曲率單調的組合二次Phillips q-Bézier曲線

梁吉娜，解 濱，韓力文,3,4

曲率單調的組合二次Phillips-Bézier曲線

梁吉娜1，解 濱2，韓力文1,3,4

(1. 河北師范大學數學科學學院，河北 石家莊 050024；2.河北師范大學計算機與網絡空間安全學院，河北 石家莊 050024；3. 河北省計算數學與應用重點實驗室，河北 石家莊 050024；4. 河北省數學與交叉科學國際聯合研究中心，河北 石家莊 050024)

Phillips-Bézier曲線是一類包含-整數的廣義Bézier曲線。針對二次Phillips-Bézier曲線的曲率單調條件，從代數和幾何兩方面進行了研究，構造出曲率單調的二次Phillips-Bézier曲線及曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。首先，通過曲線曲率的坐標表示，探究代數形式的曲率單調條件，定義曲率單調包圍圓，給出二次Phillips-Bézier曲線具有單調曲率的幾何充要條件。當形狀參數=1時，Phillips-Bézier曲線退化為經典的Bézier曲線，因此上述曲率單調條件包含經典二次Bézier曲線的結果。其次，討論二次Phillips-Bézier曲線間的2光滑拼接條件及條件中的各個參數對拼接曲線的影響。再次，對于給定首末控制頂點的曲線，選擇合適的中間控制頂點，求得使其具有單調曲率時形狀參數的取值范圍，構造出曲率單調的單條二次Phillips-Bézier曲線。進而，構造出同時滿足2拼接與曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。最后，利用曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線，構造出具有包含關系的兩圓之間的緩和曲線。數值實例顯示了組合二次Phillips-Bézier曲線的造型優勢和靈活性。

Phillips-Bézier曲線；單調曲率；包圍圓；2拼接；緩和曲線

曲率分布能夠反映曲線的形狀。具有單調曲率的曲線符合美學特征，包含相對少的單調曲率段的曲線被認為是光順的[1]。在工業設計領域，如道路設計[2]、機器人軌道設計[3]、齒輪齒根設計[4]等方面，曲率單調的曲線有重要應用。

許多學者對Bézier曲線的曲率單調條件進行了研究。1992年，Sapidis和FREY[5]指出，當二次Bézier曲線的中間控制頂點位于指定區域時，曲線的曲率是單調的。2000年，Frey和FIELD[6]分析了標準形式的有理二次Bézier曲線所表示的圓錐曲線段的曲率單調條件。標準形二次有理Bézier曲線同時由控制頂點和權因子控制，與二次Bézier曲線相比，權因子使得曲線中間控制頂點所在的曲率單調區域能夠隨之調整，從而使二次有理Bézier曲線比二次Bézier曲線的曲率單調條件[5]有所放松。Walton和MEEK[7]給出了具有單調曲率的三次Bézier曲線的構造方法，并用其構造出道路設計中的5種緩和曲線。接著又提出了具有單調曲率的三次Bézier曲線的另外2種構造方法[8-9]。2018年，Ahmad和GOBITHAASAN[10]構造基于曲率導數的單調曲率檢驗函數，給出使標準形二次有理Bézier曲線曲率單調時，權因子的取值范圍。2019年，Wang等[11]通過建立合適的坐標系，給出了曲率單調的次Bézier曲線的構造方法。又利用控制多邊形邊的旋轉與縮放，給出曲率單調的次Bézier曲線的另一種構造方法[12]。2020年，Ahmad等[13]探究了光滑連接點與圓、直線與圓2種情況下的曲率單調二次有理Bézier曲線的構造方法。2021年，CANTóN等[14]利用矩陣生成Bézier曲線的控制多邊形，給出了產生單調曲率平面Bézier曲線的新條件。

近些年來，隨著-微積分理論的迅速發展，基于-整數的廣義Bernstein算子應運而生[15-17]。其中，研究最為廣泛的是文獻[15]提出的Lupa?-Bernstein算子與文獻[16]提出的Phillips-Bernstein多項式。1998年，Oru?[18]證明-Bernstein多項式是多項式空間的一組基；2003年，Oru?和PHILLIPS[19]定義Phillips-Bézier曲線，并給出該曲線的升階算法。2007年，DI?IBüYüK和Oru?[20]構造有理Phillips-Bézier曲線，并給出該曲線的-差分定義、細分算法和升階公式。2008年，DI?IBüYüK和ORU?[21]又定義出矩形域上張量積型的Phillips-Bézier曲面，該曲面具有幾何不變性和仿射不變性、保凸性等優良幾何性質。2012年，Simeonov等[22]為Phillips-Bézier曲線建立-開花形式的定義，開花形式的降階算法和細分算法。2013年，SIMEONOV和Goldman[23]應用-開花理論構造出-B-樣條基和-B-樣條曲線，建立了-B-樣條理論。

Phillips-Bézier曲線是由控制頂點和Phillips-Bernstein基函數定義的多項式曲線，比起由有理形式的Lupa?-Bernstein算子定義的Lupa?-Bézier曲線[24]與加權Lupa?-Bézier曲線[25]，其在計算時更加簡便。與經典Bézier曲線相比，其具有許多與經典Bézier曲線相同的優良性質。與此同時，其含有的形狀參數使Phillips-Bézier曲線有了更加靈活的形狀調控能力。在≠1時，曲線在末端點處的導矢與控制多邊形不相切，與經典Bézier曲線和Lupa?-Bézier曲線有所不同。

為了更好地表達復雜曲線，可以將曲線進行光滑拼接。2019年，JIN等[26]通過調整控制點和在相鄰的0連續Bézier曲線之間插入過渡Bézier曲線，構造2連續刀具軌跡。2021年，何川等[27]提出一種可靈活構造滿足1插值條件的曲率單調Bézier曲線的算法。在給出經典Bézier曲線的光滑拼接條件[28-29]的基礎上，本文將探究二次Phillips-Bézier曲線的光滑拼接條件。

1 預備知識

首先給出Phillips-Bézier曲線的相關定義。

定義1(-整數[30]). 對于任意的自然數，稱

定義2 (-階乘[30]). 對于任意的自然數，稱

定義3(-二項式系數[30]).對于任意的自然數，稱

為次Phillips-Bézier曲線。

2 二次Phillips q-Bézier曲線曲率單調的充要條件

二次Phillips-Bézier曲線為

圖1 平面直角坐標系中的二次Phillips q-Bézier曲線

結合控制頂點的坐標，可得二次Phillips-Bézier曲線一階導矢、二階導矢的坐標表示，因此曲率可表示為

曲率的導數為

引理：一般來說，沿著曲線的方向，當曲率圓位于曲線左側時，將曲率的符號定義為正，反之為負。由于二次Phillips-Bézier曲線只有3個控制頂點，所以曲線上任一點的曲率圓始終位于曲線的同一側。因此將曲率符號均認為是正。

記二次函數()的對稱軸為

得

得

證畢

注：對于首末端點確定的二次Phillips-Bézier曲線，若曲線中的取值從1到0減小，那么曲線左、右包圍圓的半徑增大，圓心向軸正向移動。

由定義可知，二次Phillips-Bézier曲線的2個單調曲率左、右包圍圓是相切的，且具有等長的半徑，如圖3所示。

圖3 二次Phillips q-Bézier曲線及左、右包圍圓

由此可得曲線(;)的曲率單調幾何充要條件。

定理1. 由控制頂點0(0,0)，1(,)和2(,0)定義的二次Phillips-Bézier曲線，其曲率單調遞減的幾何充要條件為：1位于單調遞減曲率包圍圓0內或圓上；曲率單調遞增的幾何充要條件為：1位于單調遞增曲率包圍圓2內或圓上。

3 二次Phillips q-Bézier曲線的光滑拼接

3.1 光滑拼接條件

定理2. 記2條二次Phillips-Bézier曲線分別為(;1)和(;2)，且滿足幾何連續性的充要條件為：

(1)0連續條件：

(2)1連續條件：0連續，且

(3)2連續條件：1連續，且

其中，任取，

證明：

(1) 由Phillips-Bézier曲線的端點插值性可得：2=0。

(3) 在滿足1連續的基礎上，2條曲線在連接點2連續，當且僅當在連接點處有相同的曲率矢。也就是說，在連接點處，曲率矢的方向和大小均要相同。

曲線(;1)在末端點處的曲率矢為

其次，令2個曲率矢的大小相同，即令|(1)|= |(0)|。結合0和1連續條件，有

從而得到了二次Phillips-Bézier曲線在端點處2連續的充分必要條件。

當參數1=2=1時，二次Phillips-Bézier曲線的幾何連續條件退化為經典二次Bézier曲線的幾何連續條件[31]。

3.2 G2拼接條件中a，h，q2對拼接曲線形狀的影響

在二次Phillips-Bézier曲線間的2光滑拼接條件中，拼接曲線的控制頂點同時受給定曲線的控制頂點和變量，及拼接曲線的形狀參數2的影響。

圖5 Q(t;q2)的控制頂點隨hi的變化

圖6 Q(t;q2)的控制頂點和隨ai的變化

圖7 Q(t;q2)的控制頂點和隨的變化

4 構造曲率單調的二次Phillips q-Bézier曲線

4.1 具有單調曲率的二次Phillips q-Bézier曲線的構造方法

根據實際需要，在平面上的合適位置選取2個點分別作為曲線的首末控制頂點0和2。按照平面直角坐標系的建立方法建系。則有0(0,0)，1(,)，2(,0)，其中>0，,,均為實數。

曲線曲率單調遞減的充要條件為：控制頂點1位于曲線的左包圍圓中，即

綜上，曲線曲率單調遞減的充要條件為，形狀參數*的取值為

算法1.具體步驟如下：

步驟1.在平面直角坐標系中選擇原點與軸上一點，分別記為0(0,0)和2(,0)。

步驟2.確定左包圍圓0(趨于0時的左包圍圓)，并從中選取控制頂點1(,)。

步驟4.由控制頂點0，1，2和形狀參數*確定的二次Phillips-Bézier曲線曲率單調遞減。

例1.如圖8所示，確定2個控制頂點0和2，建立平面直角坐標系，記0(0,0)和2(4,0)，此時包圍圓0的圓心坐標為(2,0)，半徑為2。在包圍圓中選取1(3,1)，取=0.2，構造出一條曲率單調遞減的二次Phillips-Bézier曲線。若取=0.4，則曲線的曲率不單調。

情況2.若控制頂點1在包圍圓2的范圍內，則控制頂點1(,)滿足

曲線曲率單調遞增的充要條件為：控制頂點1位于曲線的右包圍圓中，即

圖8 二次Phillips q-Bézier曲線及其曲率圖((a) q=0.4與q=0.2的二次Phillips q-Bézier曲線；(b)曲率圖)

整理得*的取值需滿足

又因的取值范圍為(0,1]，綜上，曲線曲率單調遞減的充要條件為，形狀參數*的取值為

算法2.具體步驟如下：

步驟1.在平面直角坐標系中選擇原點與軸上一點，分別記為0(0,0)和2(,0)。

步驟2.確定右包圍圓2和2(=1和趨向于0時的右包圍圓)，并從中選取控制頂點1(,)。

步驟4.由控制頂點0，1，2和形狀參數*確定的二次Phillips-Bézier曲線曲率單調遞增。

例2. 如圖9所示，確定2個控制頂點0和2，建立平面直角坐標系，有0(0,0)和2(4,0)，選取1(6,1)，取=0.259，構造出一條曲率單調遞增的二次Phillips-Bézier曲線。若取=0.6，則曲線的曲率不單調。

注1：若一條已有的曲率不單調二次Phillips-Bézier曲線的控制頂點滿足算法1或算法2中的前提條件，則可以按照這2條定理中*的取值去改變曲線的形狀參數的取值，從而將已有曲線調整為一條曲率單調遞增或遞減的曲線。

注2：由于一系列右包圍圓是不相互包含的，所以不能準確地刻畫所有的右包圍圓所在的區域。因此在算法2中，要求在半徑最小和半徑趨于最大的右包圍圓2和2中選取控制頂點1，而實際上控制頂點1處于其他右包圍圓的范圍中，也可以用定理4中的方法找到合適的*值。

圖9 二次Phillips q-Bézier曲線及其曲率圖((a) q=0.259與q=0.6的二次Phillips q-Bézier曲線；(b)曲率圖)

4.2 具有單調遞減曲率的組合二次Phillips q-Bézier曲線的構造方法

根據二次Phillips-Bézier曲線曲率單調遞減的充要條件，可以構造出一條曲率單調遞減的曲線(;)。若能找到這樣一條曲線(;0)，其在始端點處與(;)2連續，且曲率是單調遞減的，那么就得到了一條曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。

證明：由二次Phillips-Bézier曲線的2連續條件，若(;0)滿足式(4)～(7)，則其與(;)在0=2處2連續。

繼續證明曲線(;0)的曲率單調遞減的充要條件為≥2(1+0)-1。

首先表示。

則

為便于表示，將上式記為

整理得

綜上所述，曲線(;0)曲率單調遞減的充要條件為≥2(1+0)-1。

例3.給定一條曲率單調遞減的二次Phillips-Bézier曲線(;)，如圖10所示，控制頂點坐標分別為0(0,0)，1(1,1)和2(4,0)，參數=0.5。構造出一條與其2連續，且曲率單調遞減的曲線(;0)，用實線表示，控制頂點分別為0(4,0)，1(8.33,-1)和2(10.31,-2.38)。取參數0=0.5，=1，=0.63。2條曲線合起來是一條曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線。

在例3中，可取大于0.63的值，此時組合二次Phillips-Bézier曲線中曲線段(;0)的形狀稍有變化，但曲率仍然是單調遞減的。

在公路設計中，緩和曲線是設置在直線和圓曲線或圓曲線與圓曲線之間的過渡曲線。緩和曲線通過曲率的逐漸變化保證汽車行駛過程中的轉向平穩。采用本文方法可以設計出類似的曲率單調遞減的過渡路線。

圖10 曲率單調遞減的組合二次Phillips q-Bézier曲線

例4. 利用本文中曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線設計出具有包含關系的圓到圓之間的緩和曲線。圖11中顯示了2個具有包含關系的圓(點虛線)；連接2圓的是由曲率單調遞減的組合二次Phillips-Bézier曲線表示的緩和曲線(實線)；，Q分別為組合曲線中2段曲線的控制頂點。

圖11 具有包含關系的兩圓及圓到圓之間的緩和曲線((a)具有包含關系的兩圓及圓到圓之間的緩和曲線整體圖；(b)緩和曲線局部圖)

5 結束語

本文提出并證明了二次Phillips-Bézier曲線的曲率單調充要條件，指出當曲線的首末端點確定時，中間控制頂點應當處在由首末端點和形狀參數值決定的曲率單調包圍圓中。包圍圓的大小可由參數調整，因此與經典Bézier曲線的曲率單調范圍[5]相比，本文中間控制頂點的選擇范圍更廣。當=1時，二次Phillips-Bézier曲線退化為經典二次Bézier曲線，二次Phillips-Bézier曲線的曲率單調條件退化為經典二次Bézier曲線的曲率單調條件。

本文還給出了二次Phillips-Bézier曲線之間的2連續條件，并探究了條件中的3個變量對拼接曲線的影響。最后給出曲率單調曲線的構造方法，及造型上的實例。進一步還可探究具有單調曲率的有理二次Phillips-Bézier曲線。

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Combinatorial quadratic Phillips-Bézier curves with monotone curvature

LIANG Ji-na1, XIE Bin2, HAN Li-wen1,3,4

(1. School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 2. College of Computer and Cyber Security, Hebei Normal University, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 3. Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications, Shijiazhuang Hebei 050024, China; 4. Hebei International Joint Research Center for Mathematics and Interdisciplinary Science, Shijiazhuang Hebei 050024, China)

Phillips-Bézier curves are a class of generalized Bézier curves containing-integers. The research was conducted on the curvature monotonicity condition of quadratic Phillips-Bézier curve from two aspects of algebra and geometry. Based on this, the following two curves were constructed: a quadratic Phillips-Bézier curve with monotonous curvature and a combined quadratic Phillips-Bézier curve with decreasing curvature. Firstly, through the coordinate representation of curve curvature, this paper explored the condition of monotonic curvature in algebraic form. By defining the curvature decreasing (or increasing) bounding circle, the geometric sufficient and necessary conditions were given to enable decreasing (or increasing) curvature for quadratic Phillips-Bézier curves. In the case of the shape parameter=1, Phillips-Bézier curves would degenerate into classical Bézier curves. Thus, the curvature monotonicity conditions of quadratic Phillips-Bézier curves include the results of classical quadratic Bézier curves. Secondly, the paper examined the2smooth condition of quadratic Phillips-Bézier curves and the influence of parameters on the stitching curve. Thirdly, for the quadratic Phillips-Bézier curve with given initial and final control vertices, the appropriate intermediate control vertex was selected, the range of shape parameters was obtained in the case of decreasing (or increasing) curvature, and a quadratic Phillips-Bézier curve with decreasing (or increasing) curvature was constructed. Furthermore, a combined quadratic Phillips-Bézier curve was constructed, which could satisfy both2smooth condition and decreasing curvature. Finally, using the combined quadratic Phillips-Bézier curve with decreasing curvature, the transition curve between two circles with inclusion relationship was constructed. The numerical examples highlight the advantages and flexibility of the combinatorial quadratic Phillips-Bézier curve in modeling.

Phillips-Bézier curve; monotonic curvature; bounding circle;2blending; transition curve

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022030443

A

2095-302X(2022)03-0443-10

2021-09-23；

2021-10-27

23 September，2021；

27 October，2021

國家自然科學基金項目(62076088)；河北省自然科學基金項目(A2018205103)；河北師范大學科研基金資助項目(L2020Z02)

National Natural Science Foundation of China (62076088); National Natural Science Foundation of Hebei Province (A2018205103); Research Fund of Hebei Normal University (L2020Z02)

梁吉娜(1997–)，女，碩士研究生。主要研究方向為CAGD。E-mail：996953165@qq.com

LIANG Ji-na (1997–), master student . Her main research interest covers CAGD. E-mail：996953165@qq.com

韓力文(1974–)，女，教授，博士。主要研究方向為CAGD、計算幾何。E-mail：hanliwen@sina.com

HAN Li-wen (1974–), professor, Ph.D. Her main research interests cover CAGD, computer geometry. E-mail：hanliwen@sina.com