耦合變分包含系統解的存在性

熊益英, 何家洪

(北部灣大學 理學院，廣西 欽州 535011)

0 引言

在文獻[1-7]中引入一類耦合變分包含系統問題，求解(x0,y0)∈H1×H2，使得

(1)

其中,H1,H2為實Hilbert空間，F1∶H1→2H1；F2∶H2→2H2為給定的非空集值映射，f1∶H1×H2→H1；f2∶H1×H2→H2為給定的非空單值映射。

該問題的求解有以下幾種特別的情形:

(a)如果H1=H2=H,η∶H×H→H,F1(x)=Δηg1(x),F2(y)=Δηg2(y),其中，Δηg1(·)和Δηg2(·)分別表示真η-次可微泛函g1∶H→∪{+∞}和g2∶H→∪{+∞}的η-次微分映射(參見文獻[8])，那么問題(1)變為：求解(x0,y0)∈H×H，使得

(2)

問題(2)稱為非線性似變分不等式系統問題。

(b)如果F1(x)=?g1(x),F2(y)=?g2(y),其中，?g1(·)和?g2(·)分別表示真凸下半連續泛函g1∶H1→∪{+∞}和g2∶H2→∪{+∞}的次微分映射，那么該問題退化為：求解(x0,y0)∈H1×H2,使得

(3)

問題(3)稱為非線性變分不等式系統問題。文獻[9-10]研究了該問題。

(4)

其中，K1,K2分別為H1,H2中的非空凸閉集。文獻[11-12]研究了該問題。

(e)如果H1=H2=H,f1(x,y)=-g(x,y),f2(y,x)=-g(y,x),F1(x)=G(x),F2(y)=G(y),問題(4)退化為：求解(x0,y0)∈H×H，使得

g(x0,y0)∈G(x0),g(y0,x0)∈G(y0)。

(5)

由于G為多值映射，問題(5)也稱為多值耦合重合點問題。特別地，如果G(x)={φ(x)}，問題(5)退化為：求解(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=φ(x0),g(y0,x0)=φ(y0)。

(6)

問題(6)也稱為耦合重合點問題。文獻[13]證明了它的解存在。如果φ是恒等映射，問題(6)退化為:存在(x0,y0)∈H×H,使得

g(x0,y0)=x0,g(y0,x0)=y0。

(7)

問題(7)也稱為耦合不動點問題。文獻[14]證明了它的解存在。

本文主要研究在賦范線性空間中，問題(1)的解的存在性及其相關問題。在文獻[5-6]研究的問題中，集值映射要求的條件非常強，且并未給出實例，很難找到滿足條件的映射。因此，本文在文獻[5-6]的基礎上，將集值凸映射的條件去掉，適當加強單值映射條件，利用KKM引理來研究問題(1)，改進了文獻[5-6]的研究結果。

1 預備知識

設X為賦范空間,對任意的集合A,B?X,定義αA+βB={αa+βb|a∈A,b∈B}，α,β∈和本文在集合上定義的‖·‖并非范數，而是一個記號,它具有如下的性質:(i)A?B?‖B‖≤‖A‖;(ii)‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。

注1.1 ‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立，例如:X=,A=[1,2],B=[3,4],‖A‖=1,‖B‖=3,‖A‖-‖B‖=1-3=-2。另一方面，‖A-B‖=‖[-3,-1]‖=1，因此，‖A-B‖≤‖A‖-‖B‖不成立。

定義1.1[15]設X為賦范空間,A,B?X,A與B的Hausdorff度量H(·,·)定義如下:

定義1.2[16]設X為賦范空間,{Bn}為X中的非空集合序列，稱{Bn}在Hausdorff度量下收斂于B，當且僅當H(Bn,B)→0。

定義1.3[17]設X是賦范空間,K和U是X中的非空凸集,f:K×K→X。如果對任意的(x,y),(x1,y1)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1)-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

則稱f是幾乎擬凸映射。

定義1.4[17]設X,Y為拓撲空間，集值映射F:X→2Y,x0∈X。若對包含F(x0)的任一開集U,存在x0的鄰域V，使得F(V)?U,則稱F在x0處上半連續。F在每一點x處上半連續，則稱F為X上的上半連續映射。

定義1.5[17]設X,Y為拓撲空間，集值映射F:X→2Y,x0∈X。若對任意的y∈F(x0)和對X中收斂于x0的一個網{xn,n∈+}，存在網{yn,n∈+}滿足對任意的n∈+，yn∈F(xn)，且{yn}收斂于y，則稱F在x0處下半連續。F在每一點x處下半連續，則稱F為X上的下半連續映射。

定義1.6[17]設X,Y為拓撲空間,集值映射F:X→2Y。對任意的x∈X，若F在x處既上半連續又下半連續，則稱F在x處是連續的，若F在x中的任一點都連續，稱F在X上連續映射。

定義1.7[17]設X,Y為拓撲空間，非空集值映射F:X→2Y，若對任意的x∈X，F(x)為閉集(凸、有界、緊等)集，則稱F為閉值(凸值、有界值、緊值等)映射。

引理1.1[18]設X,Y為拓撲空間,F:X→2Y為緊值映射，那么F是連續映射，當且僅當F在Hausdorff度量下連續。

定理1.2 設X是賦范空間,K是X中的非空凸集,U?X,如果f:K×K→X為幾乎擬凸映射，則對任意的(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}。

證明：由f為幾乎擬凸映射,(x1,y1),(x,y)∈K×K,λ∈[0,1],u∈X,有

‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))-u‖≤max{‖f(x,y)-u‖,‖f(x1,y1)-u‖},

由于-u∈X,故‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+u‖≤max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}。

當max{‖f(x,y)+u‖,‖f(x1,y1)+u‖}=‖f(x,y)+u‖時，兩邊分別取下確界,則有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x,y)+U‖。

同理，則有‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤‖f(x1,y1)+U‖。因此，‖f(λ(x,y)+(1-λ)(x1,y1))+U‖≤max{‖f(x,y)+U‖,‖f(x1,y1)+U‖}，故定理1.2成立。

證明：由定理1.1和定理1.2可得推論1.1成立。

2 主要結論

定理2.1 設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,fi:K×K→X為連續、幾乎擬凸映射,Fi:K→2X是連續、緊值映射,i=1,2，則存在(x0,y0)∈K×K，使得

證明：定義集值映射G:K×K→2K×K,對任意的(u,v)∈K×K,

G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F1(x)+f1(x,y)‖+‖F2(y)+f2(x,y)‖≤‖F1(x)+f1(u,v)‖+‖F2(y)+f2(u,v)‖}。

步驟1 對任意的(u,v)∈K×K,(u,v)∈G(u,v),故G(u,v)≠?。

步驟2 任意固定的(u,v)∈K×K,任意序列{(xn,yn)}?G(u,v),(xn,yn)→(x,y),有

‖F1(xn)+f1(xn,yn)‖+‖F2(yn)+f2(xn,yn)‖≤‖F1(xn)+f1(u,v)‖+‖F2(yn)+f2(u,v)‖。

因為Fi是連續、緊值映射,i=1,2,由引理1.1知Fi在Hausdorff度量下連續，由文獻[15]知

|‖F1(xn)+f1(xn,yn)‖-‖F1(x)+f1(x,y)‖|≤H(F1(xn)+f1(xn,yn),F1(x)+f1(x,y))=0。

則有‖F1(xn)+f1(xn,yn)‖=‖F1(x)+f1(x,y)‖。

同理可得

‖F2(yn)+f2(yn,xn)‖=‖F2(y)+f2(y,x)‖，

‖F1(xn)+f1(u,v)‖=‖F1(x)+f1(u,v)‖，

‖F2(yn)+f2(v,u)‖=‖F2(y)+f2(v,u)‖。

故有

‖F1(x)+f1(x,y)‖+‖F2(y)+f2(x,y)‖≤‖F1(x)+f1(u,v)‖+‖F2(y)+f2(u,v)‖。

且(x,y)∈K×K，因此(x,y)∈G(u,v)，故G(u,v)為閉集。

步驟3 由于K為X中的緊集，且對任意的(u,v)∈K×K，閉集G(u,v)?K×K，故對任意的(u,v)∈K×K,G(u,v)為緊集。

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖>‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+f2(ui,vi)‖。

因此當i=1,2,…,n時，有

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖>max{‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+f2(ui,vi)‖}。

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖≤max{‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}，

‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F2(v0)+f2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n}。

故‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(v0,u0)‖≤max{‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+f2(vi,ui)‖}，這與假設產生矛盾，因此假設不成立，故G是KKM映射。

定理2.2 設X為賦范空間，K是X中的非空凸緊集,fi:K×K→2X是連續、線性映射,Fi:K→2X是連續、凸緊值映射，則存在(x0,y0)∈K×K，使得

證明：定義集值映射G:K×K→2K×K，任意(u,v)∈K×K,

G(u,v):={(x,y)∈K×K:‖F1(x)+f1(x,y)‖+‖F2(y)+f2(x,y)‖≤‖F1(x)+f1(u,v)‖+‖F2(y)+f2(u,v)‖}。

由定理2.1的證明步驟1至步驟3可知G為非空、閉值和緊值映射。

下面用反證法證明G是KKM映射。假設存在有限點集{(ui,vi)}∈K×K,i=1,2,3，…,n,

‖F1(u0)+f1(u0,v0)‖+‖F2(v0)+f2(u0,v0)‖>‖F1(u0)+f1(ui,vi)‖+‖F2(v0)+g2(ui,vi)‖,i=1,2,…,n。

因為fi是線性映射，且Fi為凸值映射，i=1,2,由定理1.1有

故

這與假設產生了矛盾，因此假設不成立，故有G是KKM映射。

定理2.3 假設定理2.1的條件成立，對任意的(x,y)∈K×K，

0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)

成立，則存在(x0,y0)∈K×K,使得問題(1)的解存在，即存在(x0,y0)∈K×K，使得

證明：由定理2.1知，存在(x0,y0)∈K×K，使得

‖F1(x0)+f1(x0,y0)‖+‖F2(y0)+f2(x0,y0)‖=0，

即存在(x0,y0)∈K×K，使得問題(1)的解存在。

類似地，由定理2.3推知有下述定理成立。

定理2.4 假設定理2.2的條件成立，對任意的(x,y)∈K×K，

0∈F1(x)+f1(K,K),0∈F2(y)+f2(K,K)成立，則存在(x0,y0)∈K×K，使得問題(1)的解存在，即存在(x0,y0)∈K×K，使得

3 耦合變分包含問題的相關問題

在這一部分，主要研究問題(1)的相關問題。應用定理2.3得到多值耦合重合點定理。

定理3.1 設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續、幾乎擬凸映射,F:K→2X是連續、緊值映射,i=1,2,使得f(K,K)?F(K),則f和F有一個多值耦合重合點。

證明：對任意的x,y∈K,令f1(x,y)=-f(x,y),f2(y,x)=-f(y,x),F1(x)=F(x)，F2(y)=F(y)，那么f和F滿足定理2.3的要求，因此存在(x0,y0)∈K×K，使得

0∈F(x0)-f(x0,y0),0∈F(y0)-f(y0,x0)，那么f(x0,y0)∈F(x0),f(y0,x0)∈F(y0)，即f和F有一個多值耦合重合點。

推論3.1設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續、幾乎擬凸映射,g:K→X是連續映射，使得f(K,K)?g(K)，則f和g有一個耦合重合點。

證明：對任意的x∈K,F(x)={g(x)},運用定理3.1，就可以得到f(x0,y0)=g(x0)，f(y0,x0)=g(y0)，即f和g有一個耦合重合點。

推論3.2設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集,f:K×K→X為連續，則f有一個耦合不動點。

證明：對任意的x∈K,g(x)=x,運用推論3.1，就可以得到f(x0,y0)=x0,f(y0,x0)=y0，即f有一個耦合不動點。

接下來，應用定理2.1得到耦合最佳逼近定理。

定理3.2 設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集，f:K×K→X為連續、幾乎擬凸映射,F:K→2X是連續、緊值映射,i=1,2,則存在(x0,y0)∈K×K,使得

證明：對任意x,y∈K×K,令f1(x,y)=-f(x,y)，f2(y,x)=-f(y,x)，F1(x)=x,F2(y)=y，那么f,F滿足定理2.1的要求，因此存在(x0,y0)∈K×K，使得結論成立。

推論3.3設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集，f:K×K→X為連續、幾乎擬凸映射，g:K→X是連續映射，則存在(x0,y0)∈K×K,使得

證明：對任意的x∈K,令F(x)={g(x)}，應用推論3.2，則存在(x0,y0)∈K×K，使得結論成立。

推論3.4設X為賦范空間,K是X中的非空凸緊集，f:K×K→X為連續映射，則存在(x0,y0)∈K×K,使得

證明：對任意的x∈K，令g(x)=x，應用推論3.3，則存在(x0,y0)∈K×K，使得結論成立。