抓住典型 尋找策略 用好方法

文／楊廣清

“統計與概率”是中考的必考知識。各地對“統計與概率”的考查，分值比較穩定，但呈現的方式多種多樣。因此，我們對“統計與概率”的復習就顯得尤為重要。下面就讓我們一起來看一下相關典型問題的解題策略。

一、相關概念的理解

這類問題主要考查同學們對身邊事物的關注，對統計與概率相關概念的理解，解題時要注意用數學思想和方法去分析問題。

例1下列說法正確的是（ ）。

A.“打開電視機，正在播放《新聞聯播》”是必然事件

B.“明天下雨的概率為0.5”，是指明天有一半的時間下雨

C.一組數據“6，6，7，7，8”的中位數是7，眾數也是7

D.甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數相同，方差分別是，則甲的成績更穩定

【解析】利用隨機事件的定義、概率的意義、中位數及眾數的定義、方差的意義分別判斷即可確定正確的選項。故選D。

二、利用概率公式直接計算

這類問題往往以實際問題為背景，貼近我們的生活，旨在考查同學們對簡單隨機事件概率問題本質的理解，此類試題的概率求法如下：如果一個事件有n種可能，而且這些事件發生的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A出現的概率

例2如圖1，有4 張形狀、大小、質地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺四種不同的圖案，背面完全相同。現將這4 張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面恰好是冰壺項目圖案的概率是（ ）。

圖1

【解析】我們先找出冰壺項目圖案的張數，再根據概率公式即可得出答案。因為有4張形狀、大小、質地均相同的卡片，印有冰壺項目圖案的有1 張，所以，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面恰好是冰壺項目圖案的概率是故選A。

三、幾何概率模型

這類問題是將幾何概率模型轉化為古典概率模型，利用圖形面積比求概率。解決這類問題的關鍵是準確地算出陰影部分的面積。

例3一個小球在如圖2 所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚上，每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在深色區域的概率是 。

圖2

【解析】若將每個方格地磚的面積記為1，則圖中地磚的總面積為9，其中深色區域的面積為2，所以該小球停留在深色區域的概率是故答案為

四、統計圖的設計

解決這類問題需要同學們具有豐富的生活經驗，對能力要求較高。我們要先理解數據收集與整理的完整過程，再分清制作步驟，最后作答。解題的關鍵是熟悉統計圖的制作步驟。

例4舒青是一名觀鳥愛好者，他想要用折線統計圖來統計中華秋沙鴨每年秋季到當地避寒越冬的數量變化情況，以下是排亂的統計步驟：①從折線統計圖中分析出中華秋沙鴨每年來當地避寒越冬的變化趨勢；②從當地自然保護區管理部門收集中華秋沙鴨每年來當地避寒越冬的數量記錄；③按統計表的數據繪制折線統計圖；④整理中華秋沙鴨每年來當地避寒越冬的數量并制作統計表。正確統計步驟的順序是（ ）。

A.②→③→①→④

B.③→④→①→②

C.①→②→④→③

D.②→④→③→①

【解析】本題是一道折線統計圖的制作步驟。正確的步驟是：收集數據，整理數據，按統計表的數據繪制折線統計圖，從折線統計圖中分析出中華秋沙鴨每年來當地避寒越冬的變化趨勢。故選D。

五、統計與概率綜合題

這類問題需要大家從統計表中獲取有效信息，關鍵要認真讀題，仔細審題，耐心譯題，精心破題。只要能夠從復雜的信息中提取有效信息，再對信息進行加工與利用，解決這類問題就可以水到渠成。

例52021 年是中國共產黨成立100 周年。為普及黨史知識，培養愛國主義精神，當年五月份，某市黨校舉行黨史知識競賽，每個班級各選派15 名學員參加了網上測試，現對甲、乙兩班學員的分數整理分析如下：

甲班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：

87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98。

乙班15名學員測試成績（滿分100分）統計如下：

77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89。

（1）按下表分數段整理兩班測試成績：

班級甲乙70.5~75.5 1 0 75.5~80.5 2 3 80.5~85.5 a 3 85.5~90.5 5 6 90.5~95.5 1 2 95.5~100.5 2 1

表中a=________；

（2）補全甲班15 名學員測試成績的頻數分布直方圖；

（3）兩班測試成績的平均數、眾數、中位數、方差如表所示：

班級甲乙平均數86 86眾數x 88中位數86 y方差44.8 36.7

表中x=________，y=________。

（4）以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是________班；

（5）本次測試兩班的最高分都是98 分，其中甲班2 人，乙班1 人。現從以上三人中隨機抽取兩人代表黨校參加全市黨史知識競賽，利用樹狀圖或表格求出恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率。

【解析】此題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率、頻數分布直方圖、統計表、眾數、中位數等知識。列表法可以不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，適合兩步完成的事件；畫樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗。

（1）由甲班15 名學員的測試成績即可求解a=4。

（2）由（1）的結果，補全甲班15 名學員測試成績的頻數分布直方圖如下：

（3）由眾數、中位數的定義求解即可。故答案為：87，88。

（4）從平均數、中位數、方差幾個方面說明即可，以上兩個班級學員掌握黨史相關知識的整體水平較好的是乙班。理由如下：

①甲、乙兩個班的平均數相等，但乙班的中位數大于甲班的中位數；

②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成績更穩定。

故答案為：乙。

（5）畫樹狀圖，共有6 種等可能的結果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結果有4 種，再由概率公式求解即可。把甲班2人記為A、B，乙班1人記為C，

畫樹狀圖如圖：

共有6 種等可能的結果，恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的結果有4 種，所以恰好抽取甲、乙兩班各一人參加全市黨史知識競賽的概率為