機械課程中機構自由度計算的虛約束問題教學探討*

摘" 要" 機構自由度的分析是機械系統運動學和動力學研究的基礎，也是機械工程專業及相關專業機械課程的重要學習內容。在機構自由度的分析中，由于虛約束存在的多樣性、復雜性、隱蔽性，部分教師和大多數學生難以真正掌握虛約束的本質特性，經常出現機構自由度計算錯誤的現象，嚴重制約了教學質量的提高和學生對機構特性的理解。因此，針對機構自由度計算時的虛約束問題開展教學方法的研究探討，具有重要的現實意義。

關鍵詞" 機械課程；機構自由度；虛約束

中圖分類號：G642" " 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）10-0113-04

0" 引言

機構自由度的分析計算是機械原理[1]、機械設計基礎[2]、機器人學[3-4]等機械方面課程的重要內容，由于機構自由度分析存在諸如局部自由度、復合鉸鏈、虛約束等問題，教師教學和學生學習都存在不同程度的困難。特別是機構自由度分析計算時的虛約束問題，更是部分教師和大多數學生學習相關課程的棘手難題[5]。因此，針對機構自由度分析計算及虛約束的本質特性問題開展教學方法探討，對提升諸如機械原理[6-7]、機械設計基礎[8]、機器人學[9]等課程的教學質量具有重要意義。

1" 機構自由度的定義及其注意事項

1.1" 理清歷史脈絡，掌握自由度內涵

教師授課時可首先由機構自由度的發展歷程出發，簡要介紹從俄國數學家和機械學家Chebyshev提出機構自由度計算公式150年來，國內外學者如Sylvester、Grübler、Hochman、Kutzbach、Wal-dron、張啟先、黃真等開展機構自由度研究的概況，讓學生了解機構自由度分析的淵源及其重要性；接著，引出機構自由度的定義為機構具有獨立運動參數的數目[1]，即為了使機構的位姿得以確定必須給定的機構獨立廣義坐標的數目，促使學生深刻理解機構自由度的內涵；最后，通過闡述機構自由度分析的復雜性以及目前機構自由度計算公式與方法，繼而給出《機械原理》《機械設計基礎》等教材中

普遍采用的機構自由度計算公式，即Grübler-Kutz-bach（G-K）公式。平面機構自由度計算公式：

F=3n-2PL-PH" " " " " " （1）

空間機構自由度計算公式：

這里，F為機構自由度，n為機構中活動構件的數目，PL為低副數目，PH為高副數目，Pi（i=1，2，…，5）為具有i個約束的運動副數目。

也可將平面機構自由度計算公式（1）和空間機構自由度計算公式（2）統一表示為：這里，d為機構的階數，d=6-λ，λ為機構的公共約束數（如對于一般形式的空間機構，λ=0、d=6；對于平面機構和球面機構，λ=3、d=3；等等）。

1.2" 簡單實例示范，動畫輔助理解

為了便于學生深入理解和應用機構自由度公式（1）～（3），可由四桿機構、平面串聯機器人機構等簡單實例入手進行教學分析，使學生初步掌握機構自由度的分析與計算。接著，通過引入滾子凸輪機構、圓盤鋸床機構[2]、機車驅動輪聯動機構[2]及其機構動畫演示等，闡述實際機械機構自由度計算的復雜性，進一步講述機構自由度計算時應注意的問題，即復合鉸鏈、局部自由度和虛約束等。其中，虛約束（也稱冗余約束或過約束）是指機構中某些運動副的構件或支鏈引入的約束對機構的運動只起重復限制作用的約束。由于虛約束存在多樣性、復雜性和隱蔽性，使得部分教師和大多數學生都難以真正掌握虛約束的本質特性，經常出現機構自由度分析錯誤的現象，實為機構自由度分析計算時的棘手問題。

2" 機構虛約束的主要形式及本質特性

2.1" 歸納常見結構，助力虛約束識別

在機構自由度分析計算時應注意的三項問題中的復合鉸鏈和局部自由度事項，一般情況較容易理解和掌握，而虛約束問題在理解上以及熟練應用方面則往往存在較多困難。為了便于掌握機構自由度分析計算時的虛約束問題，表1給出機構中常見虛約束的形式以及處理辦法。由表1常見虛約束的形式以及虛約束的定義可知，虛約束的本質特性體現在其對機構的運動不起限制作用（或重復約束），或其無論有無都不改變機構的運動軌跡。根據虛約束的前述本質特性，在分析計算機構自由度時，可采取試拆除的方法檢驗機構中是否存在虛約束。

2.2" 典型實例分析，認知虛約束本質

為了說明機構中虛約束的本質特性，給出雙滑塊橢圓機構（如圖1所示）以及空間3-RRC并聯機構（如圖2所示），進行含有虛約束機構的自由度分析計算。圖1中的橢圓機構在結構上滿足：AC垂直于AD，構件1的長度為構件2長度的一半，且點B處于構件2的中點，也即BC間距離、BD間距離以及AB間距離皆相等。當此機構運動一個周期時，構件2上點D的運動軌跡為x軸上的一個直線段，點C的運動軌跡為y軸上的一個直線段，點B的運動軌跡則落在以A為圓心、以AB長度為半徑的圓上，構件2上除點B、點C和點D外的其余各點的運動軌跡皆為橢圓，這也是稱此機構為橢圓機構的原因。

若不考慮虛約束的影響，根據式（1）計算，則圖1中橢圓機構的自由度為零，顯然是錯誤的。那么，圖1中的橢圓機構的虛約束究竟存在于什么地方？在一些《機械原理》教材或書籍中指出，點C或點D處的滑塊及轉動副為虛約束之一，這對虛約束的認知存在一定錯誤。機構虛約束的本質是有無其的存在，機構的運動或軌跡皆不改變，也就是說，若把引入虛約束的結構部分拆除，機構的運動或軌跡不會改變。因此，圖1中橢圓機構的真正虛約束部分是構件1及點A和點B處的轉動副部分（其對機構引入的約束，與點C和點D處滑塊及轉動副對機構共同引入的約束重復）。顯然，假想把構件1拆除后，構件2上點B的軌跡及機構的運動皆不改變。

若把點C或點D處的滑塊及轉動副作為對應虛約束之一，將其拆除后，看似點C或點D處的運動軌跡沒有改變，但對整個機構或整個運動周期而言，原橢圓機構則變為曲柄滑塊機構，顯然整個機構的運動特性都改變了。所以，圖1中的橢圓機構的虛約束部分為構件1及點A和點B處的轉動副，而不是點C或點D處滑塊及其轉動副為對應重復虛約束之一。

假想把構件1及點A和點B處的轉動副拆除后，根據式（1）或式（3），可計算圖1中橢圓機構的自由度為：F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1。

圖2中的3-RRC并聯機構由動、靜平臺和結構相同的三個運動支鏈組成，每個支鏈中皆包含兩個轉動副（記為R）和一個圓柱副（記為C），且轉動副與圓柱副的軸線相平行。由于3-RRC并聯機構中的每條支鏈皆約束限制了動平臺繞豎直軸線的轉動，因此，此機構存在一個公共約束，即λ=1，可得此機構的階數為d=6-λ=6-1=5。

同時，3-RRC并聯機構的三個運動支鏈中，存在一條支鏈為虛約束（因為三個支鏈對動平臺繞水平面的兩個轉動自由度的約束，與兩個支鏈對動平臺繞水平面的兩個轉動自由度的約束等同）。所以，計算此機構的自由度時，可采取假想拆除一個支鏈的方式進行，即：

可見，機構虛約束的存在形式是多種多樣的，對機構引入虛約束的元素可能是運動副、構件、重復結構或支鏈等，但只要抓住虛約束的本質特性，即有無其的存在，機構的運動或軌跡不變，就可以深刻理解和掌握虛約束以及機構自由度分析計算。

3" 結束語

針對機構自由度分析計算時虛約束難以理解和掌握的情況，進行機構虛約束特性分析，給出機構虛約束的常見形式及處理方法，并通過實例進行機構虛約束詳細分析，以更正對機構虛約束和自由度計算的認知錯誤。

參考文獻

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[2] 楊可楨，程光蘊，李仲生，等.機械設計基礎[M].6版.北京：高等教育出版社，2013.

[3] 劉善增.少自由度并聯機器人機構動力學[M].北京：科學出版社，2015.

[4] 克拉格.機器人學導論[M].贠超，譯.北京：機械工業出版社，2005.

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[6] 劉善增，李艾民，馮世哲，等.增強機械類基礎課程教學效果方法探討[J].中國教育技術裝備，2017（4）：83-85.

[7] 劉善增，馮世哲，付順玲，等.機械類基礎課程師生共進式有效教學策略分析[J].中國教育技術裝備，2017（20）：100-102.

[8] 劉善增.基于雙一流建設的機械工程專業機械原理課程教學新思考[J].中國教育技術裝備，2019（24）：113-114，117.

[9] 劉善增.機器人工程專業機械原理課程教學思考[J].中國教育技術裝備，2019（22）：105-106，113.

*項目來源：江蘇高校品牌專業建設工程資助項目（TAPP，項目編號：PPZY2015B120）。

作者：劉善增，中國礦業大學機電工程學院，副教授，研究方向為機構學與機器人技術（221116）。