始于“活動”，成于“轉化”，促深度學習

吳建惠　周敏剛　李碩

[摘? 要] 隨著深度學習走向數學核心素養實踐教學落實的逐步深入，這種新型的教學理念與實踐探究方式也在促進課堂教學的改革.在初中數學課堂教學中，深度挖掘教材意圖、依托數學活動載體、創新設計數學活動、挖掘活動潛在價值，提高學生參與活動的積極性，使學生在活動中經歷與感悟，在實踐中思辨與質疑，在本質上抽象與轉化，在結構上建構與聯系，使深度學習在課堂真正發生，促進初中學生數學核心素養的養成.

[關鍵詞] 數學核心素養;深度學習;數學活動

深度學習是課程改革以來對課程理解和課堂實踐的深化，它既是一種理念，也是一種實踐指導策略[1]. 在新一輪的教學改革中，深度學習走向數學核心素養培養，從理論完善逐步到落地指導教學實踐，因此對于深度學習的研究有必要回到課堂教學中去[2].

初中學生對數學知識的理解，在于經歷發現的過程、理解知識本質、體會思想方法、促進數學核心素養發展. 在數學學習中，數學知識的學習是實現數學思維的發展、各種問題的解決、思想方法的感受、數學價值的體會的基礎[3]. 數學學習過程是教師、學生圍繞學習內容而展開的活動過程，初中深度學習要求學生能夠全身心投入具有挑戰性的、富有思維含量的數學活動[1]. 讓初中學生參與富有思維含量的數學活動，這就需要教師能夠對教學活動進行高效轉化. 筆者作為指導教師參與了“最短路徑問題”的備課、磨課，引發諸多思考，現就創新教學活動設計、抽象轉化解決問題、促進學生深度學習等方面的一些做法與大家分享.

“兵馬未動糧草先行”的思考

一個好的問題情境必須基于學生的已有經驗、學習內容和學習環境進行綜合考慮，充分激發學生的好奇心和求知欲，引發學生的深層興趣，促進學生攜帶自己對學習內容的已有理解卷入學習活動中來[2] . 針對學生的學習情況，教師反復磨課，結合教學經驗提出以下思考問題.

思考1：本節課是“課題學習”課，與其他的課有什么不同？

思考2：本節課作為“軸對稱”的章節最后一課，應發揮怎樣的教學價值？

思考3：“最短路徑問題”多與近幾年新疆中考壓軸題整合出現，解決此類問題對學生的要求很高，通過本節課學習，要重點培養學生哪些關鍵能力？促進學生哪些數學核心素養的發展？

思考4：怎樣將這些能力培養點恰當地融入教學活動中？

帶著這些問題反復交流思考. 我們認為：從課的類型上看，“課題學習”在人教版教材中占比極少，一部分教師會把“課題學習”課當作習題課來上，使學生錯失了參與數學活動與實踐的機會. 參與磨課的交流者一致認為“課題學習”既不同于新授課，也不同于實踐課，它應該是以知識應用為起點、學生參與為方式、問題解決為目標的綜合課;從教材的整體性上看，作為本單元的結課內容，在知識上是對本章的概括與綜合應用，在結構上還應從“圖形與幾何”的單元教學的視角思考本節課安排兩個活動的內在關聯;從內容的綜合性上看，“最短路徑問題”多與幾何圖形、函數問題融合在一起，考查學生綜合解決問題的能力，基于這種高度的綜合性，教師要以數學活動為載體，有機地融入真實情景中，凸顯數學轉化的能力，逐步引導學生形成對以往知識經驗的調取的思維方式.

“知所不豫，行且通焉”的實踐

（一）以《古從軍行》詩詞引入，滲透中華傳統文化

師：我國唐代詩人李頎的《古從軍行》“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩句中描繪了將軍飲馬的場景.

問題1：如圖1，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

教學說明：問題情境不僅將學生引入活動的情境之中，激發了學生學習的興趣，還將中華傳統文化融入其中，在趣味中蘊藏著數學問題，以問題為導向，引發學生的思考.

（二）深挖數學活動內涵，以“聯系”促“轉化”

對于“將軍飲馬”這個經典問題，在平常教學中，往往是“探而不究”“淺嘗輒止”，做對稱點的想法和做法一般是教師告知給學生的，教師只是教會學生“怎么做”. 在這樣的學習過程中，學生處于被動接受和簡單模仿的狀態，顯然學生的理解是淺顯的，思維是低階的. 相對于此，采用深度學習的學生將采用更高水平的認知加工方式[2]. 對于這個問題的處理，執教者對“為什么這樣做”“怎樣想到這樣做”進行了思考，做了如下創新設計.

創新點1：借助學生畫圖與演示幫助學生理解將同側點轉化為異側點的必要性和可行性.

先讓學生自己畫圖探尋動點C的位置，教師巡視學生所畫圖形，發現有相當一部分學生是過A點或B點向直線L作垂線段（如圖2），此時教師追問：“確定此時AC+BC最短嗎？”在教師的追問下，一部分學生開始轉換思路，運用刻度尺測量驗證，發現當C點在垂足處時AC+BC并不是最短的. 這種認知上的沖突極大激發了學生深入探究的欲望，但由于C點是一動點，位置難以確定，學生的思維受阻. 此時教師利用幾何畫板演示，并利用幾何畫板的度量功能顯示AC、BC及AC+BC的值，拖動C點，當C點從左往右運動時，AC+BC的值越來越小;經過某一時刻，繼續拖動C點從左往右運動時，卻發現AC+BC的值反而越來越大. 由此可以斷定：1.最小值是存在的. 2.滿足條件的C點應該在兩個垂足之間.

如何確定C的位置？教師通過引導學生與自我對話，與其他同學交流，啟發學生產生聯想，到目前為止，學生思維的最近發展區有兩個，分別是“垂線段最短”和“兩點之間線段最短”，當排除了“垂線段最短”的思路后，自然會聯想到“兩點之間線段最短”. 但此時兩定點在定直線的同側，為了在直線上產生動點，教師應引導學生將直線同側點通過點的映射轉化到異側，利用“兩點之間線段最短”成功將動點位置鎖定.

教學說明：上述活動設計，學生積極參與到探究問題中去，經歷了“畫圖抽象→認知沖突→思維矯正→測量再探→引導轉化→化動為定→問題解決”的學習過程，形成了將軍“飲馬問題”的數學模型. 基于以上的深入探究，學生對問題的感受是深刻的，對問題的理解也是深刻的，將外顯于形的活動逐步內化于心.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF

創新點2：通過學生動手操作將“架橋問題”轉化為“飲馬問題”模型.

對于知識的應用于遷移，可以通過變式練習的方式實現. 教師將課本中的問題2改編為：如果將河岸改為一條河，牧馬人從河一岸的A點去河另一岸的B點，現要在河上架一座小橋PQ，橋造在何處可使從A到B的路徑APQB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？

這個問題極大地激發了學生的興趣，問題被抽象成求AP+PQ+BQ的值最小問題（可以看作是兩定兩動模型），學生躍躍欲試后發現無從下手，此時教師設計以下活動.

學生活動：請在作業紙上試著畫一畫，找出架橋的點，完成作圖并證明. 作圖前可先思考以下問題，有了一定想法后可在小組內交流：

（1）需要找某個點的對稱點嗎？

（2）求AP+PQ+BQ的值最小問題可以通過轉化而簡化嗎？

（3）能不能將此問題與將軍“飲馬問題”聯系起來？

學生的做法大大超出教師的預期，下面展示一個小組學生的對話.

生1：不用找對稱點，直接連接AB.

生2：你的做法不對，直接連接AB的話，橋PQ就與河岸不垂直了.

生3：既然河的寬度是固定的，AP+PQ+BQ的值最小問題可以先轉化為求AP+BQ最小，那我們是不是先把河寬看作是0.

生2：怎么可能？

生3：在練習紙上畫好圖（1），先將紙沿直線b折一折，再將直線b向上平移，直到與直線a重合，點B就隨著紙張被平移了一個橋長，落到了點B′的位置，此時問題就轉化成圖（2），即將問題轉化成了“將軍飲馬”模型，連接AB′，交直線a于P點，然后再將紙展開，直線b還原到原來的位置，此時，過P點向直線b做垂線段，垂足為Q，連接QB，如圖（3）所示，AP+BQ即為最短，最后連接B′B，獲得PQBB′是平行四邊形，成功將QB轉化為PB′的長，利用兩點之間線段最短獲證.

教學說明：學生在已有知識儲備的基礎上產生聯想，經歷不斷試錯、不斷調整思路的過程，通過將有河寬的問題進行平移轉化為“飲馬問題”基本模型. 解決問題的思路是學生親身實踐獲得，由定點B→沿著與河岸垂直方向平移一個河寬→得到B′→連接AB′→確定動點P的位置→沿著與河岸垂直的反方向平移一個河寬→確定動點Q的位置. 學生在直觀操作中加深了對問題的理解，對接下來的推理證明也能夠順利實施.

實踐后的反思

（一）以“問題”為導向促進教師深度思考

問題是數學的心臟，也是撬動教師思考的杠桿. 通過對平常所謂“熟悉”的教學進行再挖掘，從教材的整體視角、從學生的學習視角、從素養的培養視角提出問題，靶向問題，以問題為導向促進教師深度思考，使教師在向“理解數學、理解教學、理解學生”的路途上又邁進了一步. 以問題為導向既立足教材又高于教材，既凸顯數學學科本質又體現學科育人價值，從行動上詮釋了“用教材教”的理念，教學立意從知識立意向能力立意與素養立意轉變.

（二）以“活動”為載體促進學生深度參與

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提到：數學教學應根據具體的教學內容，注意使學生在獲得間接經驗的同時也能夠有機會獲得直接經驗[4]. 通過創設具有問題情境的活動，為學生搭建實踐、思考、探索、交流的平臺，不斷引發質疑與思辨、調整和糾偏，嘗試與創新，在掌握基礎知識、基本技能和基本思想的基礎上積累基本活動經驗. 數學活動不僅要關注教師的深度教學，也要關注學生思維的成長. 本節課以兩個活動為載體，使學生經歷了畫圖、測量、折紙、猜想、推理的過程，在活動中思考、在活動中感悟，在活動中提升了學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，促進了深度學習在活動中的落實.

（三）以“轉化”為突破促進思維深度發展

數學教學問題“遇難則轉”，教師要以問題轉化為突破口，將未知的、有困難的問題通過轉化這一橋梁實現由繁到簡、由未知到已知的過渡，實現在學生知識與思維的最近發展區嫁接新的知識方法的目標，讓知識與能力自然生長. 在探究“架橋問題”時，學生很容易借鑒“飲馬問題”的活動經驗，聯想到利用“飲馬問題”模型來解決，但兩個問題又有不同，架橋問題是雙線問題，“飲馬問題”是單線問題，認知出現了沖突怎么辦？靠轉化.

于漪說：“現在的老師不缺教學技巧，而缺思想與批判性思維. ”學生在對連接AB的做法進行否定后，似乎進入絕境，執教者巧妙利用學生的生成資源，將“橋的寬度不影響最短距離”引導為“將橋寬暫時看作為0”，通過平移一條平行線成功將問題轉化為“飲馬問題”模型，由雙線雙動點（架橋問題）轉化為單線單動點（飲馬問題），在紙張折疊過程中，學生直觀可見隨著直線b的平移，B點也平移了一個河寬，不僅解決了“怎樣做”的問題，還解決了“為什么這樣做”的問題. 學生的思維經歷了簡單模仿、思辨質疑、猜想論證的過程，對問題有了既直觀又深刻的理解，發展了幾何直觀、數學抽象、邏輯推理的學科素養，此時的課堂因轉化而精彩，思維因抽象而進階.

（四）以“聯系”為觀點促進知識整體建構

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中強調：要把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識和整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性. 數學家G.波利亞說過：好問題如同蘑菇，它們都成堆的生長，找到一個以后你應當再去周圍找一找，很可能附近就有好幾個[5]. “飲馬問題”“架橋問題”并不是兩個孤立的問題，在它周圍我們可以發現其他的“蘑菇”. 站在初中“圖形與幾何”的單元教學視角來看，解決線段和最小問題的基本思路是抓住不變特征剝離基本圖形，確定定點和定線，利用軸對稱、平移、旋轉等圖形變換，將不共線的線段轉化為共線的線段，實現“折轉直”，再依據“兩點之間線段最短”獲得線段和最小的結論（如圖4）. 這樣既關注了知識的生長點又重視了知識的延伸點，形成了研究問題的整體和轉化思想，幫助學生建構知識框架，便于學生整體理解章節知識，有利于學生深入思考，更有利于問題的分析與解決，做到既見樹木，又見森林.

結束語

深度學習是一種基于高階思維發展的理解性學習，具有注重批判理解、強調內容整合、促進知識建構、著意遷移運用等特征[6]. 深度學習在大單元教學理念的設計下，始于“活動”，成于“轉化”，從而不斷推動教學理念與教學實踐的發展. 深度學習是核心素養導向下的課程教學改革的需要，是一線教師不斷深化理論基礎與推進實踐教學的探索，是教師教學思想、理念、能力的集中體現. 有了教師對深度學習的深入理解與應用，才會有課堂上學生的批判理解、聯系建構、轉化遷移、靈活運用，深度學習才會真正發生，學生數學核心素養才會逐步養成.

參考文獻：

[1]劉曉玫，黃延林，頓繼安，等. 深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中數學）[M]. 北京：教育科學出版社，2019.

[2]張春莉，王艷芝. 深度學習視域下的課堂教學過程研究[J]. 課程·教材·教法，2021，41（08）：63-69.

[3]劉曉玫. 數學深度學習的教學理解與策略[J]. 基礎教育課程，2019（08）：33-38.

[4]中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[5]徐軍. 尋找周圍的“蘑菇”[J]. 高中數學教與學，2005（02）：6-8.

[6]安富海. 促進深度學習的課堂教學策略研究[J]. 課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

基金項目：新疆維吾爾自治區一流本科專業——昌吉學院“數學與應用數學”（新教函[2020]61號）;新疆生產建設兵團第六師教學研究和師資培訓中心課題——初中數學課堂教學“引·探·導·測”教學模式研究（LSKTJX2019056）;“自治區普通高校人文社會科學重點研究基地（培育）——昌吉學院新疆基礎教育質量提升研究中心”.

作者簡介：吳建惠（1970—），昌吉市教育局教研員，高級教師，大學本科，昌吉學院碩士生導師，從事數學教育研究.

通訊作者：李碩（1975—），昌吉學院數學與數據科學學院教授，碩士生導師，從事課程與教學論、運籌學及算法、數學模型等研究.DB8C42CB-EB13-4F29-8E56-BCEFD14046BF