彎曲鋼梁正應力和撓度的試驗與數值模擬*

陳 鍇，姚子謙，謝梓郁，陳 麗

(1.福州大學 至誠學院 環境資源工程系，福建 福州 350002；2.福州大學 至誠學院 材料工程系，福建 福州 350002)

在實際工程問題中，有很多桿件是承受彎曲變形的，為保證彎曲構件正常工作，不但要求構件有足夠的強度，還要求有足夠的剛度。例如，橋式起重機梁在起吊重物后若其彎曲變形過大，會使小車行走困難，出現爬坡現象；汽車輪軸上的疊板彈簧是利用其彎曲變形來緩和車輛受到的沖擊和振動，這時要求彈簧有較大的變形[1]，因此為了限制或利用彎曲構件的變形，并滿足正常使用極限狀態的要求，應研究構件的彎曲變形規律，合理計算使用載荷下構件的應力和撓度[2-4]。

目前，許多學者基于彈性力學的方法對各類梁發生純彎曲時的變形規律進行了理論分析與計算，但通過理論分析、實驗驗證和模擬仿真三者相結合的方式對梁發生純彎曲和橫力彎曲時變形規律的研究相對較少，實驗結合模擬計算是目前科學研究的重要方法[5-8]，因此本文使用多功能組合實驗裝置和靜態數字應變儀對矩形截面梁在彈性范圍內進行純彎曲試驗，測定沿其橫截面高度的正應變分布規律，進一步對截面上應力分布規律進行研究。同時應用ANSYS有限元軟件對3種截面梁的彎曲過程進行有限元仿真模擬[9-11]，采用理論推導法、實驗法和有限元模擬法三者相結合的方式，驗證仿真模擬結果的準確性；采用模擬仿真法計算不同截面梁發生彎曲時的正應力和撓度，其結果能為實際工程的應用提供有意義的參考。

1 純彎曲梁試驗方法

試驗使用多功能組合實驗裝置和靜態數字應變儀(見圖1)，采用螺旋推進和機械加載方法。當增加壓力ΔP時，梁的受力點處分別增加作用力ΔP/2。梁材料彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.28，跨度L=370 mm，橫截面尺寸c=15 mm，h=25 mm，a=125 mm，簡支梁如圖2所示；為了測量梁純彎曲時橫截面上的應變分布規律，在梁純彎曲段側面各點沿橫截面高度方向布置5片應變片，3#在h/2處，2#和4#在上下對稱于3#的h/4處，1#和5#在梁的上下表面(見圖2)。

圖1 純彎曲梁實驗裝置

圖2 梁上應變片的分布位置

2 試驗和理論結果分析

2.1 正應力

試驗時采用等量逐級加載，增加壓力ΔP=300 N，Pmax=2 100 N，每增加ΔP，測得梁沿高度各點處的軸向應變，由單向應力狀態胡克定律公式σ=E·ε，求得各點處應力試驗值。

2.2 撓度

根據材料力學理論可知，當圖1所示簡支梁AB上只有一個載荷F作用時，利用積分法可得梁撓曲線方程：

當0≤x≤a時，

(1)

當a≤x≤L時，

(2)

式中,b=L-a；w為撓度值；x為梁上任一點至A端的水平距離。圖1所示簡支梁AB在2個載荷ΔP/2作用下，梁撓曲線方程可利用疊加法求得。

2.3 結果分析

矩形截面梁純彎曲段各測點正應力增量的實測值與理論值見表1。

表1 矩形截面梁上5個測點處的正應力值

由表1可知，3#應變片位于中性層，其正應力幾乎為零；1#和2#應變片位于梁中性層上側，應力值為負，即梁中性層之上部分受擠壓；4#和5#應變片位于梁中性層下側，正應力為正，即梁中性層之下部分受拉伸。正應力沿梁高度幾乎呈線性分布，越靠近梁的上下邊緣應力值越大。應力實測值與理論值十分相近，但存在一定誤差，這主要與試驗精度有關，儀表越精確，其值越準確，相對誤差越小。

3 仿真模擬與分析

3.1 純彎曲

在ANSYS有限元軟件界面上，按矩形截面梁的實際尺寸建立三維模型并進行有限元模擬分析；圖3所示給出了梁在載荷作用下，其縱向正應力的分布情況。

圖3 矩形截面梁的彎曲正應力分布圖

由圖3可知，縱向正應力在梁中性層處為零，在梁中性層上方縱向纖維受擠壓，中性層下方縱向纖維受拉伸；應用ANSYS軟件的通用后處理器讀取梁上5個測試點的應力增量值，具體見表2。

表2 純彎曲梁正應力的模擬值與理論值

由表2數據可知，梁上各點正應力模擬值與理論值的相對誤差不超過3.8%，模擬結果與理論結果十分相近。同時結合表1數據可知，應力增量的理論值、實測值與模擬計算值均相吻合，驗證了此模擬方法的可靠性及模擬結果的準確性，因此可將此模擬方法應用于不同截面梁發生彎曲時正應力與撓度計算，具有較高的理論與實際指導意義。在其他條件不變的情況下，對T形截面梁和工形截面梁進行有限元模擬分析，其縱向正應力的分布情況如圖4所示。

a) T形截面

b) 工形截面

由圖4可知，工形截面梁的中性軸在其幾何中心線上，但梁受擠壓的力略大于受拉伸的力，模擬結果比理論更貼切實際；而T形截面梁的中性軸不在其幾何中心線上，梁受擠壓的力比受拉伸的力大得多，正應力沿梁橫截面高度接近按線性規律分布。由圖4數據顯示可知，在距中性層越遠的位置正應力越大，外力對梁的作用主要由距中性層較遠處的材料來承擔。矩形截面梁的大部分材料靠近中性層，未能充分發揮作用，T形截面梁中性層上下兩側不對稱，大部分材料也靠近中性層，而工形截面梁的大部分材料遠離中性層發揮了重要作用，因此在工程上受彎曲構件的截面形狀宜采用工字形。

3.2 橫力彎曲

3.2.1 載荷作用位置

圖2中，若2個載荷ΔP/2的受力點為同一個點時，梁將無純彎曲段存在，而是發生橫力彎曲，梁簡化后如圖5所示，梁上C處為載荷作用位置。例如橋式起重機梁在起吊重物過程中，AC段和CB段便是發生橫力彎曲，隨著小車的移動，載荷的作用位置不斷發生改變，梁發生不同程度的彎曲變形。

圖5 梁的示意圖

在工程上，梁的截面形狀常選取工形截面，A、B兩端受支座的約束，C處到A端的距離為a,到B端的距離為b，θ為發生彎曲變形后梁的坡度，w′為最大撓度值。載荷作用位置變化時，a與b的值也隨之變化。

采用仿真模擬方法研究橫力彎曲梁的正應力和撓度分布情況。圖2中，梁承受2個左右對稱的載荷ΔP/2，其撓度由2個載荷分別作用后疊加所得，因此梁發生橫力彎曲時的撓度理論值可由式1和式2求得。取梁跨度L=500 mm，ΔP=2 100 N。表3給出了梁最大撓度的理論值與模擬值。

表3 梁最大撓度的模擬值與理論值

由表3可知，橫力彎曲梁最大撓度的模擬值與理論值相對誤差低于3%，載荷作用的位置越靠近梁跨中點處，梁最大撓度的絕對值越大，因此梁彎曲變形程度的大小不僅與彈性模量有關，也與載荷作用位置有關。使用模擬方法可較準確計算梁上不同位置處的撓度，其模擬結果能為實際工程應用提供有意義的參考。

當載荷作用位置從B端向A端移動時，梁縱向正應力分布情況如圖6所示。

由圖6可知,當載荷作用位置發生變化時，其軸向應力分布規律不變。載荷作用位置越靠近梁跨中點，梁受到的最大拉、壓應力越大；在梁跨中點(即a=b)處達到最大，其引起的彎矩也達到最大，此時梁處于最危險的工況。

a) a=450 mm，b=50 mm

b) a=350 mm，b=150 mm

c) a=b=250 mm

3.2.2 梁跨度

在其他條件不變的情況下，梁受到的最大拉、壓應力與其跨度的關系如圖7所示，最大撓度、坡度與梁跨度的關系如圖8所示。

圖7 跨度對梁彎曲應力的影響

圖8 跨度對梁彎曲變形程度的影響

由圖7可知，在相同載荷作用下，隨梁跨度的增加，梁受到的最大拉、壓應力不斷增大，將會引起較大的應力集中；當梁跨度大于500 mm時，壓應力比拉應力大，且二者幾乎呈線性增大。

由圖8可知，在相同載荷作用下，隨梁跨度的增加，最大撓度并非呈線性增大，而是先緩慢增大，隨后迅速增大；梁跨度和撓度的增大致使梁坡度增大，這對于吊車梁，若其跨度過大，在起吊重物過程中坡度過大，會使小車行走困難，出現爬坡現象。因此可根據實際情況選擇合適的跨度，減小梁彎曲應力和變形，避免由于較大的應力集中而產生疲勞裂紋。

4 結語

通過上述研究可以得出如下結論。

1)純彎曲梁各測點正應力的理論值、試驗值與模擬結果值均相吻合，驗證了模擬方法的可靠性及模擬結果的準確性。

2)梁發生彎曲時，橫力彎曲梁上各點處正應力分布規律與純彎曲梁一致，沿梁截面高度接近呈線性分布；最大撓度值隨梁跨度的變化并非呈線性關系變化。

3)梁彎曲程度的大小不僅與梁彎曲類型、梁跨度及載荷作用的位置有關，還與梁的截面形狀有關，在工程上受彎曲構件的截面形狀適宜選用工形截面。