基于三次樣條插值的農機作業(yè)面積計算

李亞碩，賈曉峰，伏偉浩，趙 博，王瑞雪，蘇仁忠，徐名漢，龐在溪

(1.中國農業(yè)機械化科學研究院集團有限公司，北京 100083； 2.土壤植物機器系統(tǒng)技術國家重點實驗室，北京100083；3.中機建工有限公司，北京100083； 4.湖北省農業(yè)機械化技術推廣總站，湖北 武漢 430017)

0 引言

隨著國內農機化水平的提高和農機規(guī)模的擴大，田間作業(yè)全過程已基本實現(xiàn)機械化。農機作業(yè)面積是補貼發(fā)放、費用收取、效率評估、工資發(fā)放等的依據，精準有效的作業(yè)面積計算是農機管理部門和農機合作社管理人員的迫切所需。

在農機上安裝機載定位設備可以記錄作業(yè)軌跡信息，每隔幾秒向平臺發(fā)送一次數(shù)據，利用北斗定位信息提取行駛軌跡點[1-2]。如何利用這些散點還原農機真實行駛軌跡，并計算出真實作業(yè)面積，是值得關注和需要解決的問題。魯植雄等[3]利用圖像處理方法計算作業(yè)面積，同時標注重耕、漏耕區(qū)域，但該方法受軌跡點密集度和分辨率影響較大。有學者使用柵格法通過計算軌跡覆蓋區(qū)域，減去空白區(qū)域和重疊區(qū)域統(tǒng)計作業(yè)面積[4-6]。但柵格大小不好確定，占用內存空間較大，并且邊界會有毛刺。傳統(tǒng)距離測量法是簡單易行的作業(yè)面積計算方法，將軌跡點連成折線，計算折線總長度，根據農機作業(yè)軌跡長度和幅寬計算。當農機沿直線行駛時，該方法計算面積誤差不大。當農機出現(xiàn)轉向或角度發(fā)生變化時，轉向處用折線計算會產生誤差。有研究采用矢量緩沖區(qū)算法，將拐角處用圓弧代替，減少了拐角誤差[7-8]。緩沖區(qū)法以幅寬作為轉角直徑不能真實代表所有轉向幅度，對行駛過程中偶然轉向有效，當?shù)貕K是弧形時，緩沖區(qū)法仍將兩點間軌跡用直線代替。

本研究基于農機運行軌跡特點及作業(yè)地塊不確定性，將農機軌跡用弧線表示，代替?zhèn)鹘y(tǒng)直線法計算，更能反映農機行駛的真實情況。本研究設計了基于三次樣條插值的作業(yè)面積計算方法，對軌跡點進行插值，計算得到的軌跡曲線長度，結合作業(yè)幅寬得到作業(yè)面積，準確率較緩沖區(qū)法和距離測量法都有提高。

1 農機作業(yè)面積計算

農機作業(yè)軌跡分道路行駛、田間行駛和原點停留，有效的作業(yè)面積為田間行駛軌跡，如圖1所示。農機在田間作業(yè)多采用往返作業(yè)形式，即到地塊邊界后掉頭反向作業(yè)。因此，計算作業(yè)面積時，除了意外停車軌跡點，也應將掉頭轉向點去除。保留的軌跡點為連續(xù)單向的線段，將這些線段分別插值計算再累加。

圖1 農機作業(yè)軌跡Fig.1 Operation track of agricultural machinery

1.1 軌跡點預處理

機載設備在開機情況下，會定時發(fā)送定位信息。有一些特殊點會影響作業(yè)面積計算，應提前去除。

(1)農機停止散點。農機在停止時，軌跡點不是集中在一個點，而是散落在農機附近小范圍內，稱為農機停止散點，速度為0或者很小值，如圖2所示，將這些軌跡點直接去除。

圖2 停止散點和軌跡漂移點Fig.2 Dwell scatter point and trajectory drift point

(2)斷點。由于設備故障問題，兩點之間時間間隔會大于正常時間間隔，稱為數(shù)據點丟失。將前一斷點作為前段軌跡的終點，后一斷點作為后段軌跡的起點。

(3)漂移點。由于定位精度原因，個別軌跡點與前后兩點距離遠大于正常距離間隔，稱該點為漂移點。去除該漂移點，將漂移點前一點作為前段軌跡的終點，后一點作為后段軌跡的起點。

(4)農機在田間作業(yè)一般是往返行駛，到地塊邊界后會掉頭行駛，地塊邊界轉向部分不屬于作業(yè)面積。某軌跡點與前一軌跡點和后一軌跡點分別連成直線，兩直線夾角范圍為0°～180°。當夾角大于一定閾值時，認為該軌跡點處于地塊邊界調轉，將該點去除。

所有田間異常點處理后，農機田間作業(yè)軌跡被劃分為多條沿地壟的單向獨立軌跡，如圖3所示。圖3a為原始軌跡點圖，圖3b為根據軌跡點速度和轉向角度，將地塊轉向軌跡點與田間行駛軌跡點標記為不同類型。按照時間序列，計算每條作業(yè)行地頭之間作業(yè)軌跡點的長度，雖然由于信號問題導致個別軌跡點丟失，不影響整體軌跡長度計算。將計算得到的各段軌跡累加，得到所有軌跡總長度。

圖3 作業(yè)軌跡預處理效果Fig.3 Effect of job track preprocessing

1.2 三次樣條插值算法

兩個點確定一條直線，最簡單的方法就是每兩個點之間連一條線，最后得到一種折線圖。但是，這種方法顯然具有很明顯的缺陷：曲線不夠光滑，連接點處的斜率變化過大。

如圖4所示，將折線連接處用弧形代替，雖然解決了拐角處誤差，但對于其余折線P1P2、Pn-1Pn、PnPn+1等處，若地塊形狀如圖所示為弧形，用直線來代替弧形計算軌跡長度，也會產生誤差。

圖4 折線連接處用弧線代替Fig.4 Broken line connection is replaced by an arc

如圖5所示，用折線P1P2+P2P3+P3P4+P4P5代替弧P1P5，必然會出現(xiàn)計算誤差。因此需要盡可能還原出農機作業(yè)的真實軌跡，才能更準確計算行駛距離和作業(yè)面積。

圖5 兩點之間直線與弧線對比Fig.5 Comparison of straight line and arc between two points

如圖6所示，離散的坐標點為軌跡點，穿過每個軌跡點的平滑曲線為基于三次樣條插值得到的弧線，未完全經過每個軌跡點的弧形線為最小二乘法擬合出的曲線。計算農機作業(yè)面積，首先要計算農機軌跡線長度，每個采集的軌跡點都是真實點，數(shù)據點擬合曲線只能統(tǒng)計軌跡點趨勢和規(guī)律，不能保證所有點都在統(tǒng)計內，因此三次樣條插值算法得到的弧線更代表農機真實軌跡[9-11]。通過插值細分線段，將兩點之間的線段平滑，得到的弧線作為作業(yè)軌跡線。

圖6 擬合和插值方法效果對比Fig.6 Comparison of fitting and interpolation methods

對于區(qū)間[a，b]，每個點坐標為[xi，yi]，i=0，1，…，n。將區(qū)間分成x0=a

S0(x)=y0+b0(x-x0)+c0(x-x0)2+d0(x-x0)3
S1(x)=y1+b1(x-x1)+c1(x-x1)2+d1(x-x1)3

(1)

……

Sn(x)=yn+bn(x-xn)+cn(x-xn)2+dn(x-xn)3

其中，S0(x)在區(qū)間[x0，x1]上，S1(x)在區(qū)間[x1，x2]上，……，Sn(x)在區(qū)間[xn-1，xn]上。函數(shù)S(x)若為區(qū)間[a，b]上的三次樣條插值函數(shù)，需滿足以下條件。

(1)在每個子區(qū)間[xi-1，xi]上S(x)是三次多項式。

(2)S(xi)=yi，i=0，1，…，n。

(3)在區(qū)間[a，b]上S(xi)的二階導數(shù)S″(xi)連續(xù)。

Si(x)=aix3+bix2+cix+di，i=0，1，…，n

(2)

S(xi)=yi，S(xi-0)=S(xi+0)，i=0，1，…，n

(3)

S′(xi-0)=S′(xi+0)

(4)

S″(xi-0)=S″(xi+0)，i=0，1，…，n

(5)

式(2)中的ai、bi、ci、di待定，需滿足式(3)、式(4)和式(5)。

式(3)、式(4)和式(5)共給出4n-6個條件，需要待定4(n-1)個系數(shù)，因此要唯一確定三次插值函數(shù)，還要附加2個邊界條件。

S′(x0)=y1′，S′(xn)=yn′

(6)

S″(x0)=y1″，S″(xn)=yn″

(7)

2 試驗及結果分析

試驗采用弧形地塊農機作業(yè)數(shù)據作為數(shù)據集，地塊內作業(yè)面積為122 544 m2。在農機上安裝采集設備，每5 s采集一次作業(yè)點數(shù)據，通過無線發(fā)送至后端服務器。每個軌跡點包含農機作業(yè)點經緯度、車輛行駛速度等信息。通過三次樣條插值方法計算農機作業(yè)軌跡長度，乘以農機幅寬得到農機作業(yè)面積。對比試驗為采用折線累加、矢量緩沖區(qū)算法和最小二乘法擬合算法3種方法計算作業(yè)軌跡長度。

試驗步驟如下。

(1)軌跡點預處理。

(2)利用三次樣條插值法獲取農機作業(yè)軌跡線。

(3)計算單條軌跡線長度。

(4)累計軌跡線總長度，乘以幅寬，得到總作業(yè)面積。

準確率計算方式為

(8)

式中S——真實測量面積，m2

S0——計算面積，m2

采用不同算法計算的作業(yè)面積結果如表1所示。本文提出的三次樣條插值法在該地塊的作業(yè)面積計算中準確率高于其他幾種方法。作業(yè)緩沖區(qū)算法在處理有轉向弧度的作業(yè)軌跡時，準確率要優(yōu)于折線累加法，而曲線擬合方法準確率低于折線累加法。

表1 不同算法計算作業(yè)面積結果Tab.1 Calculation results of working area by different algorithms

3 結論

針對農機在弧形地塊作業(yè)時，作業(yè)面積依靠軌跡點連成折線方式計算誤差較大的問題，提出了利用三次樣條插值法對軌跡點進行插值，將軌跡線用弧線表示。該方法既能保證計算涵蓋所有軌跡點，也根據已有軌跡點信息還原真實農機運行軌跡。試驗結果表明，本文方法面積計算準確率為97.83%，高于其他面積計算方法。