四級(jí)行星混合減速器Adams和Matlab聯(lián)合動(dòng)力學(xué)仿真

彭斌 ，王文奎 ，馬軍祥 ，冶振

(1. 蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050； 2. 航空工業(yè)蘭州萬(wàn)里航空機(jī)電有限責(zé)任公司 機(jī)電研究院， 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

相比于普通的定軸齒輪，行星齒輪具有結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比大、功率高等特點(diǎn)，且因其輸入和輸出同軸，能夠?qū)崿F(xiàn)功率分流兼具較高的穩(wěn)定性，在操作機(jī)構(gòu)、電動(dòng)裝置以及機(jī)器人系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用[1]。但隨著級(jí)數(shù)的增多，行星齒輪傳動(dòng)效率會(huì)降低，出現(xiàn)故障的概率也會(huì)增大，而影響其傳動(dòng)效率和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的因素有很多。孔令賢通過(guò)Adams仿真分析并研究齒側(cè)間隙與齒輪接觸阻尼比等非線性因素對(duì)其動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響[2]，SENSINGER J W闡述了行星傳動(dòng)的效率是傳動(dòng)比和齒數(shù)的函數(shù)[3]。王建湘等通過(guò)優(yōu)化變位系數(shù)和齒頂高系數(shù)，降低端面重合度以提高齒輪傳動(dòng)效率[4]。BODZS S綜合齒面的數(shù)學(xué)描述和CAD建模過(guò)程，提出了在局部坐標(biāo)下進(jìn)行逐點(diǎn)搜索的方法對(duì)齒面接觸進(jìn)行判斷[5]。劉曉樂等采用虛擬樣機(jī)技術(shù)，通過(guò)對(duì)比不同斷齒故障狀態(tài)下的嚙合力時(shí)域及頻域曲線，對(duì)兩級(jí)行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析[6]。齒輪減速器動(dòng)態(tài)接觸力和動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差的分析較為復(fù)雜且是對(duì)于系統(tǒng)整體性能影響較大的兩個(gè)因素。隨著機(jī)電一體化進(jìn)程的推進(jìn)，對(duì)減速器本身的理論分析已較為低效，所以通過(guò)對(duì)系統(tǒng)仿真模型的綜合分析和性能參數(shù)的評(píng)價(jià)及選取將更加合理有效。

本文所研究的對(duì)象是一種四級(jí)行星混合齒輪減速器，由直流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)。為了反映系統(tǒng)特性，建立包含電機(jī)模塊的控制模型，采用改進(jìn)的控制方法實(shí)現(xiàn)減速器輸出角位移、角速度的控制，并與常規(guī)PID控制進(jìn)行對(duì)比，分析驗(yàn)證該種控制算法的可行性。

1 建立三維模型

首先確立減速器整體結(jié)構(gòu)。采用四級(jí)行星齒輪外附加一定軸傳動(dòng)齒輪副，且行星齒輪主動(dòng)輪和電機(jī)輸出軸固聯(lián)，定軸齒輪軸連接負(fù)載。為了方便研究，忽略附加零部件，如軸承、密封圈、封裝外殼和緊固螺釘?shù)龋⑵湄?fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等效施加在定軸齒輪的質(zhì)心上。根據(jù)表1所示參數(shù)在Solidworks建立其三維模型，并進(jìn)行無(wú)干涉裝配，裝配體結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

表1 行星齒輪各項(xiàng)參數(shù)

1—第一級(jí)；2—第二級(jí)；3—第三級(jí)；4—第四級(jí)；5—定軸齒輪；6—行星輪；7—外齒圈；8—太陽(yáng)輪；9—電機(jī)。

2 混合輪系動(dòng)力學(xué)仿真模型

2.1 建立動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)普遍原理，可建立行星齒輪動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

將式(1)消去摩擦系數(shù)作進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

(2)

2.2 混合輪系間的接觸力

齒輪在運(yùn)行過(guò)程中因?yàn)橛辛瓦\(yùn)動(dòng)的傳遞而存在接觸和碰撞，在結(jié)構(gòu)參數(shù)不變的情況下量化齒輪之間的接觸力，在Adams/view中可通過(guò)補(bǔ)償法(restitution)和沖擊函數(shù)法(impackt)計(jì)算接觸力[7]。綜合考慮仿真實(shí)驗(yàn)狀況和計(jì)算簡(jiǎn)易性選擇后者，接觸力主要來(lái)自于兩構(gòu)件因相對(duì)切入而產(chǎn)生的彈性力和相對(duì)速度而產(chǎn)生的阻力，由Hertz接觸理論得

(3)

式中：K為剛度系數(shù)；m為剛性指數(shù)；δ為切入深度；λ為阻尼系數(shù)。

齒輪之間的撞擊可以看作兩圓柱體之間的撞擊問(wèn)題，而碰撞力特性參數(shù)可以從多個(gè)角度描述因齒輪碰撞而引起對(duì)系統(tǒng)的沖擊力。根據(jù)Hertz碰撞理論：

(4)

(5)

剛度系數(shù)取決于材料的種類和接觸位置的結(jié)構(gòu)形狀：

(6)

2.3 混合輪系虛擬樣機(jī)的建立

1)將Parasolid格式的SolidWorks裝配體導(dǎo)入Adams，新建模型MODEL_1。

2)新建連接：固定外齒圈，建立太陽(yáng)輪、行星架、定軸齒輪相對(duì)于大地的旋轉(zhuǎn)副、各銷軸與對(duì)應(yīng)行星架的固定副、各行星輪與對(duì)應(yīng)銷軸之間的旋轉(zhuǎn)副、各行星架和次級(jí)太陽(yáng)輪之間的固定副(花鍵連接)。

3)創(chuàng)建接觸：建立各級(jí)太陽(yáng)輪和行星輪、行星輪和外齒圈等齒輪之間的接觸，并設(shè)置接觸力特性參數(shù)，接觸類型為碰撞接觸，剛度K=1.0×10-5N/mm，剛度力指數(shù)m=2.2，阻尼λ=10N·s/mm，切入深度δ=0.1mm。

4)添加驅(qū)動(dòng)和負(fù)載:在第一級(jí)太陽(yáng)輪上添加驅(qū)動(dòng)(初級(jí)行星齒輪轉(zhuǎn)速)，并在定軸齒輪上添加一方向相反的負(fù)載。

在Adams中建立的虛擬樣機(jī)模型如圖2所示。

圖2 Adams虛擬樣機(jī)

3 混合行星輪系動(dòng)力學(xué)聯(lián)合仿真

3.1 參數(shù)設(shè)置

設(shè)輸入轉(zhuǎn)速：ωin≤8100r/min(48600°/s)(電機(jī)轉(zhuǎn)速)，輸出轉(zhuǎn)速：ωo≤2r/min(12°/s)，于1s時(shí)刻加定值負(fù)載轉(zhuǎn)矩0.15Nm，仿真時(shí)間設(shè)為3s,仿真步長(zhǎng)為0.001，允許的最大角位移誤差為1°,角速度誤差為0.3°/s。

1)設(shè)置積分求解器，采用GSTIFF作為動(dòng)力學(xué)積分器，積分格式選用13，積分允許最大誤差0.001。

2)創(chuàng)建數(shù)據(jù)接口，新建狀態(tài)變量，輸入：輸入轉(zhuǎn)速v_control、負(fù)載力矩MOTION；輸出：第四級(jí)行星齒輪架轉(zhuǎn)速v_MM、定軸齒輪轉(zhuǎn)速v_rotor以及它們對(duì)應(yīng)的輸出加速度aa_MM和a_rotor，編輯各參數(shù)的時(shí)域函數(shù)。

3)加載并激活插件Adams/Control，然后進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)導(dǎo)出，輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)如上所列，選擇目標(biāo)軟件：Matlab，分析類型為非線性[8]，如圖3所示。

圖3 導(dǎo)出機(jī)械系統(tǒng)界面

4)導(dǎo)出機(jī)械系統(tǒng)文件，在Matlab/Simulink中編輯控制系統(tǒng)，采用基于指數(shù)收斂感測(cè)器補(bǔ)償?shù)腜ID控制，如圖4所示。

圖4 基于指數(shù)收斂觀測(cè)器補(bǔ)償?shù)腜ID控制原理圖

3.2 電機(jī)模型及控制器的選擇

本文引入了直流伺服電機(jī)模型，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

(7)

式中：u為輸入電壓值；ω為輸出軸(燈具)轉(zhuǎn)速；S為拉氏算子。

PID控制結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性強(qiáng)，廣泛應(yīng)用于伺服系統(tǒng)中。為了提高控制系統(tǒng)的收斂速度和抗干擾能力，采用指數(shù)收斂觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行反饋補(bǔ)償，觀測(cè)器或估計(jì)器的基本思想是用估計(jì)輸出與實(shí)際輸出的差值對(duì)實(shí)際輸出進(jìn)行修正和補(bǔ)償。

考慮SISO系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程

(8)

(9)

觀測(cè)器為

(10)

(11)

對(duì)于控制器的調(diào)節(jié)首先等效建立簡(jiǎn)易控制模型，將減速器用比例系數(shù)和積分器組合代替，然后進(jìn)行調(diào)節(jié)，如圖5所示。

圖5 理想控制模型

在選用相同的控制參數(shù)下(比例、積分、微分參數(shù)分別為：Kp=10，Ki=0.01，Kd=2；階躍值為5°)，于電機(jī)模型輸入端添加了干擾電信號(hào)3V，如圖6所示。

圖6 階躍響應(yīng)曲線

通過(guò)圖6可以發(fā)現(xiàn)：相對(duì)于普通的PID控制，當(dāng)加入了高階指數(shù)收斂觀測(cè)補(bǔ)償器時(shí)，在響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度基本不變的情況下，后者的超調(diào)量較大，但超調(diào)可以通過(guò)進(jìn)一步的調(diào)節(jié)進(jìn)行消減，而后者的突出點(diǎn)在于成功消除了干擾信號(hào)。

3.3 仿真結(jié)果分析

1)圖7為仿真角位移和理論計(jì)算值的誤差變化曲線。

圖7 定軸齒輪角位移誤差曲線

從圖7中可以看出除了起始階段的沖擊響應(yīng)以外，誤差都較穩(wěn)定地保持在±1°以內(nèi)，符合設(shè)定的誤差標(biāo)準(zhǔn)。

2)根據(jù)如下傳動(dòng)比公式：

(12)

在角速度階躍輸入下，因初始階段較大的速度突變產(chǎn)生了一定的沖擊，當(dāng)處于穩(wěn)定傳動(dòng)狀態(tài)時(shí)，維持一定幅度的波動(dòng)，如圖8所示，定軸齒輪平均角速度為10.19°/s，與理論計(jì)算結(jié)果10.19°/s相符，滿足誤差最大允許值0.3°/s。而通過(guò)對(duì)輸出角加速度曲線(圖9)進(jìn)行快速傅里葉變換，得到其頻域曲線。因多種頻率成分的疊加，無(wú)法從中直接獲取輸出齒輪的頻率特性和某單個(gè)齒輪的振動(dòng)特性。因此，本文通過(guò)對(duì)齒輪間嚙合時(shí)接觸應(yīng)力的時(shí)頻特性曲線來(lái)作分析。

圖8 定軸齒輪角速度曲線

圖9 定軸齒輪角加速度曲線

3)在2K-H型行星齒輪中，根據(jù)力平衡原理，因?yàn)?/p>

FaXRX=FbXRX，得

FHX=FaX+FbX=2FaX，即3F′aX=3FHX；

式中：FaX為太陽(yáng)輪和行星輪之間的接觸力；FbX為行星輪和外齒圈之間的接觸力；RX為行星輪的節(jié)圓半徑；FHX為行星架上的銷軸對(duì)行星輪的作用力；F′aX為第4級(jí)行星輪和太陽(yáng)輪之間的接觸力；Z、n分別為太陽(yáng)輪、行星輪的齒數(shù)和轉(zhuǎn)速。

圖10、圖11分別為第2級(jí)行星齒輪(隨機(jī)選擇)和太陽(yáng)輪在x軸方向的接觸力和它的幅頻特性曲線，接觸力大小均勻波動(dòng)，基本符合力平衡原理，且接觸力峰值頻率5.37Hz和理論計(jì)算值5.22Hz接近。圖12、圖13分別為第3級(jí)行星齒輪和太陽(yáng)輪在x軸方向的接觸力和幅頻特性曲線，其波動(dòng)頻率降低，接觸力峰值頻率0.97Hz同樣接近理論值1.02Hz，而第3級(jí)行星齒輪與外齒圈的接觸力和對(duì)應(yīng)幅頻特性曲線和圖12、圖13基本相同，僅相位角不等，從而得出行星輪與太陽(yáng)輪和行星輪與內(nèi)齒圈的接觸頻率相等，皆為所在級(jí)別的行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。從建模和仿真經(jīng)驗(yàn)得：裝配精度越高，接觸力的幅值分布越均勻，且峰值越小。而該方式僅適應(yīng)于粗略測(cè)試，對(duì)于精度要求較高的傳動(dòng)則需要進(jìn)一步縮小步長(zhǎng)，通過(guò)嚙合頻率來(lái)精確測(cè)試。

圖10 第2級(jí)行星輪-內(nèi)齒圈接觸力曲線

圖11 第2級(jí)行星輪-內(nèi)齒圈接觸力幅頻特性曲線

圖12 第3級(jí)行星輪-太陽(yáng)輪接觸力曲線

圖13 第3級(jí)行星輪-太陽(yáng)輪接觸力幅頻特性曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合三維建模、虛擬樣機(jī)動(dòng)力學(xué)仿真和Simulink控制系統(tǒng)仿真，建立了結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的四級(jí)行星混合減速器直流伺服電機(jī)控制系統(tǒng)，借助Simulink虛擬控制器和Adams后處理功能對(duì)部分特性參數(shù)在時(shí)域和頻域內(nèi)作了檢測(cè)和分析，驗(yàn)證了基于指數(shù)收斂觀測(cè)器補(bǔ)償PID控制在此聯(lián)合仿真系統(tǒng)中的成功運(yùn)用，為復(fù)雜模型設(shè)計(jì)和故障診斷提供了一種機(jī)電一體化建模和分析思路。

遺留問(wèn)題：1)雖然建立了齒面接觸模型，但未考慮摩擦因素和啟動(dòng)慣性問(wèn)題；2)尚未驗(yàn)證其他控制算法，進(jìn)而突出該控制算法的優(yōu)越性；3)速度階躍響應(yīng)下，沒有嚴(yán)格考慮到位置的實(shí)時(shí)精度。