考慮組件保形約束的多組件結構系統布局優化

郭文杰，朱繼宏，羅利龍，常亮

1. 中國飛機強度研究所，西安 710065

2. 西北工業大學 機電學院，西安 710072

近年來，拓撲優化設計技術已經逐漸成為結構概念設計階段的一個重要方法，尤其在航空航天結構輕量化設計中，發揮著重要的作用。飛行器日益嚴苛的服役環境對其結構性能提出了更高的要求，大多數航空航天飛行器結構系統均可以抽象成由主承力結構、支撐結構以及儀器組件(稱組件或特征)等組成的復雜多組件結構系統，而結構構型及儀器組件的布局都將對系統的性能產生影響，尤其在儀器組件充當傳力構件的飛行器結構中，這種耦合影響更為嚴重。

在多組件結構系統的布局優化設計中，拓撲優化技術已被多數學者廣泛采用，一種較具代表性的設計方法是Zhu等提出的同時考慮組件布局及結構拓撲的整體式結構構型設計，為解決這類結構的布局優化設計問題，該團隊先后提出了有限包絡圓方法(Finite Circle Method，FCM)和多點約束技術(Multi-Point Constraints，MPC)，分別用以避免組件之間發生干涉和實現組件與支撐結構之間的工程連接(焊接、膠接、螺栓連接等)。另外一種多組件結構系統布局優化設計技術則基于水平集方法(Level-set Method)，該方法將組件設備及其設計區域用一系列水平集函數描述，為了處理組件非干涉約束函數，一般通過計算描述不同組件的數學函數之間的相交面積來計算組件發生干涉的情況，通過強制相交面積大于0，實現組件不發生干涉。當組件設備為壓電驅動器等功能組件時，Wang等提出一種整體式(Integral-type)的約束函數，這種整體式的約束函數能夠有效處理壓電驅動器之間、驅動器與設計區域邊界之間的干涉問題，其對于嵌入式組件系統布局優化問題具有重要的參考價值。為了有效控制不同組件之間不發生干涉，Kang 等提出了基于虛擬邊界的最小距離約束方法，可有效解決組件干涉問題。隨著結構系統復雜程度的增加，組件設備日益增多，這就將引入大量的組件干涉約束，為此，相關研究團隊又提出了一系列處理大規模約束函數的約束凝聚策略，如P范數、KS(Kresselmeier-Steinhauser)、懲罰函數(Penalty function)等方法，均取得了較好的應用。

使用拓撲優化方法實現結構特征形狀、幾何及變形控制的問題一直以來都是科研人員關注的熱點之一。早期，Maute和Allen基于拓撲優化方法，通過控制節點位移的方式，在優化機翼加筋布局時實現了對機翼氣動外形的有效維持。類似的，Li、Huang以及Qiao等，以節點位移為基礎，通過構造不同的控制函數實現了對結構或機構的變形控制。也有學者通過控制節點位移，應用拓撲優化設計方法，實現了柔性機構保證輸出端理想變形的同時使結構保持一定的剛度。Zuo和Xie通過控制全局最大位移最小化，實現了結構總體及局部區域的變形控制，以保證相應型面的設計要求。實際上，在飛行器結構設計過程中，存在諸多具有形狀精度要求的功能型面，這類結構不允許發生大的變形或僅允許發生小幅度的彈性變形，為控制這些功能型面的外形精度，需要對其翹曲變形進行抑制，以多點位移約束進行控制是常見的變形控制方法，為提高功能形變的變形控制精度，需要提取并控制若干關鍵節點的位移，為實現對大量節點位移約束的控制，Qiao和Liu提出采用類似于P范數構造的節點位移約束處理方法以實現對型面總體外形的有效控制。

上述對型面變形進行控制的研究大多以單個或多個關鍵節點的位移作為設計約束，通過控制關鍵節點的位移進行形狀控制。但當功能型面或特征組件變形精度要求過高，則需要提取較多關鍵節點，這將為優化問題的求解帶來一定的困難。尤其當功能型面或特征組件本身是在設計空間可動的區域時，由于功能型面或特征組件本身的位移既包含布局空間內的剛體位移，同時也包含型面本身的彈性變形，這時則較難通過控制關鍵節點的位移實現對可動型面或特征組件的變形控制。為抑制結構局部區域的翹曲變形，Zhu等提出了一種新的以保形區域應變能描述的保形設計方法，其研究中將固定區域設置為保形區域，通過控制保形區域的彈性應變能實現了對相關區域的保形設計。該研究中同時給出了考慮多點位移保形及通過應變能定義保形約束的對比，結果表明，以多點位移約束定義的保形，優化結果對關鍵節點的位移控制得較好，但保形區域總體較通過應變能定義保形仍然存在較大的局部翹曲變形。其研究成果成功地解決了飛機風擋保形設計問題。在Zhu等研究工作的啟發下，Castro 等將這種保形設計方法擴展到動力學領域并開展了類似的研究。

隨著飛行器性能的不斷升級，其結構輕量化、緊湊化、一體化的要求也變得十分苛刻。然而，大多數情況下，功能組件均不允許發生大的變形以維持其外形及使用性能。以機載穩瞄結構系統為例，光具座結構支撐著光學儀器以完成探測瞄準的任務，這類結構系統的布局設計是典型的多組件結構系統布局優化設計問題。現有設計手段在考慮支撐結構材料拓撲布局的同時需要布置各個光學儀器的空間位置，這就要求具有精度要求的光學儀器不能發生過大的有害變形。上述問題是典型的需要考慮組件保形要求的結構系統布局優化設計問題，但從目前的研究中很少見到學者在多組件結構系統布局優化設計中考慮組件保形的要求。

本工作受Zhu及Li等的啟發，在多組件結構系統布局優化設計中引入組件保形約束，使用參與布局優化的組件的應變能描述其翹曲變形程度，建立了基于拓撲優化的多組件結構系統保形優化設計數學模型，推導了引入組件設備后設計目標、設計約束的靈敏度，通過約束該應變能的量值實現對組件彈性變形的量化控制，討論了組件保形約束與整體剛度之間的關系，引入系統的質心位置約束，實現了考慮組件保形約束的典型多組件系統拓撲布局優化設計。

1 理論基礎及優化設計模型定義

本節首先給出考慮組件保形約束的多組件結構系統布局優化設計的基礎理論，包括組件保形約束的定義、組件之間干涉約束的描述以及組件與其支撐結構之間的連接關系模擬等，然后給出考慮組件保形約束的多組件結構系統布局優化問題的數學模型。

1.1 多組件結構系統中組件的保形約束

以傳統的多組件結構系統布局優化設計為基礎，本節給出組件保形約束的定義。

圖1給出了傳統的多組件結構系統布局優化設計示意圖，其中表示結構拓撲設計區域，和分別表示參與布局優化的組件。受外載荷作用的多組件結構系統布局優化中，組件參與傳載，如圖1(b)所示的組件發生了較為明顯的彈性變形，其中組件的虛線輪廓表示理想狀態下無任何變形發生，實線輪廓表示實際發生變形的情況。如果對組件的變形不加約束，優化設計最終很可能得到組件變形很大的結果，而實際工作中，只允許該組件發生微小變形。

圖1 傳統的多組件結構系統布局優化示意圖Fig.1 Schematic diagram of traditional integrated layout and topology optimization design of multi-component system

實際上，組件在參與布局過程中除發生剛體位移外，還發生了彈性變形，這兩部分位移的合成構成了組件最終的幾何位置及形狀。這樣一來，可以得到：

=R+W

(1)

式中：表示組件的總體位移向量；R表示對應組件的剛體位移向量；W表示該組件的彈性變形位移向量。其中，剛體位移不會帶來額外的系統應變能變化，而彈性變形則不同，會使系統發生應變能的改變。

本文提出的多組件結構系統的保形設計即有效抑制式(1)中的組件彈性變形位移。受Zhu等的啟發，本文使用參與保形設計的組件彈性應變能函數描述其變形程度。因此，組件的應變能可以寫為

(2)

式中：表示組件的應變能，為應變能標識；W表示組件的剛度矩陣。這樣，為考核參與保形設計的組件變形程度，可以使用式(2)中的函數，要控制組件的變形，只需約束該函數值即可。實際上，通過式(2)定義的保形設計區域的彈性應變能函數，過濾掉了因組件設備在空間發生位置改變而產生的剛體位移。對于經典的以系統總體彈性應變能最小化或總體剛度最大化為目標的結構拓撲優化問題，可以看作是結構保形設計的特例，其保形約束升級為總體變形能最小化。

理論上講，若組件設備完全不發生彈性變形，則式(2)所描述的結構應變能為0，但在這種協同優化設計中，由于組件參與了傳力路徑的布置，因此，組件設備必定會產生一定的彈性變形，只是變形程度因其承載不同而不同。為適應工程需求，本工作給出以下保形約束：

≤

(3)

式中：為大于0的較小應變能上限，當保形組件的應變能滿足式(3)要求時，認為達到了保形設計的要求。

為進一步說明組件保形設計約束，圖2 給出保形設計區域的位移向量示意圖，其中虛線表示未變形的區域邊界，實線及陰影表示變形后的區域。圖2(a)表示保形區域(或組件)的總體位移，圖2(b)表示保形區域的剛體位移，圖2(c)表示保形區域的翹曲或局部彈性變形位移。對于多組件結構系統而言，希望抑制的是圖2(c)中所示的翹曲變形。這時，為抑制翹曲變形位移，不能將保形組件的關鍵節點位移直接作為設計約束施加，因為那會在限制保形組件翹曲變形的同時將組件約束在空間固定位置，即翹曲變形及剛體位移同時被限制。

圖2 保形設計區域位移向量示意圖[22]Fig.2 Schematic diagram of displacement vectors of shape-preserving design domain

實際上，在不考慮組件空間位置運動時，通過節點位移控制區域保形是最直接的保形設計方法，但以節點位移為設計約束進行優化時，保形區域內未設置為關鍵節點的節點則會產生不理想的變形，進而導致結構局部區域仍然會存在一定程度翹曲或拉扯變形。文獻[22]中對以應變能定義保形及以關鍵節點位移定義保形進行了詳細的討論，圖3引用其結果進行說明，其中，陰影區域的方塊表示保形設計區域，其中圖3(a)為采用陰影區域應變能描述保形設計的結果，圖3(b)為以四邊形陰影區域四個角點位移定義保形設計的結果。

圖3 采用應變能和多節點位移定義的保形設計結果[22]Fig.3 Shape-preserving design results obtained by strain energy and multi-point displacements[22]

圖4給出了文獻[22]中采用局部區域應變能及局部區域角點控制保形所得保形區域位移變形情況。其中虛線表示未發生變形的保形區域，陰影表示實際變形情況。可見，采用控制角點位移開展保形設計時，相應的被約束的節點位移可以得到有效控制，但是整個區域的變形控制情況并不理想。為實現對局部區域總體保形的設計，可以通過加密控制點等方式實現，文獻[22]中對控制多點位移及局部區域應變能的情況做了較為詳細的討論，這里不再贅述。

圖4 采用應變能和多節點位移定義的保形設計結果變形[22]Fig.4 Deformation of shape-preserving design results obtained by strain energy and multi-point displacements[22]

1.2 幾何約束及連接關系模擬

多組件結構系統布局優化中的一個主要難點在于如何有效避免組件設備之間、組件設備與設計區域邊界之間的干涉。前期相關學者對此開展了大量的研究，其中由Zhang和Zhu提出的有限包絡圓方法(FCM)被證明能夠很好地處理組件之間的干涉問題。這種方法使用一系列圓(三維空間為球)描述組件設備的外形輪廓，通過計算不同的圓之間的距離判斷并計算組件之間的干涉情況。

圖5給出了使用有限包絡圓方法描述的組件及其設計區域邊界的近似，其中虛線表示有限包絡圓的外形，實線表示組件或設計區域邊界。使用有限包絡圓方法避免組件發生干涉的基本表達式可以寫為

圖5 多組件結構系統有限包絡圓劃分示意圖Fig.5 Schematic diagram of approximation of multi-component system by FCM

(4)

引入組件設備后，多組件結構系統布局優化中涉及到組件設備與其支撐結構之間的連接模擬，這類問題已有諸多學者做了一系列研究，這里僅介紹本文采用的基于多點約束技術(MPC)的組件設備與其支撐結構之間的連接關系的模擬。

圖6給出了多點約束模擬連接的有限元模型，深色部分表示組件，淺色部分表示支撐結構。

圖6 多點約束技術示意圖Fig.6 Schematic diagram of MPC method

圖7 多點約束技術詳細描述Fig.7 Detailed illustration of MPC method

(5)

需要指出，多點約束方程是節點位移的線性組合，多個多點約束方程和邊界條件方程可以統一寫為

=

(6)

式中：是由結構單元的形狀函數、多點約束位置、邊界條件共同決定的系數矩陣；為多組件結構系統的整體位移向量。需要說明，本工作中組件設備在布局空間內尋優，每到達一個新的位置，該位置處的整個結構系統均滿足式(6)，這個特點將在后續求解靈敏度的過程中用到。

1.3 系統質心位置約束

工程結構中，尤其是光學儀器結構系統中，光學元件往往占據整個設備組件80%左右的質量，光學元件在安裝平臺上的布局將對系統的性能產生重要影響，因此，本工作在考慮組件設備保形約束的同時，將系統的質心位置約束引入。包含組件設備、支撐結構的多組件結構系統，通過杠桿原理可以得到其系統的質心位置表達式為

(7)

式中：、分別表示組件、設計域單元的質量(本工作中所有結構單元均為設計域單元)；[]為系統質心位置；[]、[]分別表示組件及設計域單元的質心位置。

式(7)可寫為

(8)

系統的質心位置約束可表示為

(9)

式中：、(=1,2,3)表示相應坐標分量在全局坐標系下的約束范圍。

1.4 優化模型

引入多點約束后，修訂后的系統勢能函數為

(10)

式中：為結構總體剛度矩陣；為總體位移向量；和分別表示節點載荷和拉格朗日乘子向量。駐點處的歐拉公式可寫為

(11)

求解式(11)可得到及。更多的關于多點約束技術的細節可參見文獻[8]。

優化設計中涉及到兩類設計變量，即：組件布局、結構拓撲，也即

(12)

式中：(,,)表示組件的平動位置及轉動角度設計變量；為結構拓撲設計區域單元的拓撲設計變量；、分別為組件數目和結構拓撲設計域單元數目。這里使用Zhu等提出的多項式插值模型對拓撲優化設計單元進行材料插值。

(13)

其中：、分別為拓撲設計域單元的質量和楊氏模量；0、分別為設計域單元滿材料時的質量和楊氏模量；為懲罰因子，為插值參數，本文中和的取值分別為4和16。

給定支撐結構材料用量上限，以系統的剛度最大化為目標開展優化設計。通過引入可動組件的保形設計約束，可以得到以下目標函數及約束：

(14)

式中：和分別表示支撐結構的用量分數及其上限；和分別表示組件所代表的區域及支撐結構的設計區域，這種幾何設計約束可以很方便地用前文提到的FCM進行描述。

引入質心位置約束后，系統還需滿足式(9)。

2 靈敏度求解

2.1 目標函數靈敏度

在使用基于梯度信息的優化算法時，需要提供設計目標及設計約束對設計變量的靈敏度信息。在現有多組件結構系統布局優化設計的基礎上，設計目標，即系統的應變能函數對結構拓撲設計變量及組件設備空間位置設計變量的靈敏度信息可以很容易地獲得，具體可參見文獻[2,28]，本文不再詳細敘述。

2.2 組件保形約束靈敏度

本節重點介紹組件保形設計約束對設計變量的靈敏度求解過程。保形設計約束函數形如式(2)，這里分別給出其對拓撲設計變量及組件幾何位置設計變量的靈敏度。

2.2.1 保形約束對拓撲設計變量的靈敏度

式(2)兩端同時對編號為的拓撲設計變量求偏導數可得：

(15)

由于結構的拓撲設計變量與組件設備的結構剛度無關，所以組件設計的剛度矩陣對支撐結構的拓撲設計變量的靈敏度為0，因此式(15)可以簡化為

(16)

事實上，組件設備的位移向量是結構系統總體位移向量的一部分，可以通過引入轉換矩陣，以總體位移向量的形式表示：

W=

(17)

這樣，式(16)可以寫為

(18)

式(11)中第一項對拓撲設計變量的靈敏度為

(19)

式中：節點載荷可以寫成=+形式，和分別表示設計無關及設計相關載荷。由于系數矩陣與拓撲設計變量無關，因此其對拓撲設計變量的靈敏度為0。式(19)可以寫為

(20)

式(20)可以表示為

(21)

為避免對剛度矩陣的直接求逆運算，這里引入伴隨法進行求解，記伴隨向量為，可得

(22)

實際上，對于整個系統而言，有

=

(23)

這就意味著，伴隨位移向量可以看作是在總體結構上施加伴隨載荷后，通過一次有限元分析得到的。這樣一來，式(21)所示的保形設計約束對拓撲設計變量的靈敏度可以寫為

(24)

式(24)中和對設計變量的靈敏度可以很容易地得到。注意到當對整個系統施加伴隨向量載荷時，系統仍然滿足式(11)中第二個方程，只不過此時的位移向量是，即系統滿足=。因此，式(24)就可以化簡為

(25)

這樣就求得了保形設計約束對結構設計區域拓撲設計變量的靈敏度。

2.2.2 保形約束對組件幾何位置設計變量的靈

敏度

下面求解保形設計約束對組件幾何位置設計變量的靈敏度解析表達式。

本工作中為與組件位置(包括平動及轉動變量)無關的量，根據多組件結構系統的平衡方程可以得到：

(26)

保形設計約束對組件幾何位置設計變量的靈敏度為

(27)

應用前述用到的伴隨向量以及位移向量轉換矩陣，式(26)可以被寫為

(28)

這樣，式(27)中等號右側第一項可以表示為

(29)

當表示組件的平動坐標設計變量時，組件的剛度矩陣對其平動坐標的靈敏度為0,式(27)中等號右側第二項即為0,這樣，保形設計約束對組件設備幾何平動設計變量的靈敏度即可表示為

(30)

利用=，式(30)可以進一步化簡為

(31)

如果表示組件設備的轉動設計變量，相應組件的剛度矩陣可以寫為

(32)

(33)

聯合式(32)，可以很容易地得到組件保形設計約束對組件轉動設計變量的靈敏度。

2.3 質心位置約束靈敏度

式(8)兩端同時對第個設計域單元的拓撲設計變量求偏導可得

(34)

式(34)變形可得

(35)

將式(13)代入到式(35)可得

(36)

類似地，系統質心位置對組件幾何位置設計變量的靈敏度可以很方便地求解。需要指出的是，本工作中，由于組件的轉動中心及平動參考中心定義在組件質心上，因此，組件轉動不會改變組件的質心位置。這樣一來，系統質心對組件轉動幾何設計變量的靈敏度即為0。假定是某個組件的一個平行移動設計變量，那么式(8)兩端同時對求偏導可得

(37)

式(37)中，如果=，則式(37)可以寫為

(38)

同樣道理，如果=，則式(37)可以寫成為

(39)

本工作中，組件只在平面內運動，故組件的運動對整個系統向質心分量無影響。

2.4 其他約束函數的靈敏度求解

對于設計域材料用量約束，其對拓撲設計變量的靈敏度為常數，對各組件幾何設計變量的靈敏度均為0。

3 數值算例

本節通過數值算例驗證本文提出的考慮組件保形約束的多組件結構系統布局優化設計方法的有效性，采用全局收斂的移動漸近線方法(Globally Convergent Method of Moving Asymptotes，GCMMA)為優化算法，優化問題以目標函數變化小于0.02%為收斂判據。首先不考慮組件的保形設計約束，通過算例驗證有限包絡圓方法及多點約束方法在解決多組件結構系統布局優化中的有效性，隨后將組件保形設計約束引入，對簡化的掛架系統開展支撐結構拓撲-組件設備布局協同優化設計，研究了不同保形設計約束、系統質心位置等因素對優化結果的影響，并在數值算例中對組件保形設計約束的取值進行了定量分析。

3.1 考慮組件保形約束的掛架結構系統布局優化設計

考慮如圖8所示的懸臂梁結構，兩個分別標記為和的組件在設計區域內按圖布置，拓撲設計域為1.5 m×0.6 m的矩形區域，厚度為 0.02 m，左端施加固定邊界條件，下端在距固定端0.75 m、1.50 m處均施加水平向右、豎直向下的 1 000 N的集中力。設計域內，按圖8所示安放兩個組件，每個組件與設計域之間通過多點約束技術建立剛性連接，圖9給出了組件的外形及其有限包絡圓近似。設計區域及組件的材料屬性見表1。

圖8 懸臂梁結構系統示意圖Fig.8 Schematic diagram of cantilever system

圖9 懸臂梁結構系統組件外形及包絡圓描述Fig.9 Shape and FCM approximation of components in cantilever system

表1 懸臂梁結構材料屬性Table 1 Material properties of cantilever system

首先，為驗證有限包絡圓法及多點約束技術的有效性，將組件設備的初始位置設為相互干涉并進行計算，暫不引入組件設備的保形設計約束，約束設計區域材料用量比上限0.4，以結構總體應變能最小為目標，開展考慮支撐結構拓撲-組件設備布局的協同優化設計。其初始布局如圖10所示，其中虛線部分表示兩個組件之間相互干涉。需要說明的是，組件之間相互干涉不會影響組件與支撐結構之間的連接。為詳細說明有限包絡圓法及多點約束技術的有效性，這里給出初始干涉布局情況下的優化迭代過程。

圖10 組件干涉布局示意圖Fig.10 Schematic diagram of overlapping layout of component

分析圖11所示的過程，可見，雖然初始組件設備發生了一定程度的干涉，但是隨著優化的進行，相互干涉的組件設備很快便分離開來，同時支撐結構也逐漸變得清晰，自第6次迭代之后，組件設備未發生任何干涉，優化過程中，組件設備始終通過預先設定好的連接位置，與支撐結構之間相互連接，以保證與其支撐結構共同承載。這進一步說明了本工作中采用的有限包絡圓方法及多點約束技術在處理多組件結構系統布局優化設計工作中的有效性。實際上，對于包含大量組件設備的多組件結構系統布局優化問題，以有限包絡圓描述的干涉約束數目將會激增，這與干涉約束數量不多的(十數個，如本文所示算例)優化問題相比，雖然均以有限包絡圓方法描述，但為適應梯度優化算法，干涉約束處理方法卻大有不同，針對此類多組件結構系統布局優化設計問題，文獻[2]提出了處理大量干涉約束的可行方法。

圖11 組件干涉布局優化過程Fig.11 Optimization procedure of overlapping layout of component

圖12 不考慮組件保形約束得到的優化結果Fig.12 Optimized result without shape-preserving design constraints of components

為顯示組件設備的變形情況，圖13 給出了上述優化結果中組件設備的變形云圖。其中，虛線表示組件未發生彈性變形時的輪廓形狀。可見由于組件處在承載較為嚴重的傳力位置，承載后組件發生了較為嚴重的變形，組件已經呈現出一定的扭曲，組件受載相對較小，但仍存在一定的變形。

圖13 不考慮組件保形約束下組件的變形情況Fig.13 Deformation of components without shape-preserving design constraints

圖14 引入組件保形約束后的優化結果Fig.14 Optimized result with shape-preserving design constraints of components

同樣地，對于上述引入組件保形設計約束后的結果，本文提取組件的變形情況，圖15 給出了該結果下組件設備的布局方案及變形云圖。從圖中可以看出，引入組件保形設計約束后，為滿足保形設計要求，優化過程中，組件避開了主傳力路徑，其變形明顯減小，這也說明引入組件的保形設計約束后組件的變形會得到抑制，為了維持組件設備的形狀，支撐結構對組件呈現出一種“繞行”或“包圍”的狀態，也即達到了保護組件形狀的目的，即保形。

圖15 考慮組件保形約束下組件的變形情況Fig.15 Deformation of components with shape-preserving design constraints

3.2 不同保形約束下的掛架結構系統布局優化設計

圖16 組件保形約束取不同值時的布局優化設計結果Fig.16 Layout optimization design results with different ratios of

圖17 組件保形約束與系統總體應變能之間的關系Fig.17 Relationship between different and global strain energy

由圖17可知，隨著組件設備保形設計約束的加強，即保形約束值減小，系統總體彈性應變能逐漸增大，組件設備的保形設計約束與系統總體應變能之間存在此消彼長的關系，即當組件保形約束收緊(取較小值)時，系統總體應變能會相對較大，也即犧牲總體性能以滿足組件設備的保形設計要求。

從圖18可見，引入組件的保形設計約束可以弱化組件設備的承載，從優化設計結果上可以看出，引入組件保形設計約束后，組件設備周圍的支撐材料增多，呈現出“保衛組件”的分布形態。但支撐結構材料用量分數增加時，由于可用材料增多，引入組件設備保形設計約束后，組件設備周圍會分布更多的“保衛組件”的支撐材料。可以看出，正是這種對組件的保衛，使組件不易發生較大的變形，進而達到組件保形設計的目的。實際上，關于組件設備保形設計約束的選取，本工作首先以一組不考慮組件保形約束的算例，確定其不加保形約束下的應變能，隨后在考慮組件保形的優化設計中，引入組件保形應變能約束，其上限以因子系數與不加保形約束時的應變能的乘積確定，通過本工作的算例可見，因子系數取10%就已經可以較好地抑制組件的彈性變形。本工作的主要目的是提出一種抑制組件變形的方法，具體因子系數的選擇還需要根據實際問題定奪。

圖18 不同材料用量下有/無組件保形約束的設計結果Fig.18 Design results with and without component shape-preserving design constraint with different material usage

3.3 考慮系統質心位置約束的掛架多組件結構系統保形優化設計

在上述研究的基礎上，本節將質心位置設計約束引入該掛架系統，考慮質心位置約束、組件保形約束、材料用量設計約束作用下的掛架系統布局優化設計。設定掛架系統支撐結構材料用量分數上限為0.5。

圖19 不含質心約束優化結果Fig.19 Optimized results without centroid constraint

隨后，在保證其余條件不變的情況下，施加并改變系統的質心位置約束進行優化。分別設置系統的質心位置約束為0.65 m≤≤0.75 m、0.25 m≤≤0.30 m(記為質心約束1)以及0.70 m≤≤0.80 m、0.20 m≤≤0.30 m(記為質心約束2)進行優化設計。優化后，系統滿足給定的組件保形設計約束及相應的質心位置約束，圖20直接給出上述兩種質心位置約束下的計算結果。

圖20 含質心約束優化結果Fig.20 Optimized results with centroid constraint

由上述算例可見，引入質心位置約束后，為滿足相應的質心位置約束，結構系統中組件設備的布局位置及支撐材料分布均發生了一定的變化，由于組件保形設計約束的存在，支撐結構仍然呈現出環繞組件的態勢，并且保證系統滿足相應的質心位置約束。

4 結 論

1) 采用有限包絡圓方法描述設計區域及組件邊界，采用多點約束技術模擬組件設備與支撐結構之間的螺栓、鉚釘、粘接等連接，對于采用阻尼器、減震器等非剛性連接的航空機載穩瞄、慣載系統布局優化問題，在不考慮連接件本身特性的情況下，初始布局階段采用多點約束技術可近似模擬組件設備與支撐結構之間的連接。

2) 提出了考慮組件保形要求的組件布局-結構拓撲協同優化設計方法，采用組件設備的彈性應變能作為定量描述組件彈性變形的依據，分析了采用多點位移及局部區域應變能控制保形的差異，引入了系統質心位置約束，推導了以彈性應變能描述組件保形約束的多組件結構系統布局優化設計問題的靈敏度。

3) 研究了組件保形設計約束與多組件結構系統的整體剛度之間的消長關系，分析了組件保形設計約束、材料用量分數、質心位置約束等對多組件結構系統布局優化設計結果的影響，實現了考慮組件保形、材料用量分數、質心位置約束下的多組件結構系統布局優化設計，發展了多組件結構系統布局優化設計方法。