四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步分析

王增赟，宋嗣琪

(湖南第一師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

1 研究現(xiàn)狀

計(jì)算機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過模擬人腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能進(jìn)行信息處理，它具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理、聯(lián)想記憶功能和適應(yīng)能力。在過去的幾十年里，相繼有學(xué)者提出了不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1-5]。Isokawa等[5]首次提出了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(QNN)。四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像處理、色彩融合和聯(lián)想記憶等領(lǐng)域有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[6-8]。近年來(lái)，四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大部分研究成果都集中在平衡點(diǎn)和周期解的存在性及穩(wěn)定性上[9-11]。文獻(xiàn)[9]詳細(xì)介紹了線性時(shí)標(biāo)四元數(shù)微分方程的基本理論，包括解的存在性和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[11]研究了四元數(shù)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)周期解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性。

自1990年P(guān)ecora和Carroll提出驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)同步概念以來(lái)，漸進(jìn)/指數(shù)同步和有限/固定時(shí)間同步成為過去十幾年的熱門研究課題[12-14]。固定時(shí)間同步能夠刻畫兩個(gè)系統(tǒng)在任意初始誤差的情形下達(dá)到完全相同的狀態(tài)，因此研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步具有重要的意義。近年來(lái)，研究四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限/固定時(shí)間同步的成果陸續(xù)出現(xiàn)[15-16]。文獻(xiàn)[15]研究了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步，并設(shè)計(jì)魯棒反饋控制器實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步。文獻(xiàn)[16]介紹了憶阻四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并設(shè)計(jì)了控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步。然而，已有的成果都依賴于傳統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定性定理。

本文提出一個(gè)新的固定時(shí)間收斂定理，并給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。隨后，基于該定理，分析了四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步。

2 四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與預(yù)備知識(shí)

2.1 四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的主系統(tǒng)為：

(1)

式(1)的向量形式為：

接下來(lái)考慮四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的從系統(tǒng)為：

(2)

定義誤差系統(tǒng)為：

ep(t)=sp(t)-zp(t)。

(3)

利用Hamilton法則將誤差系統(tǒng)的實(shí)部和虛部分離，可得

(4)

2.2 預(yù)備知識(shí)

在進(jìn)一步分析四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時(shí)間同步之前，定義參數(shù)如下：

(5)

接下來(lái)，筆者給出固定時(shí)間同步的定義和一個(gè)有用的引理。

定義2.1 對(duì)任意的初始條件，存在不依賴于系統(tǒng)初值的時(shí)間變量，誤差向量滿足

引理2.1[17]如果x1，x2，…，xn≥0，0<ξ≤1，η>1，那么下面的不等式成立

3 固定時(shí)間收斂定理

下面介紹一個(gè)新的固定時(shí)間收斂定理。

(1)V(e(t))=0?e(t)=0，

(2)對(duì)于誤差系統(tǒng)的每個(gè)解，存在α，β，M>0，0<ξ<1和η>1，滿足

則誤差系統(tǒng)的零解可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間吸引性。此外，設(shè)定時(shí)間的估計(jì)為：

(1)如果0<(M/α)1/ξ≤(α/β)1/η-ξ≤V(e(0))，對(duì)?s1，s2∈(0，V(e(0)))，可以得到

(2)如果0<(M/α)1/ξ≤V(e(0))≤(α/β)1/η-ξ，則

(4)如果0<(α/β)1/η-ξ≤(M/α)1/ξ≤V(e(0))，則

綜合(1)—(6)可得

注3.2 從證明過程可以看出，當(dāng)M=0時(shí)，定理3.1也不能退化成傳統(tǒng)定理[18]。因此，本文的固定時(shí)間定理是一個(gè)新的固定時(shí)間定理。

4 固定時(shí)間同步分析

為了使系統(tǒng)(2)固定時(shí)間同步于系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)下面的非線性控制器：

(6)

其中，p=1，2，…，n；δip是不確定的常數(shù)；σip，ρip，τip是正數(shù)，且0<ξ<1，η>1。

定理4.1 如果假設(shè)2.1成立，選擇合適的參數(shù)滿足下列條件：

δip≥ωip，i=1，2，3，4；p=1，2，…，n。

則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)在控制器的作用下可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間同步。此外，

下面證明在控制器的作用下，系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)可以實(shí)現(xiàn)固定時(shí)間同步。

證明：構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)：

對(duì)V1(t)求導(dǎo)，由系統(tǒng)(4)可得

由基本不等式可得

(7)

由假設(shè)2.1和式(2)，可得

(8)

又

(9)

由式(7)、式(8)、式(9)可得

(10)

同理可得

(11)

由式(10)、求(11)和參數(shù)(5)可得

令

又0<(ξ+1)/2<1，(η+1)/2>1，若δip滿足定理4.1的條件，由引理2.1可得

由定義2.1和定理3.1，在控制器的作用下，系統(tǒng)(2)的固定時(shí)間同步于系統(tǒng)(1)。同步時(shí)間的上界為：

所以定理4.1得證。

5 數(shù)值模擬

下面用數(shù)值模擬的方法來(lái)驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性。

例考慮如下四元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為主系統(tǒng)：

(12)

接下來(lái)考慮從系統(tǒng)為：

(13)

定義誤差系統(tǒng)為ep(t)=sp(t)-zp(t)。

s1(0)=-3-1.2i+j-2.5k，s2(0)=2.1+0.5i-1.2j+0.3k。此外，其他參數(shù)為：

圖1 狀態(tài)變量zR1(t),sR1(t),zI1(t),sI1(t)在無(wú)控制器下的軌跡圖2 狀態(tài)變量zJ1(t),sJ1(t),zK1(t),sK1(t)在無(wú)控制器下的軌跡圖3 狀態(tài)變量zR2(t),sR2(t),zI2(t),sI2(t)在無(wú)控制器下的軌跡圖4 狀態(tài)變量zJ2(t),sJ2(t),zK2(t),sK2(t)在無(wú)控制器下的軌跡圖5 誤差變量eR1(t),eI1(t),eJ1(t),eK1(t)在控制器下的軌跡圖6 誤差變量eR2(t),eI2(t),eJ2(t),eK2(t)在控制器下的軌跡

根據(jù)定理3.1，主從系統(tǒng)達(dá)到同步的時(shí)間上限Tmax≈1.66 s。由圖5、圖6可知，主從系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)可以達(dá)到同步。

6 結(jié)論

本文提出了一個(gè)新的固定時(shí)間收斂定理，并給出了時(shí)間上限，最后通過數(shù)值模擬證明了結(jié)論的有效性。由于固定時(shí)間同步與初始值無(wú)關(guān)，所以本文提出的新定理具有更強(qiáng)的實(shí)用性。