探秘坐標系中的“點”與“線”

文／黃 錦

我們知道，幾何圖形具有直觀、形象等特點。作為構成復雜圖形的元素，點與線也不例外。如果將點、線放到平面直角坐標系中研究，則會讓我們如虎添翼，在感性基礎上又增添幾分理性的色彩。那么點、線與坐標系“相遇”究竟會碰撞出怎樣的火花呢？這里結合2021 年幾道中考試題，老師帶領大家一探究竟。

一、聚焦——坐標系中的“點”

例1（2021·黑龍江綏化）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，MN垂 直 于x軸，以MN為 對 稱 軸 作△ODE的軸對稱圖形，對稱軸MN與線段DE相交于點F，與x軸交于點G，點D的對應點B恰好落在的雙曲線上。點O、E的對應點分別是點C、A。若點A為OE的中點，且△AEF的面積為1，則k的值為_____。

圖1

【思路分析】從圖形上直觀感受點的對稱性。由此可得到GE=GA、CG=OG、BC=OD、AE=AO，再根據△EGF∽△EOD，可得OD=4FG。k的值與點B的坐標相伴相生。觀察到點D關于直線MN對稱后的點B坐標是變化的，不妨設EG=m，FG=n，即D點坐標為（0，4n），B點坐標為（-6m，4n）。由△AEF的面積為1，得mn=1。又因為B點落在反比例函數圖像上，所以k=-6m·4n=-24。

【方法歸納】我們在圖形的對應關系中應多“聚焦”點的變化，借助坐標系的代數特征，通過設未知數來表示點的坐標，在變化中尋找關于點的坐標的不變規律。充分利用坐標系的定位與描述功能，可以賦予點更多的內涵。

二、聯動——坐標系中的“線”

例2（2021·北京）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，對于點A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點A旋轉可以得到⊙O的弦B'C'（B'、C'分別是B、C的對應點），則稱線段BC是⊙O的 以 點A為 中 心 的“關 聯 線段”。△ABC是邊長為1 的等邊三角形，點A（0，t），其中t≠0。若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，求t的值。

【思路分析】同學們還記得旋轉的性質嗎？旋轉前后對應點到旋轉中心連線的距離是相等的。由此可知，當BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”時，不僅△ABC是等邊三角形，△AB′C′也是等邊三角形。相同情況下，對于B′C′與BC，你更“喜歡”誰？毫無疑問是B′C′。理由是B′C′更方便利用圓的相關性質解決問題。當點A在y軸的正半軸上時，如圖2，設B'C'與y軸的交點為D，連接OB'，易得B'C'⊥y軸，所以，所以OA=；當點A在y軸的負半軸上時，如圖3，同理可得綜上所述，

圖2

圖3

【方法歸納】我們在研究動態問題時，要多關注運動過程中的變量與不變量，而圖形的旋轉要從旋轉方向、角度等要素中找到合理、方便的研究對象。此外，由于線段B′C′長度一定，故點B′與點C′的坐標間必然存在著某種關聯，因此，在坐標系中研究B′C′時要充分利用這種“關聯”。