多狀態(tài)燃?xì)怆娏尚尴到y(tǒng)主算子的性質(zhì)

唐 慧，楊翔宇

(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130032)

0 引言

多狀態(tài)可靠性模型能夠更真實(shí)、更精確地描述工程系統(tǒng)，多狀態(tài)可靠性模型逐漸成為可靠性領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題.目前多狀態(tài)可修系統(tǒng)分析方法有很多，如史躍東等[1]以模糊多狀態(tài)船用汽輪發(fā)電系統(tǒng)為研究對象，利用模糊狀態(tài)理論和發(fā)生函數(shù)算法建立了一種復(fù)雜裝備系統(tǒng)的模糊多狀態(tài)可靠性模型，給出了系統(tǒng)可用度的評估.史躍東等[2]針對時變需求約束下多狀態(tài)裝備系統(tǒng)，通過構(gòu)建邏輯報酬矩陣體系給出了一種系統(tǒng)可靠性累計特征分析與評估的通用解算方法.張婷婷等[3]利用離散馬爾可夫過程方法研究了一個具有M+1個狀態(tài)的系統(tǒng)，并給出在狀態(tài)i時的可靠度函數(shù)、平均壽命以及剩余壽命的解析表達(dá)式.王麗花[4]、EI-DAMCESE[5]、MANGEY[6]等根據(jù)系統(tǒng)實(shí)際假設(shè)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，結(jié)合廣義馬爾可夫過程理論建立了一個系統(tǒng)狀態(tài)微分方程組，并給出了穩(wěn)態(tài)可用度及其數(shù)值算例.目前相關(guān)研究多注重于系統(tǒng)可靠性特征分析，而對于系統(tǒng)模型的分析較少.基于此，本文在文獻(xiàn)[6]基礎(chǔ)上對系統(tǒng)模型的主算子進(jìn)行分析，并利用共尾理論和算子半群理論證明了系統(tǒng)主算子的譜上界與其生成半群的增長界相等.

1 系統(tǒng)模型

利用補(bǔ)充變量方法和馬爾可夫過程理論，MANGEY[6]給出了由發(fā)電機(jī)、燃?xì)廨啓C(jī)、壓縮機(jī)、燃燒室、燃料和噴嘴等六個不同的部件組成的多狀態(tài)燃?xì)怆娏尚尴到y(tǒng)模型.該系統(tǒng)包含三種狀態(tài)，即良好狀態(tài)、退化狀態(tài)和故障狀態(tài).系統(tǒng)只有一個修理設(shè)備，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時，可由修理設(shè)備對其進(jìn)行修復(fù)，并且系統(tǒng)修復(fù)如新.在初始階段，假設(shè)系統(tǒng)所有部件都處于良好狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如圖1所示.

圖1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

系統(tǒng)狀態(tài)說明：狀態(tài)0表示所有組件良好且均正常工作，即狀態(tài)為良好狀態(tài)；狀態(tài)1表示壓縮機(jī)故障，故障率為λCP，其他部件正常工作，即系統(tǒng)處于退化狀態(tài)；狀態(tài)2表示燃燒室故障，故障率為λCB，其他部件正常工作，即系統(tǒng)處于退化狀態(tài)；狀態(tài)3表示輔助燃?xì)廨啓C(jī)故障，故障率為2λGT，其他部件正常工作，即系統(tǒng)處于退化狀態(tài)；狀態(tài)4表示噴嘴故障，故障率為λNZ，其他部件正常工作，即系統(tǒng)處于退化狀態(tài)；狀態(tài)5表示由于人為故障而導(dǎo)致的故障狀態(tài)，人為故障率為λH；狀態(tài)6表示由于缺失燃料而導(dǎo)致的故障狀態(tài)，燃料的可用性故障率為λNF；狀態(tài)7表示由于發(fā)電機(jī)故障而導(dǎo)致的故障狀態(tài)，發(fā)電機(jī)故障率為λG；狀態(tài)8表示由于主燃?xì)廨啓C(jī)故障而導(dǎo)致的故障狀態(tài)，主燃?xì)廨啓C(jī)故障率為λGT.

此系統(tǒng)模型可以由下面的微積分方程組描述：

邊值條件：

P5(0,t)=λH[P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)],
P6(0,t)=λNF[P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)],
P7(0,t)=λG[P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)],
P8(0,t)=λGT[P1(t)+P2(t)+P3(t)+P4(t)].

初值條件：

P0(0)=1，其余為0.

其中，Pi(t)表示時刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率，i=0,1,2,3,4；Pj(x,t)表示時刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)j且修復(fù)時間為x的概率，j=5,6,7,8；λG表示部件發(fā)電機(jī)的故障率；λGT表示部件燃?xì)廨啓C(jī)故障率；λCP表示部件壓縮機(jī)故障率；λCB表示部件燃燒室故障率；λNF表示燃料的可用性故障率；λNZ表示部件噴嘴故障率；λH表示人為故障率；μ表示狀態(tài)j到良好狀態(tài)的修復(fù)率.

其中,a0=λH+λCP+λCB+2λGT+λNZ+λNF，a1=a2=a3=a4=λG+λH+λGT+λNF，Pj(x)絕對連續(xù),j=5,6,7,8，D(B)=X.因此系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為Banach空間X中的抽象Cauchy問題：

2 系統(tǒng)主算子性質(zhì)

定義1 設(shè)集合C為集合E的子集，若對任意的f∈E，存在g∈C，使得f≤g，則稱C在E中共尾.

定義3 設(shè)B是一個正的C0半群(T(t))t≥0的生成元，則稱

為算子B的增長界.

定理1D(A)在X中稠.

定理2 主算子A是預(yù)解正算子.

證明 對于任意的Y∈X，考慮算子方程(γI-A)P=Y，即

(γ+ai)Pi=yi,

解上述方程可得

其中，i=0,1,2,3,4,j=5,6,7,8.

結(jié)合邊界條件，可得

定理3 當(dāng)γ≥-μ時，γ∈ρ(A).

同理，

綜上可知，

定理4 當(dāng)γ<-μ時，γ∈σ(A)，并且s(A)=-μ.

由文獻(xiàn)[9]易知，X的對偶空間X*如下：

定理5 主算子A的對偶算子A*為

其中，Qj(x)∈L∞(R+)絕對連續(xù).

證明 對?P∈D(A)，?Q∈X*，有

[-(λH+λCP+λCB+2λGT+λNZ+λNF)Q0+λHQ5(0)+λNFQ6(0)]P0+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q1+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P1+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q2+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P2+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q3+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P3+

[-(λG+λH+λGT+λNF)Q4+λHQ5(0)+λNFQ6(0)+λGQ7(0)+λGTQ8(0)]P4+

定理6 系統(tǒng)的主算子A生成一個正的C0半群，并且s(A)=ω(A)=-μ.