區(qū)間參數(shù)串、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)可靠性計算方法

方永鋒，程正偉，許勇

(1. 寧夏師范學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，寧夏 固原 756000； 2. 貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 畢節(jié) 551700)

0 引言

在工程實(shí)踐中，當(dāng)機(jī)械結(jié)構(gòu)、機(jī)構(gòu)、系統(tǒng)等服役數(shù)據(jù)較少，信息量不足時，隨機(jī)可靠性方法往往并不能滿足工程實(shí)際的需要，文獻(xiàn)[1-2]指出概率可靠性雖然是可靠性評估中常用的方法，但在實(shí)際應(yīng)用中，還應(yīng)有其他更有效的方法彌補(bǔ)其不足。用隨機(jī)可靠性來評估結(jié)構(gòu)的可靠性不能滿足工程實(shí)際時，其可靠性應(yīng)該采用區(qū)間或凸集模型來描述問題的不確定性[3-4]。文獻(xiàn)[5-7]提出了基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型，并分析了區(qū)間載荷作用下結(jié)構(gòu)的非概率可靠度。文獻(xiàn)[8]用區(qū)間可靠性理論對風(fēng)電短期功率進(jìn)行了預(yù)測，結(jié)果顯示短期時間內(nèi)預(yù)測的功率波動工程區(qū)間是符合工程實(shí)踐的。文獻(xiàn)[9]對系統(tǒng)中不確定因素以非概率區(qū)間理論建立了顫振可靠性分析模型，并進(jìn)一步提出求解策略，獲取多源不確定工況下系統(tǒng)的顫振可靠度。在工程實(shí)踐中，服役的結(jié)構(gòu)、機(jī)構(gòu)等都不是孤立存在的，而是以系統(tǒng)的形式存在。常見的系統(tǒng)主要有串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)以及k/n表決系統(tǒng)。文獻(xiàn)[10-11]對隨機(jī)參數(shù)的串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、k/n表決系統(tǒng)進(jìn)行了介紹，并給出了3種系統(tǒng)可靠度的計算方法。文獻(xiàn)[12]對于隨機(jī)可靠性和區(qū)間可靠性進(jìn)行了比較，認(rèn)為兩種可靠性方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在可靠性計算中是相互補(bǔ)充的。文獻(xiàn)[13]研究了區(qū)間可靠度與隨機(jī)可靠度的互化，將不同測度空間轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的隨機(jī)空間，然后用隨機(jī)可靠性理論對結(jié)構(gòu)可靠性計算，提高了計算精度。文獻(xiàn)[14-15]對于可修復(fù)k/n表決系統(tǒng)的動態(tài)可靠性進(jìn)行了研究，給出了其可靠性計算模型。文獻(xiàn)[16-17]研究了帶維修工的串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、k/n表決系統(tǒng)的可靠性和維修問題，給出了維修最佳時間更新方案。文獻(xiàn)[18-19]認(rèn)為區(qū)間理論在解決系統(tǒng)可靠性問題時能很好地描述不精確問題，在系統(tǒng)可靠度計算中發(fā)揮巨大的作用。然而，系統(tǒng)在其服役期，會遇到其承受的載荷和強(qiáng)度都是區(qū)間參數(shù)的情況，對串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、k/n表決系統(tǒng)還用隨機(jī)可靠性計算方法計算系統(tǒng)可靠度顯然是不合理。目前，國內(nèi)外還少見相關(guān)文獻(xiàn)對此問題進(jìn)行的研究。

本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，提出了區(qū)間參數(shù)的3種常用的系統(tǒng)：串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、k/n表決系統(tǒng)可靠性的計算方法。先對區(qū)間參數(shù)進(jìn)行處理，將區(qū)間參數(shù)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)參數(shù)，這些系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)具有隨機(jī)可靠度，然后利用隨機(jī)參數(shù)的串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、k/n表決系統(tǒng)可靠度的計算方法，給出參數(shù)為區(qū)間形式的串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)、k/n表決系統(tǒng)的可靠度，最后用兩個算例說明了本文方法的實(shí)用性、適用性與有效性。

1 隨機(jī)參數(shù)串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)可靠性計算

隨機(jī)參數(shù)串聯(lián)、并聯(lián)、k/n表決系統(tǒng)在工程中比較常見，設(shè)在系統(tǒng)Ss中有n個環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)中第i(i=1～n)個環(huán)節(jié)承受載荷的均值為μLi,標(biāo)準(zhǔn)差為σLi，第i(i=1～n)個環(huán)節(jié)強(qiáng)度的均值為μqi,標(biāo)準(zhǔn)差為σqi，可靠性指標(biāo)為βi，其對應(yīng)的可靠度為Pi。

若這個系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng)，其系統(tǒng)可靠度為

(1)

若這個系統(tǒng)為并聯(lián)系統(tǒng)，其系統(tǒng)可靠度為

(2)

若這個系統(tǒng)為k/n表決系統(tǒng)，其系統(tǒng)可靠度為

(3)

2 區(qū)間參數(shù)串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)可靠性計算

它所對應(yīng)的區(qū)間數(shù)均值為

(4)

對應(yīng)的區(qū)間數(shù)的離差為

(5)

它所對應(yīng)的區(qū)間數(shù)均值為

(6)

對應(yīng)的區(qū)間數(shù)離差為

(7)

由6σ法則，載荷隨機(jī)參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與區(qū)間參數(shù)的上界、下界的關(guān)系如下：

(8)

(9)

由式(6)與式(7)有：

(10)

(11)

由式(9)與式(10)有

(12)

同理可得第i個環(huán)節(jié)強(qiáng)度隨機(jī)參數(shù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差與區(qū)間參數(shù)的上界、下界的關(guān)系如下：

(13)

(14)

區(qū)間參數(shù)的可靠性指標(biāo)計算公式如下[3]：

(15)

ηi為區(qū)間參數(shù)可靠性指標(biāo)，當(dāng)ηi>1時，環(huán)節(jié)安全；ηi<-1時，環(huán)節(jié)失效；-1≤ηi≤1時，環(huán)節(jié)可能安全亦可能失效，從嚴(yán)格意義講，環(huán)節(jié)是失效的。ηi值越大，則環(huán)節(jié)的安全程度越高。

由式(15)進(jìn)一步得到

(16)

由式(16)有

(17)

同理可得

(18)

由式(18)有

6ηi≤βi

(19)

由式(17)與式(19)有：

0.166 7βi≤ηi≤0.117 8βi

(20)

由式(20)，可以得到區(qū)間參數(shù)的串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)的第i個環(huán)節(jié)的區(qū)間可靠度指標(biāo)與隨機(jī)可靠度指標(biāo)之間的關(guān)系。為了保守起見，最終的區(qū)間可靠性指標(biāo)化為隨機(jī)可靠性指標(biāo)，可由下式給出：

0.166 7βi=ηi

(21)

由式(21)得到區(qū)間參數(shù)的串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)第i個環(huán)節(jié)的區(qū)間可靠度指標(biāo)對應(yīng)的隨機(jī)可靠度指標(biāo)，而且該指標(biāo)是保守的，更有利于工程實(shí)踐的應(yīng)用。式(21)也解釋了當(dāng)ηi>1時，系統(tǒng)環(huán)節(jié)為什么安全；ηi<-1時，系統(tǒng)環(huán)節(jié)為什么失效；η值越大，系統(tǒng)環(huán)節(jié)為什么安全程度越高；-1≤ηi≤1時，系統(tǒng)環(huán)節(jié)為什么有可能安全亦有可能失效；也清楚了-1≤ηi≤1時，系統(tǒng)環(huán)節(jié)安全的程度。

由此得區(qū)間參數(shù)串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)的第i個環(huán)節(jié)的可靠度PIi由式(22)給出：

PIi=Φ(βi)

(22)

式中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

由式(1)-式(3)可得到區(qū)間參數(shù)的串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)的可靠度計算模型如下：

若系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng)，其系統(tǒng)可靠度為

(23)

若系統(tǒng)為并聯(lián)系統(tǒng)，其系統(tǒng)可靠度為

(24)

若系統(tǒng)為k/n表決系統(tǒng)，其系統(tǒng)可靠度為

(25)

3 算例

圖1所示為空心圓柱懸臂梁[20]，其參數(shù)如表1所示。

圖1 空心圓柱懸臂梁

表1 空心圓柱懸臂梁分布參數(shù)

在表1中S為空心圓柱懸臂梁的許用屈服強(qiáng)度，U為空心圓柱懸臂梁的許用強(qiáng)度，θ為空心圓柱懸臂梁的許用扭轉(zhuǎn)角，τ為空心圓柱懸臂梁的許用切應(yīng)力，w為空心圓柱懸臂梁的許用撓度。該空心圓柱懸臂梁的參數(shù)1、參數(shù)2對于Gunbel分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)，對于正態(tài)分布分別為均值與標(biāo)準(zhǔn)差，對于均勻分布參數(shù)1、參數(shù)2分別為下界與上界，對于區(qū)間參數(shù)參數(shù)1、參數(shù)2分別為下界和上界。

該懸臂梁如果只考慮強(qiáng)度、剛度、剪力、扭轉(zhuǎn)角和撓度各自對應(yīng)的可靠度，它們對應(yīng)的可靠度如表2所示。如果該懸臂梁按照5個考核量中的任一個可靠度，則認(rèn)為該懸臂梁就是可靠的。顯然這5個量構(gòu)成了并聯(lián)系統(tǒng)。如果認(rèn)為這5個考核量中任一個失效，就認(rèn)為該懸臂梁失效，顯然這5個考核量構(gòu)成的懸臂梁就是一個串聯(lián)系統(tǒng)。如果只考慮強(qiáng)度、剛度和撓度這3個量不失效，則該懸臂梁就不失效，顯然該懸臂梁就是一個3/5表決系統(tǒng)，其可靠度如表3所示。

表2 強(qiáng)度、剛度、剪力、扭轉(zhuǎn)角和撓度的獨(dú)立計算時可靠度

表3 空心圓柱懸臂梁3種不同系統(tǒng)可靠度

文獻(xiàn)[20]給出的在MC法計算得到懸臂梁屈服強(qiáng)度的可靠度為0.99519，本文方法計算的懸臂梁屈服強(qiáng)度可靠度為0.99519，顯然本文方法成立。另外，懸臂梁在服役條件要求較高的情況下，有時候會綜合考慮強(qiáng)度、剛度、變形量等諸多因素，只有在所有因素下不失效，懸臂梁才是可靠的。這時認(rèn)為懸臂梁應(yīng)該是串聯(lián)系統(tǒng)比較合理，取其可靠度為0.994 01是比較合理的。

4 結(jié)語

本文提出了區(qū)間參數(shù)串聯(lián)、并聯(lián)與k/n表決系統(tǒng)的可靠性計算方法，利用6σ原理，對區(qū)間參數(shù)和隨機(jī)參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了推導(dǎo)，給出了區(qū)間可靠性指標(biāo)與隨機(jī)可靠性指標(biāo)換算關(guān)系，將區(qū)間參數(shù)3種系統(tǒng)可靠性指標(biāo)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)參數(shù)3種系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)進(jìn)行計算，建立了區(qū)間參數(shù)3種系統(tǒng)的可靠度計算模型。最后利用兩個實(shí)際算例驗證了本文方法的合理性、實(shí)用性和適用性。