽簽試驗共分兩步：第一次抽簽時有3 支簽可抽，可能出現3 種結果；第二次抽簽時，由于第1 支簽不放回，所以只有2 支簽可抽，可能出現2 種結果。接下來，給神奇的“樹”填滿“枝丫”，所得樹狀圖如下：

由上圖可知，共有6 種等可能的結果，“同時滿足抽到的2 支簽上的條件，所得四邊形ABCD一定是正方形”記為事件B，四邊形是正方形必須同時滿足①②或①③兩個條件，它的發生有4種結果，所以

【點評】這道中考題是在教材例題的基礎上對于第一次摸球后是否放回進行的拓展。如果是放回，則第二次摸球可能出現的結果數和第一次摸球相同；如果是不放回，則第二次摸球可能出現的結果數會比第一次摸球少1種，所以需要適當修剪“枝丫”。

【拓展2】（2020·江蘇鎮江）智慧的中國古代先民發明了用抽象的符號來表達豐富的含義。例如，符號“”有剛毅的含義，符號“”有愉快的含義。符號中的“”表示“陰”，“ ”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號還有其他的含義。所有這些三行符號中，每一行只有一個陰或一個陽，且出現陰、陽的可能性相同。

（1）所有這些三行符號共有________種；

（2）若隨機畫一個這樣的三行符號，求“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率。

【解析】（1）相比于摸球和抽簽，這個試驗沒有很明顯的試驗步驟。我們在解題時可以模擬畫符號的過程，將這個試驗分為畫第一行、畫第二行和畫第三行三步，每一步都可能出現陰、陽2 種結果，然后只需要讓我們的“樹”再努力生長一次就可以了：

由上圖可知，共有8種等可能的結果。

（2）“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”記為事件A，它的發生有3種結果，所以

【拓展3】（2021·江蘇徐州）如圖1，一個豎直放置的釘板，其中，黑色圓面表示釘板上的釘子，A1、B1、B2……D3、D4分別表示相鄰兩顆釘子之間的空隙，這些空隙大小均相等。從入口A1處投放一個直徑略小于兩顆釘子之間空隙的圓球，圓球下落過程中，總是碰到空隙正下方的釘子，且沿該釘子左右兩個相鄰空隙繼續下落的機會相等，直至圓球落入下面的某個槽內。用畫樹狀圖的方法，求圓球落入③號槽內的概率。

圖1

【解析】在這個游戲中也沒有具體的試驗步驟。我們在解題時可以直接以小球落入的層數來進行步驟劃分，除了第一層，每一層都有可能出現2 種結果，據此可以得到如下一棵生長的“大樹”：

由上圖可知，共有8 種等可能的結果，“圓球落入③號槽內”記為事件A，它的發生有3種結果，所以

【點評】鎮江和徐州的這兩道中考題是將教材例題的兩步試驗增加到三步試驗，而且不像摸球和抽簽試驗那樣有較為明顯的步驟區分。我們在解題時可以根據結果的形成過程進行區分，在原有的兩層“枝丫”上進行再次分裂生長，形成更茁壯的“大樹”，讓問題和結果一目了然。