基于線性自抗擾的四旋翼姿態控制研究

周輝，李秀娟，張濟森，蘇子康

(南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

四旋翼無人機是一個有著非線性、軸間耦合、欠驅動等特點的多輸入多輸出系統。在擾動環境下，其飛行品質會持續惡化，從而影響飛行安全性。故設計一個具有高品質的四旋翼飛行控制系統非常必要[1]。

目前主流的控制算法有PID控制算法、反步控制算法、模糊控制算法、滑模控制算法、魯棒控制算法、自適應控制算法和自抗擾控制算法等。GONZLEZ-VZQUEZ S 設計了新型非線性PI/PID控制器，實現了四旋翼飛行器的姿態控制，對穩態誤差具有一定的抑制作用，但魯棒性和抗干擾性一般[2]。XU G H等將PID與神經網絡結合，利用神經網絡的自學習和自適應來自主調節PID控制參數，能夠提高四旋翼飛行器的動態特性，減小穩態誤差[3]。MADANI T等將飛行器模型分成3個子系統，采用Backstepping控制算法實現了軌跡跟蹤控制，但對模型的精度要求高、結構復雜[4]。ZEGHLACHE S等利用模糊控制和滑模控制相結合來抑制抖振問題，能夠穩定控制飛行器，但模糊控制運算量大，實際工程中實現較為困難[5]。李俊芳等針對四旋翼飛行過程中會受到外部擾動和參數不確定性的不足，設計了高階滑模姿態控制器，并利用動態面內模法設計位置控制器，能夠有效抑制白噪聲，但并未驗證抑制參數不確定性的效果[6]。楊柳等針對外部擾動和質量不定的問題，通過自適應控制進行在線更新估計補償項，能在一定程度上有效地抵消不確定性，但其設計復雜，系統穩定性不易保證[7]。

鑒于四旋翼飛行器工作時易受到外界擾動和內部不確定的干擾，許多學者與研究人員開始考慮利用自抗擾控制(active disturbance rejection controller, ADRC)設計控制器[8]，并驗證了自抗擾控制器具有良好的魯棒性和抗干擾能力，但是參數整定過于復雜，實際工程項目中不易實現[9-10]。GAO Z Q在繼承原將線性化和帶寬的概念引入ADRC，提出了線性自抗擾控制(linear active disturbance rejection controller, LADRC)，能夠方便進行參數整定[11]。

本文以260kg電動四旋翼飛行器為研究對象，將線性自抗擾控制運用在大型電動四旋翼的姿態控制上，來進行姿態解耦控制。首先對槳葉進行受力分析得到誘導速度模型；再結合紊流風場模型建立了風擾下的四旋翼動力學模型；然后根據建立的動力學模型設計基于線性自抗擾控制的姿態控制控制器，并證明其穩定性；最后對設計的線性自抗擾姿態控制器進行仿真驗證。

1 四旋翼飛行器動力學模型

四旋翼飛行器由于其復雜的動力學特性，在飛行時會受到很多物理效應的影響。要建立準確的四旋翼飛行器的數學模型非常困難，并且過度復雜的數學模型不利于控制算法的設計。為了簡化問題，本文在基于以下合理假設的情況下進行分析模型：1)四旋翼飛行器忽略彈性震動及形變；2)飛行器結構對稱，幾何外形和質量分布均對稱；3)不考慮飛行器質量變化，質心和中心重合，位于機體坐標系的縱軸上；4)地面坐標系是慣性坐標系，忽略地球自轉和公轉。電動四旋翼飛行器結構如圖1所示。

圖1 260 kg電動四旋翼結構圖

1.1 紊流風場模型

根據文獻[12]可知，紊流信號的傳遞函數為：

(1)

(2)

(3)

式中：ku、kv、kw為紊流強度；Lu、Lv、Lw為紊流尺度；Vu、Vv、Vw表示四旋翼當前飛行速度在機體軸上的3個分量。

1.2 紊流風擾下的四旋翼非線性動力學模型

電動四旋翼飛行時，起到主要作用的是旋翼受到的拉力T、反轉矩Q和風產生的阻力W，根據動力理論與葉素定理，可得：

(4)

(5)

其中系數cT和cQ定義為正常數，它們與S、r和ρair存在關系，可以通過靜態拉力(旋翼旋轉切割空氣，會產生垂直于旋翼槳面的力，稱為拉力或者升力)實驗獲得。

對于四旋翼飛行器，按照順時針的方向給4個螺旋槳定義編號為1、2、3、4。在機身支撐臂和機體坐標系xb軸之間，旋翼有一個相關聯的夾角Θ，大型電動四旋翼是“X”型結構，所以Θ=45°。

在無風擾環境下受到的總拉力、俯仰力矩、滾轉力矩和偏航力矩為：

(6)

式中d為旋翼中心到機體坐標原點的距離，即軸半徑。由式(6)給出的“X”型四旋翼飛行器的總升力與力矩和電機轉速之間的關系，由于四旋翼在風場中飛行會受到風場額外產生的風阻力和風阻力矩，并且氣動阻力和氣動阻力矩與飛行器的相對來流速度有關。根據式(4)中后3個式子，可得風擾力矩為

(7)

由于歐拉角的速度和機體旋轉速度的關系為

(8)

則根據牛頓力學定律，角動力學模型為

(9)

式中u1-u4分別為：

(10)

式(9)和(10)式中：Ix、Iy、Iz分別為x、y、z軸上的轉動慣量；φ、θ、ψ分別為滾轉角、俯仰角和偏航角；u1-u4為垂直、滾轉、俯仰和航向通道操縱量。

結合式(7)和式(9)，可得風擾下的四旋翼飛行器角動力學模型如下：

(11)

2 線性自抗擾控制器設計

從式(11)可知四旋翼是一個多輸入多輸出非線性耦合系統。改變一個通道的狀態會使得其他通道的狀態也發生變化，這種耦合對于四旋翼飛行器的姿態控制不利，需要對其進行解耦。將式(11)中3個方程的第2項當作耦合項，記為fi(i=2,3,4)歸到四旋翼飛行器內部擾動中，風場帶來的擾動，即式(11)的第3項記為fW。總擾動fi+fW對四旋翼的姿態控制影響很大，所設計的控制器需要能夠對其進行抑制和補償。基于線性自抗擾姿態控制器的研究目標為通過設計的控制器能夠實時估計四旋翼飛行器所受到的總擾動(四旋翼飛行器內部擾動與外部環境擾動之和)，并進行反饋補償以及保證系統輸出在有限時間內能夠跟蹤上姿態角和姿態角速度。

在設計線性自抗擾控制器之前，需要對式(11)進行簡化改寫處理，將式(11)轉換為

(12)

以滾轉通道為例，根據自抗擾控制原理可將式(12)中第1項改成“積分串聯”型線性系統，如式(13)所示。

(13)

滾轉角線性自抗擾控制器結構圖如圖2所示，其中總擾動主要是外部風擾和內部參數不確定性，會對四旋翼的轉速造成影響，進而影響四旋翼的姿態。

圖2 滾轉角線性自抗擾控制器結構圖

2.1 線性擴張狀態觀測器

線性擴張狀態觀測器是線性自抗擾控制的核心部分，作用是根據系統輸入、輸出實時估計系統狀態及影響輸出的總擾動，估計的擾動被稱為擴張的狀態。當系統輸入為滾轉角時，線性擴張狀態觀測器既能夠在有限時間內跟蹤、估計四旋翼的滾轉角及其微分信號，又能夠實時估計系統受到的總擾動。滾轉角線性擴張狀態觀測器為

(14)

2.2 線性跟蹤微分器

輸入的滾轉角給定信號φd往往是不光滑的，但系統輸出的滾轉角信號φ是光滑的。當φd發生階躍變化時，這會導致輸入、輸出之間誤差的初始值非常大，控制器的控制量也會隨之變得很大，對系統造成很大的沖擊，從而產生超調或者振蕩。通過線性微分器對輸入的姿態角信號安排過渡過程，選取出適當的參數，可以使得輸出快速且無超調，能夠解決PID控制算法中快速性和超調之間的矛盾，同時也可以預防輸入信號的突變，提高控制系統的魯棒性。滾轉角線性跟蹤微分器為

(15)

式中：φd是滾轉角給定值，φd1是軟化后的滾轉角給定值，φd2是φd1的微分信號，這些信號用于后面線性狀態誤差反饋控制器的設計；rφ是滾轉通道的快速因子，用于調節安排過渡過程的快慢。

2.3 線性狀態誤差反饋控制器

(16)

式中：e1φ、e2φ分別是線性擴張狀態觀測器的滾轉角和滾轉角速率的估計值與線性跟蹤微分器安排過渡過程之后的滾轉角指令信號及其微分信號之間的誤差；k1φ、k2φ是反饋控制參數；ui(i=φ,θ,ψ)是滾轉角誤差反饋操縱量。

俯仰通道和偏航通道設計過程與之類似，不再贅述。

2.4 穩定性證明

利用被控對象式(12)跟蹤姿態角有界輸入信號v和線性擴張狀態觀測器的輸出[z1,z2,z3]，作如下的反饋控制：

(17)

將式(17)帶入式(12)，則有

(18)

(19)

將式(19)寫成狀態矩陣形式，則有

(20)

式中：

證明定理1：對式(20)求解方程，可得

(21)

已知矩陣Ae，可以選擇合適的參數使得它有兩個不同的特征值λ1、λ2，對矩陣Ae進行對角化處理，則有

Ae=pdiag{-λ1，-λ2}p-1

(22)

對于任意t>0，則有

(23)

(24)

式(24)右側第一項，當t→∞時，其極限為0，第二項由于a的任意性，所以

(25)

(26)

因此證得線性自抗擾控制器能夠使得閉環系統式(20)的跟蹤誤差趨于0。

3 姿態控制仿真驗證

為了驗證線性自抗擾控制器抑制擾動的能力，在Matlab/Simulink環境下進行驗證。通過物理測量，四旋翼飛行器參數見表1，線性自抗擾姿態回路控制參數見表2。

表1 四旋翼飛行器結構參數

表2 線性自抗擾控制器控制參數

首先驗證姿態控制器在系統參數不確定時的控制效果，仿真條件設置為：四旋翼在空中5m處懸停，系統初始3個姿態角都為0°，指令信號為1°，將飛行器質量增加15%，轉動慣量Ix、Iy減少10%，Iz增加10%，使一號旋翼的拉力系數減少10%，在此情況下得到在參數不確定性時的滾轉角、俯仰角和偏航角響應曲線圖如圖3所示。從圖中可知，滾轉角、俯仰角在初始階段經過5～10s的短暫調整就能進入穩定狀態，系統響應的超調很小，跟蹤誤差趨近于0；偏航角受到的影響相比于滾轉角和俯仰角，能以更快的速度有效跟蹤指令信號并達到穩定狀態，超調很小，幾乎可以忽略不計。線性自抗擾控制器具有良好的抑制參數不確定性的能力。

圖3 參數不確定性時的姿態角響應圖

然后驗證在紊流風擾的情況下線性自抗擾對風擾的抑制作用，并與PID控制進行對比。圖4和圖5分別為懸停狀態時姿態角采用LADRC和PID控制時受到紊流風擾影響時的姿態角曲線圖。由于四旋翼對稱的結構，故不考慮紊流風方向，取紊流風向為正風向，紊流風速VW大小為1m/s和0.5m/s，將其按照體軸系進行分解可得u、v、w3個方向上的紊流風分量Vu、Vv、Vw。由圖可知，風擾主要影響滾轉角和俯仰角。由于線性自抗擾出色的抗干擾性能，使得在懸停狀態下滾轉角和俯仰角波動在±0.2°以內，偏航角的波動幾乎為0，可忽略不計，比PID抑制紊流的能力更強。因此，在紊流風擾下，所設計的控制器具有更好的抗干擾性和穩定性。

圖4 紊流下LADRC姿態角曲線圖

圖5 紊流下PID姿態角曲線圖

4 結語

仿真驗證結果表明，所建立的風擾下260kg電動四旋翼無人機動力學模型能夠較為準確地反映其強耦合性，易受到參數不確定性和紊流風擾的影響。所設計的線性自抗擾姿態控制器對參數不確定性和紊流風擾表現出良好的抑制作用。