基于自適應非奇異終端滑模的懸浮控制策略

靖永志 ，馮 偉 ，王 森 ，馬先超 ，郝建華 ，董金文

（1.西南交通大學電氣工程學院，四川 成都 611756；2.西南交通大學磁浮技術與磁浮列車教育部重點實驗室，四川 成都 611756）

磁懸浮技術因其無接觸、低噪聲及摩擦小等優(yōu)點在磁懸浮列車、磁懸浮軸承等工程領域具有廣泛應用[1-2].磁懸浮球系統(tǒng)是一個典型的非線性、開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)[3]，常作為研究懸浮控制方法的實驗平臺.近年來，對磁懸浮裝置的控制研究已取得了很多成果，如將非線性模型進行線性化處理后對磁懸浮系統(tǒng)采用線性控制方法，應用反饋線性化或前饋線性化技術設計非線性控制器[4-5].自適應控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡控制、模糊控制等非線性控制方法也被廣泛應用于磁懸浮控制系統(tǒng).

文獻[6]設計了一種基于磁通觀測器的磁懸浮列車系統(tǒng)自適應滑模控制，提升了系統(tǒng)的魯棒性；文獻[7]提出了一種自適應魯棒輸出反饋控制器，跟蹤誤差通過自適應律得以降低；文獻[8]基于徑向基函數(shù)（RBF）網(wǎng)絡逼近原理，設計了一種磁懸浮系統(tǒng)的滑模自適應狀態(tài)反饋控制器，能有效抑制外界干擾.在實際工業(yè)過程中，滑模控制因其具有響應快速、魯棒性強以及不確定擾動不敏感等優(yōu)點而被廣泛應用[9].

文獻[10]針對飛行機器人設計了一種魯棒自適應控制策略，有效減弱機械臂擾動和轉(zhuǎn)動慣量變化的影響；文獻[11]提出了一種帶有觀測器的復合自適應神經(jīng)網(wǎng)絡控制，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力；文獻[12]提出一種自適應非奇異快速終端滑模控制方法，提升了永磁直線同步電機伺服系統(tǒng)的魯棒性能，可有效削弱抖振現(xiàn)象.

文獻[13]表明終端滑模控制器可以提供更快的收斂速度和更高的精度控制；文獻[14]提出一種基于改進指數(shù)趨近率的滑模觀測器，可有效削弱感應電機矢量控制系統(tǒng)的抖振，實現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)的自適應控制；文獻[15]在連續(xù)快速終端滑模控制基礎上提出了一種新的自適應終端滑模趨近律，可以在有限時間內(nèi)收斂，并能提高跟蹤精度；文獻[16]提出的離散時間分數(shù)階終端滑模，在直線電機跟蹤控制中具有更高的跟蹤精度；文獻[17]提出一種新型的滑模觀測器并將其應用于永磁同步電機無傳感器矢量控制系統(tǒng)，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

與常規(guī)線性滑模（linear sliding mode control,LSMC）相比，非奇異終端滑模（non-singular terminal sliding mode control, NTSMC）是一種能夠提升系統(tǒng)響應速度和抗干擾能力的滑模控制方法，常規(guī)的終端滑模控制雖然提升了系統(tǒng)響應速度，但其動態(tài)性能較差.針對常規(guī)線性滑模控制響應速度較慢、抗干擾能力不強以及終端滑模動態(tài)性能差的問題，本文提出了一種基于自適應非奇異終端滑模（ANTSMC）的控制器，并將其應用于電磁懸浮控制系統(tǒng)，用自適應控制對滑模控制器的趨近律增益進行自校正調(diào)節(jié)，并通過李雅普諾夫穩(wěn)定理論證明了所設計控制器的穩(wěn)定性.然后通過仿真和實驗驗證所設計的控制器具有良好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)特性.

1 電磁懸浮球系統(tǒng)

1.1 電磁懸浮球系統(tǒng)組成

電磁懸浮球系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.該系統(tǒng)由懸浮球、電磁鐵、斬波器、氣隙傳感器、電流傳感器、A/D轉(zhuǎn)換模塊和數(shù)字信號處理器（DSP）等部分組成.間隙傳感器和電流傳感器分別采集懸浮氣隙信號和電磁鐵的電流信號，并通過A/D轉(zhuǎn)換模塊傳輸至DSP控制器，DSP控制器將懸浮氣隙值與給定值比較得到電流控制量，然后將電磁鐵電流與電流控制量比較后輸出脈沖寬度調(diào)制（PWM）至斬波器，進而調(diào)節(jié)電磁鐵電流，使懸浮球在給定氣隙處穩(wěn)定懸浮.

圖1 電磁懸浮球系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of electromagnetic levitation ball system

1.2 電磁懸浮球系統(tǒng)數(shù)學模型

電磁懸浮系統(tǒng)的懸浮氣隙給定值一般設在8 mm左右，遠小于懸浮球的直徑，因此可以忽略漏磁通，認為磁通全部通過小球.為了簡化推導過程，通常作以下假定[3]：

1） 忽略懸浮球和電磁鐵中的磁阻，即認為電磁鐵與懸浮球組成磁路的磁阻全部集中在懸浮氣隙處；

2） 忽略鐵芯的磁化強度μr，使μr≈ 1；

3） 忽略剩磁、磁滯及磁飽和現(xiàn)象.

基于以上假定，得到電磁懸浮球系統(tǒng)數(shù)學模型[18]為

式中：m為懸浮球的質(zhì)量；x為懸浮球懸浮氣隙；i為電磁鐵電流；F（i，x）為懸浮球所受電磁吸力大小；f為外界施加干擾力；μ0=4π×10-7H/m為真空磁導率；A為鐵芯面積；N為電磁鐵線圈匝數(shù)；i0、x0分別為平衡點處的電磁鐵電流和懸浮氣隙.

將系統(tǒng)進行線性化處理，對F（i，x）在平衡點處進行泰勒展開并舍去高次項，可得

忽略干擾力f，將式（2）代入（1），得

取x和懸浮球運動速度為狀態(tài)變量，即X=，i為系統(tǒng)輸入，x為系統(tǒng)輸出，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

由式（3）可得系統(tǒng)開環(huán)特征方程為

式中：a為開環(huán)極點.

2 自適應非奇異終端滑模控制器

本節(jié)在研究了非奇異終端滑模懸浮控制器基礎上設計了一種自適應非奇異終端滑模懸浮控制器，并驗證所設計控制器閉環(huán)穩(wěn)定性.

2.1 非奇異終端滑模控制器

式中：β＞0， 1 ＜p/q＜2 ，且p和q都為正奇數(shù).

對式（7）求導得

滑模趨近率采用等速趨近率，如式（9）.

式中：ξ為趨近律的系數(shù).

聯(lián)立式（6）、（8）和式（9）可得基于終端滑模的電磁鐵控制電流為

由式（11）可知：控制電流不存在負數(shù)次冪，所以避免了奇異問題，下面給出穩(wěn)定性證明.

證：選取李雅普諾夫函數(shù)：V1=s2/2

可知V1＞0，V1對時間求導可得

已知 β ， ε ， ξ ＞0，因此可得

即該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

2.2 自適應非奇異終端滑模控制器設計

在實際控制中，通常選擇較大的 ξ 以確保系統(tǒng)穩(wěn)定性.為了進一步降低 ξ 的調(diào)節(jié)復雜度，在改善系統(tǒng)動態(tài)響應的同時保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和抗干擾能力，設計了以下自適應律：

式中： θ =sgn(‖s‖∞-ε) ；? 為 ξ 的觀測值；φ、γ和η均為調(diào)節(jié)自適應律的增益且都為正值，φ和γ影響自適應律調(diào)節(jié)速度，φ越大γ越小，調(diào)節(jié)速度越快，但會增大穩(wěn)態(tài)時氣隙波動，ε影響滑模函數(shù)s的最終界[19].

基于自適應非奇異終端滑模的電磁鐵控制電流可表示為

由式（14）可以看出：在參數(shù) ξ 的自適應調(diào)節(jié)過程中，|s| 和 ηe-|s|兩個增益項根據(jù) |s|的大小交替占主導地位，當 |s| 趨于0時， ηe-|s|較大，可以保證較快的調(diào)節(jié)速度，同時 ηe-|s|有上限η可以保證不會出現(xiàn)過度調(diào)節(jié)，下面給出穩(wěn)定性證明.

證：選取李雅普諾夫函數(shù)：

對式（16）求關于時間t的導數(shù)，并將式（7）和式（8）代入式（16）得

考慮 |s|＞ε和 |s|＜ε這兩種情況，當 |s|＞ε時，將式（14）代入（16）得

這說明當 |s|＞ε時，V2是不斷減小的，且在有限時間內(nèi)s能達到 |s|＜ε區(qū)域.

當滑模函數(shù)s進入 |s|＜ε的區(qū)域時，由于不能保證是非正的，s可能會不斷地在該區(qū)域進出.當s離開該區(qū)域時 |s|＞ε，根據(jù)式（18）可知的極性變?yōu)樨摚瑒t將使s進入滑模面使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定.

3 仿真結(jié)果與分析

為驗證所設計懸浮控制器的有效性，在基于Matlab/Simulink環(huán)境中搭建電磁懸浮球系統(tǒng)仿真模型，分別使用LSMC、NTSMC和ANTSMC 3種不同的控制器對懸浮性能進行仿真驗證，并對控制器參數(shù)進行優(yōu)化，表1是電磁懸浮球系統(tǒng)的參數(shù)值.

將表1中的參數(shù)值代入式（4），電磁懸浮球系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

表1 電磁懸浮球系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the electromagnetic levitation ball system

懸浮球的初始懸浮氣隙值設為15 mm，然后分別驗證LSMC、NTSMC和ANTSMC的信號跟蹤性能、抗干擾能力以及加減載性能，并將仿真結(jié)果進行對比.各懸浮控制器優(yōu)化后的仿真參數(shù)如表2所示.

表2 懸浮控制器仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters of levitation controllers

3.1 信號跟蹤性能

懸浮氣隙的參考值分別設定為階躍信號和正弦信號時，LSMC、NTSMC和ANTSMC 3種控制器的跟蹤性能曲線如圖2所示.在圖2（a）中設定給定懸浮氣隙的初始值為8.0 mm，在1.0 s時，懸浮氣隙給定值變?yōu)?.0 mm，在1.5 s時，懸浮氣隙給定值變回8.0 mm；在圖2（b）中，設置懸浮氣隙給定值為幅值4.0 mm、頻率0.75 Hz、偏置8 mm的正弦信號.

圖2 跟蹤曲線Fig.2 Tracking curves

從圖2可知：3種控制方法都能較好地跟蹤懸浮氣隙的參考值，但是與LSMC相比，NTSMC和ANTSMC具有更快的響應速度；ANTSMC的穩(wěn)態(tài)誤差最小，而LSMC和NTSMC的穩(wěn)態(tài)誤差都較大；使用NTSMC的懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定后響應曲線有較明顯的波動，圖2（a）中穩(wěn)定懸浮后NTSMC方法的氣隙波動范圍為0.165 mm，而ANTSMC方法的氣隙波動范圍為0.071 mm，說明ANTSMC對這種波動抑制效果較好.

3.2 抗干擾性能

為了驗證所設計懸浮控制器的抗干擾性能，在控制器中分別加入正弦波和鋸齒波干擾力，圖3（a）和圖3（b）分別為加入幅值為1、頻率為2 Hz的正弦干擾力之后和幅值為2、頻率為1 Hz的鋸齒波干擾力之后，分別使用3種控制方法的懸浮氣隙響應曲線.

圖3 正弦干擾和鋸齒干擾響應曲線Fig.3 Response curves of sinusoidal disturbance and sawtooth disturbance

從圖3的可知：在給定氣隙不變的情況下，LSMC的懸浮氣隙受干擾力影響較大，由于受電流環(huán)跟隨性能的影響，氣隙曲線并不完全跟隨干擾信號呈正弦波或者鋸齒波； NTSMC和ANTSMC受干擾影響并不明顯，說明NTSMC和ANTSMC控制方法具有更好的抗干擾性能，而ANTSMC相比于NTSMC在穩(wěn)態(tài)時抖動更小.

3.3 加、減載性能

為進一步驗證所設計控制器的抗干擾性能，本小節(jié)模擬懸浮系統(tǒng)的加減載過程，在第1 s時分別加入質(zhì)量為0.2m和0.4m的負載，然后在第2 s時去除負載.3種控制器的懸浮氣隙響應曲線如圖4所示.

由圖4（a） 可知：在1 s時加入了0.2m的負載時，由于懸浮系統(tǒng)質(zhì)量突然增大，LSMC控制器的懸浮氣隙也隨之有較小的變化，而NTSMC和ANTSMC控制器的懸浮氣隙并無明顯變化，但是NTSMC控制器的懸浮氣隙抖動現(xiàn)象較嚴重.由圖4（b）可知：負載增加至0.4m后，LSMC控制器的懸浮氣隙輸出受負載變化影響很大，由8.0 mm增加至8.4 mm，而NTSMC和ANTSMC兩種控制器的輸出仍無較大變化，但是NTSMC控制器的懸浮氣隙抖動現(xiàn)象較嚴重.

圖4 懸浮氣隙響應曲線Fig.4 Suspension air gap response curves

因此，從仿真波形可知：相較于LSMC，所設計的NTSMC和ANTSMC控制器具有更快的響應速度和更強的抗干擾性能，且ANTSMC比NTSMC的懸浮氣隙抖動小，具有更好的靜態(tài)特性.

4 實驗結(jié)果與分析

為進一步驗證所設計懸浮控制器的性能，分別進行動態(tài)跟蹤、抗干擾能力和加減載實驗，搭建了電磁懸浮球系統(tǒng)硬件實驗平臺如圖5所示.該實驗平臺使用氣隙傳感器和霍爾電流傳感器分別采集懸浮氣隙信號和電磁鐵電流信號，并通過14位高分辨率ADC芯片轉(zhuǎn)換為數(shù)字量傳輸至DSP控制器，經(jīng)懸浮控制器輸出不同占空比PWM，以實現(xiàn)電磁鐵的電流調(diào)節(jié).各懸浮控制器優(yōu)化后的實驗參數(shù)如表3.由于仿真建模時對系統(tǒng)進行了一定簡化，因此，仿真模型和實際對象有一定差異，實驗時在仿真參數(shù)基礎上針對實際系統(tǒng)對參數(shù)進行優(yōu)化，導致仿真和實驗時的控制器參數(shù)不完全一致.

圖5 電磁懸浮系統(tǒng)實驗平臺Fig.5 Eletromagnetic levitation system experimental platform

表3 懸浮控制器實驗參數(shù)Tab.3 Parameters of levitation controllers

4.1 信號跟蹤性能

設置初始時刻的懸浮氣隙給定值為8.0 mm，在懸浮球穩(wěn)定懸浮后先加入幅值為 -1 mm的階躍信號，1 s后加入幅值為1 mm的階躍信號，3種懸浮控制器的響應曲線如圖6（a）所示；設置給定懸浮氣隙為幅值1 mm、頻率0.75 Hz、偏置8 mm的正弦信號，LSMC、NTSMC、ANTSMC 3種控制器的懸浮氣隙響應曲線如圖6（b）所示.

從圖6（a）可以看出：在給定氣隙由8.0 mm變?yōu)?.0 mm時，ANTSMC的響應速度最快，能在更短的時間內(nèi)收斂至給定懸浮氣隙處，而LSMC和NTSMC的響應速度較慢，且LSMC的穩(wěn)態(tài)誤差較大；在給定氣隙由7.0 mm變?yōu)?.0 mm時，ANTSMC的響應速度也明顯比LSMC和NTSMC快.從圖6（b）中可以看出：在跟蹤相同的正弦信號時，LSMC的輸出氣隙穩(wěn)態(tài)誤差較大且響應速度較慢，NTSMC的跟蹤速度比LSMC更快，但也有較大的跟蹤誤差；而與前兩者相比，ANTSMC的輸出懸浮氣隙穩(wěn)態(tài)誤差最小，響應速度最快，其跟蹤效果比LSMC和NTSMC更好.

圖6 跟蹤實驗曲線Fig.6 Tracking curves

4.2 抗干擾能力

設給定懸浮氣隙為8.0 mm，在控制器中模擬加入幅值為1 N，頻率為1 Hz的正弦干擾力，則3種控制器的輸出懸浮氣隙實驗曲線如圖7所示.加入幅值為2 N，頻率為1 Hz的鋸齒干擾力，3種控制器的懸浮氣隙實驗曲線如圖8所示.

圖7 正弦干擾實驗曲線Fig.7 Sinusoidal disturbance experiment curves

由圖7和圖8可知：在加入同樣的正弦干擾力或鋸齒干擾力時，LSMC、NTSMC、ANTSMC的懸浮氣隙波動峰峰值分別為0.4、0.3、0.2 mm，LSMC的懸浮氣隙峰峰值最大，且氣隙曲線近似為正弦曲線，而ANTSMC的懸浮氣隙峰峰值最小，其懸浮氣隙曲線在（8.0 ± 0.1） mm范圍內(nèi)變化，這說明3種控制器中，ANTSMC的抗干擾性能最好，LSMC的抗干擾性能較弱，而NTSMC的抗干擾性比LSMC好，但不如ANTSMC.由于控制器的仿真參數(shù)和實驗參數(shù)有差異，且懸浮控制性能還受電流環(huán)跟隨效果、開關器件工作效率等因素的影響，實驗波形與仿真波形也會有一定的差異.

圖8 鋸齒干擾實驗曲線Fig.8 Sawtooth disturbance experiment curves

4.3 加、減載性能

設給定懸浮氣隙為8.0 mm，使用質(zhì)量為0.1 kg的砝碼作為負載進行加減載實驗，在懸浮球穩(wěn)定懸浮后進行加載實驗，然后在懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定后分別驗證3種控制器的抗干擾性能，得到的懸浮氣隙響應曲線如圖9所示.

圖9 負載質(zhì)量為0.1 kg時懸浮氣隙響應曲線Fig.9 Suspension air gap response curves with load mass of 0.1 kg

本文重點研究控制器的抗干擾性能，控制器中沒有引入積分環(huán)節(jié)，因此在加減載實驗中懸浮氣隙存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差.由圖9可以看出：當加入質(zhì)量為0.1 kg的負載時，LSMC和NTSMC的懸浮氣隙在加載后變化較大，分別從8.0 mm增大到9.5 mm和9.4 mm，且LSMC有一定的超調(diào)，響應曲線最大值達10.4 mm；ANTSMC的懸浮氣隙相對來說變化較小，從8.0 mm變化到8.6 mm左右.在懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定后減去負載，這時3種控制器都能使系統(tǒng)恢復至平衡位置.根據(jù)3種控制器的加減載實驗結(jié)果可以看出：ANTSMC比LSMC和NTSMC具有更好的抗干擾性能.

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于自適應終端滑模的電磁懸浮系統(tǒng)懸浮控制方法.首先建立了電磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型，并分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；然后在非奇異終端滑模懸浮控制器的基礎上提出一種自適應非奇異終端滑模懸浮控制器，對趨近增益進行在線自適應校正，并根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了所提出懸浮控制器的穩(wěn)定性；最后通過仿真和實驗對所提出控制器的信號跟蹤性能、抗干擾能力、加減載性能等進行驗證.仿真與實驗結(jié)果表明：與傳統(tǒng)滑模懸浮控制器和非奇異終端滑模懸浮控制器相比，所設計的非奇異終端滑模懸浮控制器在保證靜態(tài)性能和動態(tài)響應速度的同時具有更好的抗干擾能力.